Методы и средства передачи информации (Лекция №3)

Пассивные цепи с сосредоточенными параметрами описываются эквивалентными схемами, которые могут содержать сосредоточенные элементы: резисторы, емкости и индуктивности. Понятие «сосредоточенный» элемент эквивалентной электрической схемы указывает на справедливость допущения для описания процессов в нём приближения дальнодействия, т.е. указывает, что значения токов в элементе (во всех его частях) одинаковы для одного и того же момента времени. Заметим, что только для сосредоточенных элементов справедливы ком-

где r, L, C − соответственно, значения сопротивления резистора, индуктивности и емкости в эквивалентной схеме замещения элементов цепи.

Конструктивно, в простейшем случае длинную линию можно представить в виде параллельно размещенных проводников двухпроводной линии (рис. 3.1).

а

Чтобы описать процесс изменения электрического тока и напряжения вдоль линии, нужно считать, что сколь угодно малый по длине ∆ x элемент линии обладает сосредоточенными сопротивлением и индуктивностью, а между проводами − проводимостью и емкостью, т.е. рассматривать линию как цепь с распределенными сосредоточенными параметрами. При этом предполагаем, что продольные сопротивление и индуктивность и поперечные проводимость и емкость равномерно распределены вдоль линии, и образуют погонные продольные сопротивление и индуктивность и поперечные проводимость и емкость, которые называют пер-

2

нии, отнесенных к единице её длины: r0 − сопротивления прямого и обратного провода; L0 − индуктивности, которую можно интерпретировать индуктивностью петли, образованной прямым и обратным проводами, причем с учетом влияния окружающих условий, как правило, подложки плат полосковых линий, или земли в воздушных линиях − это рабочая индуктивность петли; g0 − проводимость (утечки тока) между проводами длинной линии; С0 − ёмкость между проводами (или с учетом ёмкости проводов по отношению к земле или окружающим предметам − рабочая ёмкость между проводами). При этом каждый участок ∆х ≈ dx ли-

и к «обратному» (на рис. 3.2 − нижнему) проводам, а потому должны быть включены в провода эквивалентной схемы в половинном значении, но для удобства будем считать их включенными в один провод, учитывая, что при последовательном соединении сопротивления суммируются, а, как мы увидим, эти элементы в уравнения состояния входят в виде последовательного соединения), поперечные g0 dx − проводимость и С0 dx − ёмкость.

Составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют токи и напряжения в любом сечении двухпроводной линии. Обозначим через х расстояние от начала линии до некоторого текущего элемента её длины (иными словами − некоторого поперечного сечения). Мгновенные значения напряжения и тока в начале выбранного элемента dx обозначим через u и i, а в конце этого элемента,

ные направления токов и напряжений соответствуют указанным на рис. 3.2.

Для элемента линии длиной dx уравнения по законам Кирхгофа запишем в

виде:

− по второму закону Кирхгофа для контура a−b−c

− по первому закону Кирхгофа для узла b

4

Раскрывая скобки, приводя подобные члены и сокращая на dx, получаем систему дифференциальных уравнений:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, т.е. предполагая:

∂u u >> ∂x dx

получим систему в виде:

Решение полученной системы дифференциальных уравнений в частных производных при определенных начальных и граничных условиях дает возможность определить ток и напряжение как функции расстояния от начала линии и времени. Эти уравнения справедливы при любых изменениях во времени источников тока и напряжения, подключенных к линии.

Начнем рассмотрение методов расчета с установившегося режима в однородной длинной линии.

5

Рассмотрим установившийся режим в длинной линии при синусоидальном напряжении источника питания. В этом случае рационально осуществить переход в частотную область, вводя комплексные напряжения и токи (см. с. 9 и с. 10 лекции №1), комплексные сопротивления и проводимости. Напомним, что последние возникают как следствие применения компонентных уравнений к изображению тока и напряжения на комплексной плоскости в результате действий:

1) из u L = L ∂∂ti с учетом представления синусоидальной функции

Итак, переписывая уравнения (3.1) и (3.2) с учетом комплексных напряжения и тока, сопротивления и проводимости, получаем:

где Z 0 = (r0 + jωL 0 ) − продольное (удельное) комплексное сопротивление длинной линии,

Y 0 = ( g 0 + jωC 0 ) − поперечная (удельная) комплексная проводимость

6

Для перехода от системы дифференциальных уравнений относительно комплексных напряжения U и тока I к уравнениям относительно одной из функций (напряжения или тока) продифференцируем уравнения (3.3) и (3.4):

Полученные дифференциальные уравнения (3.5) и (3.6) определяют изменение комплексных напряжения и тока вдоль длинной линии. Они одинаковы. Поэтому, достаточно, например, получить из уравнения (3.5) закон изменения напряжения U (х), а ток I (х) получить из уравнения (3.3).

Решение уравнения (3.5) − линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами − имеет вид:

А 1, А 2 − комплексные постоянные интегрирования, которые находят из граничных условий на концах линии.

Заметим, что справедливость записанного решения для U (х) легко проверить его подстановкой в уравнение (3.5).

Прежде чем искать постоянные интегрирования, получим выражение для тока, применив уравнение (3.3):

7

тивления − Ом и его называют (чисто формально) волновым сопротивлением линии, обозначая идентификатором Z В. Волновое сопротивление связано с первич-

ными параметрами линии соотношениями:

Каждое из слагаемых в правой части в формулах (3.13) и (3.14) можно рассматривать как электромагнитную волну, распространяющуюся (поэтому их называют «бегущие волны») в направлении возрастания или убывания координаты х. Из физических соображений ясно, что распространение волны должно сопро-

8

вождаться убыванием её амплитуды (говорят, затухания волны), которое в формулах определено экспоненциальным коэффициентом. Учитывая положительное значение сомножителя α в показателе степени экспоненты, ясно, что первые слагаемые в обеих формулах соответствуют волне распространяющейся в направлении оси х (её называют прямой волной), а вторые слагаемые − описывают волну распространяющуюся (бегущую) в обратном направлении (её называют обратной волной).

Итак, каждое из слагаемых в формулах (3.13) и (3.14) в любой фиксированной точке х = х1 представляет собой периодическую функцию времени. В любой же фиксированный момент времени t = t1 каждое из слагаемых изменяется вдоль линии (вдоль оси х) по закону затухающей синусоиды.

В соответствии со свойствами величин γ =α + jβ, α и β в формулах (3.13) и

(3.14), их называют: γ − постоянная (или коэффициент) распространения, α −

коэффициент затухания и β − коэффициент фазы. Это величины, приведенные к единице длины линии. Их называют вторичные параметры линий в отличии от её первичных параметров (погонных сопротивления, проводимости, индуктивности и ёмкости).

Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость и длина волны (надо заметить, что это − величины приведенные к единице длины).

Фазовая скорость волны v − скорость перемещения какой либо определенной фазы (состояния возмущения, или определенного мгновенного значения напряжения или тока) колебания, которая в течение времени t и по мере увеличения расстояния х, пройденного волной, остается постоянной, т.е. для прямой волны

9

Отрицательный знак скорости распространения волны указывает на противоположное направление её распространения. Таким образом, это еще одно подтверждение представления слагаемых в (3.13) и (3.14) в виде волн, движущихся в противоположных направлениях.

Длиной волны λ называется расстояние между ближайшими двумя точками, взятое в направлении распространения волны, фазы колебания в которых совпадают (т.е. различаются на 2π, так как фаза с изменением х нарастает). Следовательно, для первого слагаемого равенства (3.13) получим:

ωt −βx + Ψ1 = ωt −β( x + λ )+ Ψ1 + 2 π, или 0 = −βλ+ 2 π,

волна (точнее сказать фиксированное значение фазы, т.е. состояния процесса) пробегает расстояние равное длине волны.

Затухающая вдоль оси х синусоидальная волна представлена на рис. 3.3. На

t2

t3

х

−2A1 e −α x

λ

Рис. 3.3 − Зависимость волны напряжения от сечения длинной линии для трех моментов времени

10