Методы и средства передачи информации (Лекция №10)

нение в качестве оптоволоконных систем (волноводов оптического диапазона длин волн) передачи данных.

Диэлектрик с большим ε r

Рисунок 10.1 − Виды направляющих структур − линий передачи

Геометрически простейшим среди изображенных направляющих систем является волновод круглого поперечного сечения (д и ж). Легко представить постепенный переход от плоской границы раздела сред к такому волноводу

(рис.10.2)

Постепенное скручивание

Рисунок 10.2 − Процесс преобразования границы раздела из плоской в цилиндрическую

Естественно предположить, что при показанной на рисунке деформации, граница сохраняет способность направлять волну вдоль образующей сгиба (ось z), пока радиус кривизны ещё достаточно велик. Не имея силы доказательства, такое рассуждение все же наводит на мысль о возможности распространения

2

электромагнитной волны в металлической трубе и диэлектрическом стержне. Здесь мощность передается внутри пространства ограниченного разделом сред (в случае диэлектрического волновода это утверждение справедливо приближенно).

Такие структуры, как мы говорили на второй лекции, классифицируют как односвязные (по числу граничных поверхностей пространства распространения волны). Несмотря на конструктивную простоту и соответствующую ей простоту граничных условий электродинамических систем, методы расчета полей в таких односвязнах структурах весьма сложные. Причем алгоритм расчета полей в металлических волноведущих структурах проще, чем в случае диэлектрических волноводов.

Конструктивно более сложные системы (двухпроводная линия (а), коаксиальные линии (б), полосковые линии (в)), образующие двусвязные (по числу граничных поверхностей) структуры, обладают более простыми структурами электромагнитных полей и две первые допускают более простые алгоритмы их расчета. Расчет структура поля в полосковой линии в строгом виде представляет сложную задачу, а в приближении квазистатики при аналитическом описании электрического поля требует применения специального метода − конформных преобразований.

Будем считать, что алгоритм расчета полей в двухпроводной линии нами рассмотрен и решение задачи известно и достаточно для расчета (или оценки) первичных параметров (погонных емкостей, индуктивностей, сопротивлений и проводимости) таких волноведущих структур. Это же утверждение справедливо для системы, образованной витой парой в приближении осуществления скрутки в плоскости сечения «нулевой длины». В таком приближении, как будет показано ниже, наличие скрутки никак не скажется на первичных параметрах такой линии (напомним, что она называется симметричным кабелем).

Заметим, что принцип передачи сигналов по витой паре возник при решении задачи обеспечения электромагнитной совместимости такого кабеля и внешних помеховых магнитных полей.

3

2. Особенности структур полей и методов их расчета

Рассмотрение начнем с расчета структуры полей и волн в коаксиальной линии, которая является вариантом двусвязной системы (рис. 10.1, б). Наиболее простой алгоритм такого расчета структуры полей повторяет действия по расчету полей в двухпроводной линии и основан на приближении независимости расчета электрических и магнитных составляющих полей.

При этом расчет электрического поля осуществляется с применением теоремы Гаусса в интегральной форме с учетом продольной симметрии электродинамической системы. Исходя из известного решения задачи о статическом электрическом поле заряженной оси с линейным зарядом τ, электрическое поле опи-

y

2r1 r

α

x

r2

z

Рисунок 10.3 – Расчетная модель коаксиального кабеля

Квазистатическое электрическое поле в такой линии повторяет стационарное поле.

4

Магнитное поле в диэлектрике коаксиального кабеля в приближении квазистацинарного поля рассчитывается по закону полного тока аналогично полю

тока на оси провода и описывается формулой Hα = 2πI r . А вот магнитное поле

вне оболочки, по которой протекает обратный ток, равный току в жиле, по тому же закону полного тока равно нулю, так как суммарный ток, пронизывающий сечение, охватываемое замкнутым контуром, равен нулю.

Полученные выражения позволяют проанализировать процесс передачи мощности по такой линии. Осуществим это на основе анализа медного коакси-

I

Н1

E

Рисунок 10.4 – Структура векторов в модели двухпроводной коаксиальной линии

Найдем выражение для вектора Пойнтинга П в пространстве между жилой и оболочкой и численное значение модуля П в точках 1 и 2 на поверхности жилы и оболочки. Проверим результаты на соответствие сопротивлениям проводников коаксиального кабеля. Кроме того, по теореме Умова-Пойнтинга най-

5

дем зависимость мощности, передаваемой внутри цилиндрической поверхности.

B любой точке в изоляции между жилой и оболочкой вектор П имеет толь-

z (от нас, т.е за чертёж). Подставляя в эту формулу соответствующие численные значения, получаем:

поток моности сосредоточен вблизи жилы.

На поверхности проводов есть, однако, и нормальные составляющие вектора П. Они связаны с действующей в проводниках напряженностью электрического поля, которая всегда наблюдается при протекании тока в реальном проводнике и определяется соотношением Е=J/σ. Напряженность поля направлена вдоль проводников и по отношению к границам является тангенциальной. Для жилы плотность тока:

J 1 = I /(πr12 ) = 20 /(π 4 10 −6 ) =1, 59 10 6 A/м 2 =1, 59 A/мм 2 .

Для оболочки плотность тока:

J 2 = I / [π( r32 − r22 ) ]=1, 77 10 5 A/м 2 = 0 ,177 A/мм 2 .

При удельной проводимости меди σ=5,7 107 См/м=0,177 A/м тангенциальные составляющие напряженности электрического поля равны:

E1t = 0,028 B/м; E2t = 0,003 B/м.

Напряженность магнитного поля в этих точках:

H1α =I /(2πr1) =20/(2π 2 10−3) =1592 A/м, H2α =I /(2πr2) =20/(2π 8 10−3) =398 A/м.

6

В любой точке на поверхности жилы и оболочки векторы напряженности электрического и магнитного поля взаимно перпендикулярны, векторы П, как их векторное произведение направлены внутрь проводника (жилы и оболочки, см. рис. 10.4). Вычислим их значения в точках с индексами 1 и 2:

П1n = E1t H1α = 44,5 Вт/м2 , П2n = E2t H2 α =1,24 Вт/м2 .

Эти составляющие вектора П, характеризующие плотность энергии, передаваемой от общего её потока на нагрев проводов, несравненно меньше, чем её продольные составляющие, характеризующие плотность потока энергии, передаваемой вдоль линии. Рис. 10.4 в отношении величин, составляющих вектор П, является качественным.

Согласно теореме Умова-Пойнтинга, поток вектора П, направленный вдоль линии, должен равняться передаваемой по линии мощности. Действительно

Поток вектора П, входящий в каждый провод, равен тепловым потерям в проводе. Так, поток вектора П, входящий в жилу на единицу её длины (на 1 м),

Следовательно, входящий в жилу поток вектора Пойнтинга равен мощно-

сти тепловых потерь в жиле: P = R0 I 2l = RжилыI 2 . где R0 − погонное сопротивле-

ние жилы.

7

Заметим, что именно это выражение используется при расчете первичного параметра коаксиальной линии в модели двухпроводной линии на низких частотах. На высоких частотах погонное сопротивление коаксиальной (и двухпроводной тоже) линии рассчитывается с учетом глубины проникновения поля в проводящую среду.

Теперь рассмотрим задачу о распространении электромагнитных волн в коаксиальной линии с однородным идеальным диэлектриком, применяя строгие методы интегрирования уравнений Максвелла.

Пусть длина линии неограниченна, а проводимость металла жилы и оболочки бесконечна. Если возбудить (иначе говоря, создать) в диэлектрике кабеля электромагнитное поле, присоединив, например, этот кабель к источнику переменного тока с частотой ω, то электромагнитные волны, не проникая в металл, будут перемещаться по диэлектрику без затухания (без потерь энергии). Токи проводимости будут проходить только по поверхностям проводников, ограничивающим внутренний слой диэлектрика, а так как глубина проникновения поля в идеально проводящий металл равна нулю, то вне кабеля электромагнитное поле не будет ощутимым.

Практически интересен случай, когда токи проводимости направлены параллельно оси z кабеля. В этом случае поле удобно описать магнитным вектор-

8

ным потенциалом, также направленным вдоль оси z и удовлетворяющим поэтому скалярному волновому уравнению (9.27):

2 A − εa µa ∂2 A = −µa J ,

∂t 2

которое в частотной области в диэлектрике (где токи проводимости равны нулю) представится в виде

которое распадается на три независимых уравнения:

где m2 и n2 – постоянные разделения, которые характеризуют структуру поля и волновые свойства кабеля.

9

Нахождение постоянных разделения основано на принципе отбора возможных величин для формирования частных решений, затем формировании решения в виде «сложения» частных решений и, наконец, определении значений, удовлетворяющих граничным условиям. Заметим, что отбор возможных вариантов постоянных разделения основан на анализе физических процессов в структуре. Если отобранной совокупностью частных решений удастся удовлетворить граничным условиям, то в силу единственности решения, задача окажется решенной.

Положим, что постоянные разделения m = 0, n = 0. Тогда уравнения (10.4)

– (10.6) примут вид:

Ограничиваясь волной распространяющейся в положительном направлении оси z, примем С2 = 0. Чтобы избежать многозначности решения при изменении α на целое число раз 2π необходимо принять С3 = 0. Отсюда, перемножив решения R(r)Ф(α)Z (z) и переобозначив постоянные интегрирования, получим

Azm = (− C ln r + C0 )e−ikz .

Напряженность магнитного поля можно найти из уравнения Hm = rot Am .

В цилиндрической системе координат отличной от нуля будет только со-

10