Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методы и средства передачи информации (Лекция №7)

.pdf
Скачиваний:
34
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
782.16 Кб
Скачать

Методы и средства передачи информации

Лекционный курс

Лекция № 7

Содержание

1.Понятие о переходных процессах в длинной линии

2.Сведения о методах расчета и оценки волн в длинной линии

3.Влияние переходных процессов на процесс передачи информации

1.Понятие о переходных процессах в длинной линии

Переходные процессы в длинных линиях результат изменения конфигурации цепи, т.е. коммутации каких-то элементов цепи, или изменении вида воздействующей функции, в том числе и возникновение воздействия в результате паразитных связей с соседними линиями или процессами, как искусственного (например, коммутации мощного оборудования), так и естественного (например, молниевые импульсы).

Вид переходных процессов в цепях с распределенными параметрами проявляется в результате решения дифференциальных уравнений длинной линии. Ограничимся анализом процессов в однородной длинной линии.

Система дифференциальных уравнений для однородной линии (см. лекцию №3, п. 2) имеет вид:

u

= r0 i + L 0

i

;

 

(7.1)

x

 

 

 

 

 

t

 

 

i

 

= g 0 u +C 0

 

u

,

(7.2)

 

x

 

 

 

 

 

t

 

где r0, g0, L0, C0 − первичные параметры единицы длины линии, а х − координата выбранной точки, отсчитываемая от начала линии (от генератора).

Ограничим рассмотрение случаем линии без потерь, тогда эти уравнения

примут вид:

u

= L 0

i

и

i

= C 0

u

(7.3)

x

t

x

t

 

 

 

 

 

 

 

Общий вид решений этих уравнений для однородной линии (т.е. при L0, C0, не зависящих от х) записывается (что можно проверить прямой подстановкой выражений в уравнения (7.3)) так:

u = f 1 ( x vt ) + f 2 ( x + vt ) =u пр + u обр ;

(7.4)

i =

L 0 [ f 1

( x vt ) f 2 ( x + vt ) ]=i пр i обр ,

(7.5)

 

C 0

 

 

где v = 1/ L 0 C 0

− называется скоростью волны или волновой скоростью и

численно равна фазовой скорости.

 

Функции f 1 ( x ) и

f 2 ( x ) − распределения вдоль линии

соответственно

прямой и обратной волн напряжения u пр и u обр в момент времени t = 0. Напря-

жение и ток волны связаны между собой законом Ома для волн через волновое

сопротивление Z B =

L 0

(заметим, что название этого коэффициента пропор-

 

C 0

 

циональности в формуле (7.5), по размерности равного Ом, происходит именно из свойства − «закон Ома для волны»).

Рассмотрим как зависят от времени t координаты х составляющие напряже-

ния u пр и u обр .

Допустим, что в некоторый момент времени t =t 1 распределение напряжения u пр вдоль линии представлено функцией

 

 

u пр ( t 1 ) = f 1 ( x vt 1 )

(7.6)

и имеет вид, показанный на рис. 7.1, а. Тогда в момент времени t =t 1

+ t рас-

пределение напряжения u пр вдоль линии можно записать:

 

 

u пр ( t 1 + t ) = f 1 ( x vt 1 vt ) = f 1 ( x vt 1 x ) = f 1 ( x x vt 1 ) ,

где ∆x = vt .

 

 

Из этого выражения видно, что кривая u пр ( t 1 +t ) повторяет кривую

u пр

( t 1

) , смещенную относительно себя влево, т.е. по отношению к кривой

u пр

( t 1

) кривая u пр ( t 1 +t ) смещена вправо на расстояние ∆x = vt , т.е. уве-

личение времени t приводит к перемещению кривой u пр ( t ) в направлении воз-

2

растания х. Иными словами, u пр ( t ) выражает напряжение волны, движущейся

в направлении возрастания координаты х, т.е. прямой волны.

Рисунок 7.1− Зависимости от времени волн напряжения

Точка линии с координатой хФ , для которой справедливо условие, что u пр= 0 при х > хФ и u пр≠ 0 при х < хФ − называется фронтом прямой волны.

Фронт прямой волны движется в сторону возрастания координаты х со скоростью v.

Если в точке х1 , совпадающей в момент времени t1 c положением хФ фронта волны, установит прибор, записывающий мгновенные значения напряжения, то он запишет кривую 1 на рис. 7.1, б. Эта кривая представляет собой зеркальное изображение кривой u пр ( x ) при соответствующем изменении масштаба (коэф-

фициент пропорциональности − v) вдоль оси абсцисс. Прибор, установленный в точке х2 (рис. 7.1, а) запишет аналогичную кривую 2 (рис. 7.1, б), которая однако, смещена в сторону возрастания времени на величину

x 2 vx 1 = l 12v ,

3

где l 12 − расстояние между точками х1 и х2.

При анализе изменения напряжения волны в зависимости от времени, це-

лесообразно выражению (7.6) придать вид:

 

 

uпр(x,t) 1

(t

x

) .

 

(7.7)

 

 

 

 

v

 

 

В точке с координатой

x + ∆x напряжение

волны

описывается той же

функцией ϕ1 , но с запаздыванием во времени на величину

x .

 

 

 

 

 

v

Аналогично, составляющая напряжения u обр

представляет собой напряже-

ние волны, движущейся в сторону убывания координаты

х, т.е. обратной вол-

ны:

 

 

 

 

uобр = f2 (x + vt) 2

(t +

x

) .

(7.8)

 

 

 

v

 

Координата фронта обратной волны характеризуется условием u обр = 0 при

х < хФ и u пр≠ 0 при х > хФ. Фронт обратной волны движется в сторону убывания координаты х со скоростью v.

Типичные значения скорости распространения волн в двухпроводных линиях связи близка к скорости света в воздушной среде (т.е. примерно 300000 км ⁄ c), а в коаксиальных линиях с относительной проницаемостью εr диэлек-

трического заполнения – меньше скорости света в вакууме в εr раз.

Если известны зависимости u пр( t ) и u обр ( t ) в какой-либо точке линии и волновая скорость v, то по уравнениям (7.4) и (7.5) можно построить кривые u пр( х ) и u обр ( х ) в любой момент времени (подобно тому, как это показано на рис. 7.1).

Так как между напряжением и током волны существует прямая пропорциональность (7.4), а коэффициент пропорциональности (7.5) зависит только от первичных параметров линии, то для анализа волновых процессов достаточно рассматривать только напряжение волн.

4

Волны в длинной линии можно выразить в функции времени, находя эту функцию в какой-либо точке линии, например точке х1 , и принимая за начало отсчета времени момент, когда фронт волны дойдет до этой точки. Так, например, для u пр( t ) и u обр ( t ), изображенных на рис. 7.1 сплошными линиями, та-

кими точками являются точки х1 для u пр и х2 для u обр .

Если известны функции u пр( t ) и u обр ( t ) в точках х1 и х2, то переход к

общему выражению каждой из волн выполняется согласно формулам (7.3) так:

 

 

x x1

 

 

 

uпр(x,t) =uпр t

 

 

 

;

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + x1

 

 

uобр(x,t) =uобр t

+

 

 

.

(7.9)

v

 

 

 

 

 

 

 

Влюбой момент времени напряжение и ток в любом сечении линии можно рассматривать как сумму двух волн, прямой и обратной. Причем, источник образования обратной волны – неоднородность в линии. Неоднородности в длинной линии могут образоваться в результате продольных и поперечных включений сосредоточенных элементов (активны и реактивных пассивных двухполюсников), последовательного и параллельного включения других длинных линий в какихто сечениях длинной линии, изменения погонных параметров линии , начиная с какого либо сечения. В сечениях присоединения неоднородностей наблюдается процесс образования отраженных (т.е. обратных) волн и волн, которые распространяются вдоль исходного направления распространения прямой волны (т.е., говорят волны, «падающей» на неоднородность). Эти волны, распространяются вдоль исходного направления распространения прямой волны называют прошедшими (или иногда по аналогии с оптикой, их называют преломленными) волнами.

Внастоящее время разработаны простые алгоритмы расчета процессов в длинных линиях при распространении по ним волн сигналов любой формы. Известны методы расчета процессов возникновения волн в сечениях неоднородных включений в линии. Эти процессы представляют собой, по существу, переходные процессы, которые рассчитываются с применением специфических приемов.

5

Мы займемся рассмотрением этих процессов, в основном, применительно к распространению в линии исходно импульсов прямоугольной (во времени) формы, так как эта форма, как мы видели в позапрошлой лекции, соответствует форме бинарных сигналов.

2.Сведения о методах расчета и оценки волн в длинной линии

Общие замечания

Алгоритм расчета формирования волн в длинной линии построен на основе свойства линейности линии и, значит, независимости реакции линии на воздействие независимых источников. Последние, в свою очередь, могут образовать (по методу наложения) сигнал сложной формы. Это показано на рис. 7.2, на котором прямоугольный импульс образован в результате наложения двух независимых «ступенек» напряжений противоположных знаков, сдвинутых во вре-

u(t)

U

0

τ

t

u(t)

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

0

τ

t

u(t)

 

 

τ

0

t

–U

Рисунок 7.2 – Пример формирования прямоугольного импульса в результате наложения двух прямоугольных ступенек

6

мени на длину импульса – τ.

Включение источника напряжения на длинную линию (эквивалентная схема показана на рис. 7.3) рассчитывается исходя из принципа «близкодействия», согласно которому реакция на воздействие возникает с учетом задержки распространения воздействие. В соответствие с этим, длинную линию, подклю-

Кi

U0

0

i (t), u (t)

U0

I0 =U0/ ZВ

i (t), u (t)

U0

I0 =U0/ ZВ

 

 

 

Сечение х=0

 

 

 

 

К

 

i (t)

 

ZВ

l → ∞

 

U0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

ZВ

 

 

u (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сечение х=0

 

 

 

 

 

 

t

в)

Сечение х=l1

t

t1=l1 / v

г)

Рисунок 7.3 – Включение источника постоянного напряжения на согласованную длинную линию. а) функциональная схема; б) принципиальная схема в сечении х = 0; в) переходной процесс в сечении х = 0; г) переходной процесс в сечении х1 = l1

чаемую к источнику, можно представить входным сопротивлением в отсутствии обратной (или отраженной волны), т.е. считать бесконечно длинной или присоединенной к согласованной нагрузке, или, иначе, линией в согласованном режиме. Входное сопротивление такой линии равно волновому, а связь тока и напря-

7

жения в любом сечении (и в сечении х=0) определена законом Ома для волны: uпр(0,t) = ZBiпр(0,t). Этому соотношению соответствует схема рис. 7.3,б. Пере-

ходной процесс в этой схеме на сосредоточенных элементах представлен на рис.7.3,в и описывается функцией

uпр(0,t) =

U0

ZB = ZBiпр(0,t).

(7.10)

 

 

ZB

 

Это описание волны в сечении х = 0. Волна в линии описывается функцией

 

 

 

 

 

х

 

 

 

uпр(х,t) =U01 t

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

U0

 

 

х

 

 

 

iпр(х,t) =

ZB

1 t

 

 

 

,

(7.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

где 1(t) – единичная функция, описываемая соотношением

 

1(t)= 0

при

t < 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

1(t)= 1

при

t >0 ,

 

 

 

 

 

 

 

а 1(t,t) – волна единичной функции, описываемая для прямой волны формулой:

 

х

 

х

 

 

 

1 t

 

 

= 0 при

t <

 

;

 

 

v

 

 

v

 

 

 

 

 

х

 

х

 

 

 

1 t

 

 

= 1 при

t >

 

 

.

(7.12)

 

 

v

 

 

v

 

 

 

 

Функции описывают волну с прямоугольным фронтом.

В другое сечение линии волна придет с запазданием. Это показано на рис. 7.3,г.

Если к линии подключается источник с активным внутренним сопротивлением rН, ток и напряжение волны становятся меньше. В этом случае

uпр(0,t) =U0 rНiпр(0,t)

 

 

 

 

и по-прежнему

iпр(0,t)=uпр(0,t) / ZB ,

 

 

 

 

откуда uпр(0,t) =U0

rН

uпр(0,t)

и uпр(0,t) =

U0 ZB

; iпр(0,t) =

U0

. (7.13)

ZB

ZB + rН

ZB + rН

 

 

 

 

 

8

При подключении генератора с комплексным (активно/индуктивным или активно/емкостным) сопротивлениями фронт волны искажается и волна перестает быть прямоугольной. Проиллюстрируем это для индуктивного внутреннего сопротивления генератора, показанного на рис. 7.4.

L К

U0

i (t), u (t)

U0

I0 =U0/ ZВ

0

i (t), u (t)

U0

0 i (t), u (t)

U0

I0 =U0/ ZВ

i

 

 

Сечение х=0

 

 

L

К

i (t)

 

 

 

 

ZВ

l → ∞

U0

 

ZВ

u (t)

 

 

 

0

 

х

 

б)

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сечение х=0

t

в)

Сечение х=l1

t

t1= l1/v

г)

Время t1 = l1/v

v

x

0

l1= v t1

д )

Рисунок 7.4 – Схема включение источника постоянного напряжения с индуктивным внутренним сопротивлением на согласованную линию (а); принципиальная схема в сечении х = 0 (б); переходной процесс в сечении х = 0 (в); переходной процесс в сечении х1 = l1 (г); распространение волны вдоль линии (д)

9

В цепи с сосредоточенными элементами (рис. 7.4,б) при замыкании ключа возникает переходной процесс, заключающийся в экспоненциальном нарастании тока (согласно известному решению задачи включения источника постоянного напряжения в простейшей активно/индуктивной цепи):

 

 

U0

 

 

Z B

 

 

 

iпр(0,t)=i(t)=

1 e

L

t

,

 

ZB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

uпр(0,t) = ZBiпр(0,t).

 

 

 

 

В произвольном сечении зависимость волны от времени:

 

 

 

 

 

 

 

Z B

 

x

 

 

 

iпр(x,t)=

U

0

 

 

 

 

t

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

 

L

 

v

 

 

 

ZB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z B

x

 

 

 

uпр(x,t)=U

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

e

 

 

L

v

 

.

(7.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривые показаны на рис. 7.4 в и г. Распределение напряжения и тока вдоль линии в момент времени t1 = l1/v показано на рис. 7.4, д.

Рассмотрим алгоритм расчета режима при включении нагрузки к заряженной линии (т.е., в которой волна дошла до нагрузки).

Рассмотрим сначала случай активной нагрузки линии.

Пусть линия без потерь с волновым сопротивлением ZB заряжена до на-

пряжения U0 . Если в момент времени t =0 в конце линии включается сопротив-

ление нагрузки rH (рис. 7.5),

то в конце линии возникает обратная волна, дви-

жущаяся от конца линии к её началу.

 

 

 

 

Напряжение и ток этой волны могут быть при помощи уравнений, состав-

ленных по закону Ома для волны и для сопротивления нагрузки:

 

u обр

= Z B i обр ;

u н

=U 0 +u обр

=(i пр

i обр )rH = −i обр rH ,

 

откуда

u обр = −

Z B U 0

;

i обр = −

U 0

 

; i = −i обр .

(7.15)

Z B + rH

 

 

 

 

 

 

Z B + rH

 

10