Методы и средства передачи информации (Лекция №12)

Обратимся к уравнениям Максвелла в частотной области для проводящей среды в пренебрежении токами смещения в сравнении с токами проводимости :

div H m = 0 ;

div J m = div rot H m = [ , H ]= 0 ;

Так как в рассматриваемом случае вектор Н имеет только одну состаляющую, зависящую только от координаты z , то уравнение (12.1) в декартовой прямоугольной системе координат примет вид:

а уравнение (12.2), умноженное на постоянную проводимости σ, с учетом (12.3) записывается в виде

3

где учтено, что, если составляющая ротора равна нулю, то равны нулю соответственные составляющие вектора в его определителе.

Итак, получаем

Выражение (12.4) принято записывать с применением обозначений:

π

p = + jωµ0µr σ = + ωµ0µr σ e j 4 = + ωµ0µr σ e j 450 =

= 12 ωµ 0 µ r σ + j 12 ωµ 0 µ r σ =b + jb ,

Введенное обозначение имеет физический смысл, который выявится при дальнейшем анализе.

С учетом данных обозначений выражение (12.4) запишется в виде

Уравнение (12.6) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка и его решением является функция

определению из граничных условий.

Физический смысл полученного решения следует из анализа выражения для мгновенных значений напряженности магнитного поля Н

4

По мере перемещения волны вглубь проводника её амплитуды (и Е и Н) затухают по экспоненциальному закону и на расстоянии z = λ от поверхности уменьшается в e bλ =e 2 π ≈540 раз.

Второе слагаемое в формуле (12.8) представляет встречную волну, амплитуда которой также затухает по мере перемещения волны. Для однородного проводника неограниченной глубины источник образования обратной волны отсутствует, поэтому постоянную интегрирования C 2 следует принять равной ну-

Практически, удобнее заменить это условие другим, связав H ym (0)с током.

Для этого достаточно мысленно разбить весь проводник на отдельные тонкие слои, один из которых с толщиной а показан на рис. 12.2. Пусть известна ком-

плексная амплитуда тока I m , распределенного по сечению ∞ – m – n – ∞ этого слоя. Применим закон полного тока:

∫Hdl = I xm

5

к замкнутому контуру ∞ – m – n – ∞. При этом весь интеграл сведется к произведению H ym (0) a , так как на вертикальных сторонах контура вектора Н и dl

взаимно ортогональны и их скалярное произведение равно нулю, а на нижней стороне контура, лежащей в бесконечности, H ym (∞) =0. Таким образом,

и частоты. Оно имеет размерность сопротивления и рассматривается как волновое комплексное сопротивление проводника

имеющее индуктивный характер.

Рассмотрим следствия из полученных результатов.

Воспользуемся теоремой Умова-Пойнтинга в комплексной форме и найдем активное сопротивление слоя длиной h (параллелепипед бесконечной глубины, у которого верхнее основание образуют стороны а и h, рис. 12.2):

6

В нашем случае вектор Пойнтинга направлен по оси z и поток его отличен от нуля только на верхнем основании проводника (z = 0), так как на остальных

Этот результат показывает, что активная мощность, выделяемая в толще проводника переменным током с действующим значением I, равна мощности, которую выделил бы постоянный ток того же значения I в проводнике той же длины h и проводимости σ, но с сечением, имеющим ту же ширину а и высоту b. Величину

Из уравнения (12.13) следует, что на этой глубине амплитуда плотности тока (и остальных векторов) уменьшается в е = 2,718 раза по сравнению с её зна-

7

чением на поверхности проводника. Так как λ=2π/b, то глубина проникновения в 2π раз меньше длины волны в проводнике.

Из формулы (12.15) видно, что глубина проникновения уменьшается с увеличением частоты, магнитной проницаемости и проводимости материала. Так, например, при частоте f = 50 Гц глубина проникновения равна: в меди

( σ =5 , 8 10 7 См/м) 9,4 мм, в стали ( σ =1 10 7 См/м; µ r =1000 ) 0,74 мм (за счет магнитной проницаемости стали). При частоте f = 500 000 Гц глубина проникно-

вения уменьшается в 500000/ 50 =100раз. В идеальный проводник ( σ=∞См/м )

поле не проникает, оно полностью отражается от него, а ток проводимости становится поверхностным.

Заметим, что несмотря на то, что выражение (12.15) получено для проводника с плоской поверхностью, в практических задачах оно пригодно для вычисления потерь мощности в проводниках, имеющих криволинейную поверхность, если радиус кривизны значительно превышает глубину проникновения.

Из обширного числа инженерных задач, использующих при создании технических устройств явление поверхностного эффекта, основная область интереса к этому явлению в основном ограничена задачами рационального построения экранов в электромагнитном поле, о чем мы будем говорить во второй части нашего курса. Ориентируясь на эту, ожидаемую в следующем семестре, задачу, и, одновременно, для полного понимания процессов в электродинамической системе, образованной проводящим и диэлектрическим полупространствами, разделенными плоской границей раздела, проведем рассчет поле в диэлектрике.

Пусть плоская электромагнитная волна, параметры которой на границе раздела соответствуют предыдущему случаю (см. рис. 12.2) приходит к границе раздела от источника в диэлектрической среде. Тогда, в любых точках наблюдения в диэлектрике электрическую и магнитную составляющие поля можно записать в виде суммы прямой (падающей на границу раздела сред) и обратной (отраженной от границы раздела) волн:

8

Интересно заметить, что если принять по аналогии с длинной линией (цепью с распределенными параметрами) коэффициент отражения n на границе раз-

9

дающей волны в диэлектрике от границы раздела диэлектрик / проводящая среда можно интерпретировать по аналогии с длинной линией, приняв в качест-

терпретация соответствует замене (или аналогииU): E и I H .

Обратим внимание на числовые данные найденных параметров, характеризующих поверхностный эффект. Это позволит нам перейти к оценке первичных параметров линий передачи. Расчет параметров проведем на примере рассмотрения задач.

Задача 12.1. На поверхности медной пластины (рис. 12.3) возбуждено элек-

трическое поле с напряженностью E ( t ) = E 0 m sinωt , где ω=2 π 10 6 рад/c.

Удельная проводимость меди σ =5 , 6 10 7 Cм/м. Определить параметры,

характеризующие распространение бегущей волны в меди: постоянную распространения, коэффициенты затухания и фазы, условную глубину проникновения, волновое сопротивление, фазовую скорость и длину волны.

x

Е

Н

у

Полагая, что E 0 m = 2 мВ/ми что обратная волна отсутствует, записать выражения комплексных напряженностей электрического поля Е и магнитного поля Н в функции расстояния z от поверхности пластины и мгновенных значений Е и Н в функции координаты z и времени. Найти мгновенные значения Н (t) на поверхности пластины, а также Е (t) и Н (t) на расстоянии 0,1 мм от поверхности. Определить выражения плотности тока J (t) на поверхности и на

10