Колесников Основные теории цепей - переходные процессы и четырехполюсники

2. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

2.1. Общий случай

Цепь первого порядка с одним независимым источником описыва ется уравнением

a dx 1 a 2 f(t).		(2.1)
1 dt	0
Записываем общее решение
x(t) 1 xуст(t) 2 xсв(t).		(2.2)

Приравнивая правую часть в (2.1) к нулю, получим однородное уравнение вида a1 dx 1 a0 2 0, а затем из характеристического уравне

dt

ния находим его корень

a 1 2 a 3 0 4 1 3 5		a0	,	(2.3)
1	0	a1

т. е. корень характеристического уравнения один, и он обязательно отрицательный, что характерно для пассивной цепи.

Величина, обратная корню характеристического уравнения, взя того по модулю, носит название постоянной времени, с

1 2	1	.			(2.4)
	3
Записывая свободную составляющую в виде
x (t) 1 Ae1t					(2.5)
св
и подставляя (2.5) в (2.2) с учетом (2.4), имеем
x(t) 1 xуст(t) 2 Ae1			t
			2	.	(2.6)

Решение (6) должно удовлетворять начальным значениям при t = 0

11

x(t)t20 1 xуст 2 A 1 x ,

(2.7)

где x1 – значение установившейся составляющей реакции в началь

уст

ный момент; x+ – начальное значение реакции. Откуда постоянная интегрирования

A 1 x 2 xуст.

(2.8)

Подставляя (2.8) в (2.6), записываем окончательно решение нео днородного дифференциального уравнения:

	(t) 2 (x2 3 x2 )e1	t
x(t) 1 x		3 .	(2.9)
уст	уст

В соответствии с выражением (2.9) определяется решение для любой цепи первого порядка. Как видно из (2.9), в цепи первого по рядка переходный процесс полностью характеризуется постоянной времени .

Рассмотрим подробнее понятие постоянной времени цепи. Для этого рассчитаем и построим график кривой свободной реакции в цепи первого порядка xсв 1 Аe1t. В табл. 2.1 приведены расчетные значе ния для конкретных значений времени t, кратных постоянной време ни , а на рис. 2.1 в соответствии с данными табл. 2.1 построен гра фик сводной реакции.

						Таблица 2.1
			Значения функций
t	0		1	2	3		4
e–t	1		0,368	0,87	0,95		0,98
1–e–t/	0		0,632	0,13	0,05		0,02
		1223

1456781

45961

454 1 454 1

4

1

1

61

1

2

Рис. 2.1

12

Как видно из рис 2.1 и табл. 2.1, при t = 3 сводная реакция состав ляет 0,05 А, т. е. 5% от начального значения, при t = 4 – 0,02 А, т. е. 2% от начального значения, т. е. с погрешностью 5% для первого случая и 2% для второго случая можно считать, что сводная состав ляющая равна нулю и в цепи имеет место установившийся режим работы. Поэтому постоянная времени характеризует длительность переходного процесса. Теоретически переходный процесс продолжа ется бесконечно долго, реально длительность переходного процесса Tп.п принимается равной 3–4 , т. е. Tп.п 1 (3 2 4)3.

112

6

123456

2

11

Рис. 2.2

t

Так как отрезок подкасательной в любой точке кривой Аe 2 равен постоянной величине (рис. 2.1) и имеет размерность времени, то значение величины определяет скорость затухания свободной реак ции, т. е. скорость изменения тока или напряжения во время пере ходного процесса. Экспериментально постоянная времени опреде ляется либо как абсцисса точки на кривой сводной реакции (рис. 2.2), ордината которой равна 0.368А, либо как отрезок, отсекаемый под касательной на оси абсцисс подкасательной, т. е. постоянная време ни численно равна отрезку времени, в течение которого ток или на пряжение изменяются в е раз. Итак, в цепи первого порядка вид и длительность переходного процесса полностью определяется посто янной времени . Причем при включении цепи одной и той же топо логии (конфигурации) на источник постоянного или переменного, гармонического напряжения постоянная времени одинакова, так как является величиной, обратной корню характеристического уравне ния, взятому по модулю. Рассмотрим конкретные случаи переход ных процессов в цепи первого порядка.

13

2.2. Включение цепи RL на источник постоянного напряжения

Определим закон изменения тока и напряжения во время переходно го процесса в цепи, изображенной на рис. 2.3. Поэтому для цепи после коммутации составим уравнение по ЗНК. Будем иметь uR+uL = E или

	iR 1 L di 2 E.				(2.10)
		dt
2	3			4	5

1

Рис. 2.3

Общее решение в соответствии с выражением (2.9) подразд. 2.1 имеет вид

		1	t
i(t) 1 i	(t) 2 (i2 3i2 )e		3	(2.11)
уст	уст

Найдем установившуюся составляющую тока. Для этого соста вим эквивалентную расчетную схему для цепи в новом установив шемся режиме работы. Если источник постоянный, то необходимо закоротить ветви с индуктивностями (напряжение индуктивности uL = 0 для постоянного тока) и разомкнуть ветви с емкостями (ток емкости iC = 0 – постоянный ток через емкость не проходит). Из рас чета полученной схемы находят установившуюся составляющую

i (t) 1 E.

(2.12)

уст R

Начальное значение установившейся составляющей при t = 0

i1	1 i (t) 1 E		,	(2.13)
уст	уст	R
Начальное значение тока в цепи по закону коммутации
	iL 1 iL 1 0,			(2.14)

так как до коммутации ток в цепи не протекал.

Найдем постоянную времени цепи для данного случая. Характе ристическое уравнение имеет вид

14

			La+R = 0.
Откуда постоянная времени для цепи с индуктивностью
		1 2 1 2 L .								(2.15)
			3			R
Исходя из (2.11) с учетом (2.13) – (2.15) записываем окончатель
но выражение для тока (реакции) во время переходного процесса
	i(t) 1 E (1 2 e						t
							2 ).			(2.16)
			R
Найдем изменение напряжения на индуктивности
		di		E	1	1 2	1	1
uL	(t) 3 L		3 L					3 Ee .		(2.17)
		dt		R	4	5e
					7	6 8
В соответствии с полученными выражениями на рис. 2.4,а и б по
строены зависимости тока и напряжения индуктивности во время
переходного процесса при включении цепи RL на источник постоян
ного напряжения.
a)	5142
									31	2
										1
3456731										1
									4
		2		72			62	2
б)	6142
	71142
712 8 2
	346592
										4
		2				7 2		6 2	2
			Рис. 2.4

15

Ток и напряжение индуктивности изменяются по экспоненци альным законам. При этом ток индуктивности изменяется не прерывно, а напряжение индуктивности в момент коммутации

имеет скачок напряжения U1 1 E , равный напряжению источни

L

ка. Постоянная времени может быть найдена по кривой тока (воз растающей экспоненциальной зависимости) как абсцисса точки, ордината которой равна 0,632 0 от установившегося значения тока, для убывающей экспоненциальной зависимости – как абс цисса точки, ордината которой равна 0,368 от начального значе ния.

2.3. Замыкание цепи RL на добавочное сопротивление

Во время коммутации ключ переводится из положения 1 в 2, т. е. цепь отключается от источника и замыкается на добавочное сопро тивление R (рис. 2.5).

1	3	4	5	6

12

2

Рис. 2.5

Для цепи после коммутации уравнение по ЗНК имеет вид

i(r 1 R) 1 L di 2 0

	dt
или
di 1 r 1 R i 2 0,		(2.18)
dt	L

т. е. получили однородное дифференциальное уравнение с постоян ными коэффициентами. Как известно, общее решение записывается в следующем виде:

		1	t
i(t) 1 i	(t) 2 (i2 3i2 )e		3	.	(2.19)
уст	уст

16

щей iycm1

di

Составим характеристическое уравнение (производную dt заме няем на )

2 1 r 1 R 3 0.

L

Откуда
2 3 4 R 1 r , 5 3		1		3	L	.	(2.20)
		2
L					R 1 r

Из закона коммутации с учетом схемы цепи до коммутации (рис. 2.6) начальное значение тока в цепи (при t = 0)

i 1 i 1 E.	(2.21)
r

2 3 41

1

Рис. 2.6

Так как в новом установившемся режиме цепь отключена от источ ника, то установившаяся составляющая реакции равна нулю iуст = 0, поэтому также начальное значение установившейся составляю

1 0. С учетом (2.21) общее решение (2.19) имеет вид

		i(t) 1 E e1				t
						2	.			(2.22)
				r
При этом напряжение
					t			t
u (t) 2 3 di		2 L	d	( E e		) 2 4 R 1 r Ee
								.		(2.23)
L	dt		dt r				r

Как видно из рис. 2.7, во время коммутации напряжение на ин дуктивности имеет скачок напряжения (перенапряжение)

uL1 2 3 R 1 r E, которое может значительно превосходить напряжение

r

источника.

Пример

Напряжение источника E = 12 В. Сопротивление катушки = 1 Ом.

17

Добавочное сопротивление R = 1 кОм. Тогда начальное значение на пряжения на катушке (перенапряжение на катушке)

uL1 2 3 R 1 r E 2 1000 11 412 2 12000 2 12 кВ.

r1

Такое напряжение может привести к пробою межвитковой изоля ции, вызвать межвитковое короткое замыкание, искрение контак тов переключателя, горение дуги, т. е. привести к аварийному режи му работы.

11122
E
iL 1
r
			2
6	3	5	4
31122
6			2

uL* 1 3 R 2 r E r

Рис. 2.7

Поэтому при отключении больших индуктивностей необходимо предусмотреть меры по снижению начального перенапряжения на индуктивности: либо реостатное выключение, либо шунтирование индуктивности гасящими цепочками (рис. 2.8, а, б)

При реостатном выключении индуктивности (рис. 2.8,а) ключ последовательно переводиться из положения 1 в 2, затем в 3, 4. При этом значения сопротивлений R1 < R2 < R3 < R4, т. е. каждый раз происходит ограничение перенапряжения на индуктивности на до пустимом уровне и лишь затем индуктивность выключается. На рис. 2.8,б при выключении транзистора (отключении индуктивности) ток

18

						5
	a)				б)
		1	2	3	3	6123
	1				4
5	4	3	2

61 62 63

Рис. 2.8

протекает через гасящий диод с последовательно включенным сопро тивлением. При этом происходит ограничение напряжения как на индуктивности, так и на транзисторе, которое уже не может вызвать пробой транзистора за счет обратного напряжения при выключении индуктивности.

2.4. Переходный процесс в цепи RL при включении на синусоидальное напряжение

Пусть напряжение источника на входе цепи (рис 2.9) изменяется по следующему закону:

e(t) 1 Em sin(2t 3 4),

где – начальная фаза, определяющая момент коммутации и назы ваемая фазой включения.

5	6	7	1234

8132

Рис. 2.9

В соответствии с ЗНК, составленного для цепи после коммутации, имеем неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

L di 1 iR 2 e(t) 2 Em sin(3t 1 4), dt

19

либо в нормальной форме

di 1 R i 2		Em	sin(3t 1 4).				(2.24)
dt L		L
Как известно решение можно записать
				1	t
i(t) 1 i	(t) 2 (i2 3i2 )e				3	.	(2.25)
ycm			ycm

Установившеюся составляющую тока найдем из расчета цепи (рис. 2.10) на основе метода комплексных амплитуд.

12

41	31

Рис. 2.10

По закону Ома:

*.	*		*		*
	Em		Em		Em		j(		)
Im 1		1		1		e		123	,	(2.26)
	Z		zej3		z
где Z 1 R 2 j3L 1 R2 2 (3L)2ej			1 zej		– комплексное сопротивление

цепи; 2 3 arctg 1L – угол сдвига между напряжением и током.

R

Исходя из (2.26) записываем мгновенное значение установившей ся составляющей тока

i	(t) 1	Em	sin(2t 3 4 5 6) 1	Em	sin(2t 3 4 5 6) 1
уст		z		R2 3 (2L)2
1 Im sin(2t 3 4 5 6)					(2.27)
и ее значение при t = 0

i1	1 i			1 I sin(2 34).	(2.28)
ycm	ycm		t20	m

В соответствии с законом коммутации ток индуктивности скачком измениться не может, поэтому начальное значение тока в цепи

20