Сопромат (Задача 1)

Задача 1

Невесомый стержень переменного сечения с площадями A₁, A_2, A₃ и длинами участков a₁, a₂, a₃, жёстко защемлённый по концам, находится под действием сил P₁ и P₂. Модуль упругости E=2 ^. 10⁵ МПа.

Требуется:

1. Сделать чертеж стержня по заданным размерам в масштабе;

2. Составить для каждого участка бруса в сечении аналитические выражения изменения продольного усилия N, напряжений σ и перемещений поперечных сечений бруса ∆l;

3. Построить эпюры продольных усилий N, напряжений σ и перемещений поперечных сечений бруса ∆l;

4. Сделать вывод о прочности стержня при [σ]= 160 МПа.

Исходные данные:

P1, кН	P2, кН	a, мм	b, мм	c, мм	A1, см	A2, см	A3, см
0,20	0,14	20	60	50	300	700	600

Решение:

1) Для составления уравнений перемещений отбросим одну из заделок (A). Заменим действие заделки на стержень силой R_A=Х. Т.к. сечение A практически закреплено, то его перемещение ∆A=0. Запишем принцип независимости действия сил:

Согласно закону Гука:

, где

∆l_i – перемещение на соответствующем участке;

N_i – усилие, действующее на участке;

l_i – длина участка;

A_i – площадь поперечного сечения участка.

2. Построим эпюру продольных сил. Применим метод сечений (начиная от свободного края).

3. Построим эпюру нормальных напряжений

4. Построим эпюру перемещений поперечных сечений

Начинаем с закреплённого конца, т.е. с точки D

4. Проверка прочности стержня при допускаемом напряжении.

Условие выполняется

.