TR-DI

М И Н И С Т Е Р С Т В О Т Р А Н С П О Р Т А Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И Ф Е Д Е РА Л Ь НО Е А Г Е НТ С Т ВО ЖЕ Л Е ЗН О Д ОР ОЖ Н О Г О Т РА Н С ПО Р Т А

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

								С А М А Р С К И Й	Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й
	СамГУПС
								У Н И В Е Р С И Т Е Т П У Т Е Й С О О Б Щ Е Н И Я
								К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и

Т и п о в о й р а с ч е т

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

« П Р И Л О Ж Е Н И Я

ДИ Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Г О

ИС Ч И С Л Е Н И Я »

Д Л Я С Т У Д Е Н Т О В О Ч Н О Й Ф О Р М Ы О Б У Ч Е Н И Я

Cамара – 2015

УДК 517.2 (075.8)

Типовой расчет по высшей математике «Приложения дифференциального исчисления» / Л. В. Кайдалова, Г. А. Павлова. Самара: СамГУПС; 2015, 38 с.

Утвержден на заседании кафедры, протокол № от

Методические указания составлены в соответствии с ФГОС, с действующей программой по высшей математике для технических специальностей.

В указаниях приведены индивидуальные задания, а также примеры решения задач. Предназначены для студентов первого курса технических специальностей очной фор-

мы обучения.

Ил. 4. Библиогр. 5. Табл. 7.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГУПС.

Составители	Л. В. Кайдалова, к. ф.-м. н.,
	Г. А. Павлова, к. ф.-м. н.

Рецензенты: к. т. н., доцент СамГТУ	Уманский М. И.,
к. ф.-м. н., доцент СамГУПС	Кузнецов В. П.

Кайдалова Л. В., Павлова Г. А.

Самарский государственный университет путей сообщения, 2015

2

Оглавление

П О Р Я Д О К В Ы П О Л Н Е Н И Я И З А Щ И Т Ы Т И П О В О Г О Р А С Ч Е Т А П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

1.Выполнение учебного задания проводится по графику, устанавливаемому кафедрой высшей математики.

2.Решения задач необходимо представлять в письменном виде. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в учебном задании.

3.Во время защиты студент должен уметь отвечать па теоретические вопросы, пояснять решения примеров из задания, решать примеры аналогичного типа.

4.Студенты, не отчитавшиеся по типовому расчету, не допускаются к сдаче экзамена по курсу.

5.При выполнении типового расчета необходимо соблюдать следующие пра-

вила:

 на обложке тетради указать Ф. И. О., название предмета, номер группы, номер варианта, например

С а м а р с к и й г о с у д а р с т в е н н ы й у н и в е р с и т е т п у т е й с о о б щ е н и й К а ф е д р а « В ы с ш а я м а т е м а т и к а »

Ти по в о й р а с ч е т № 2 по м а т е ма т и ч е с ко му а н а л и з у

в ар и а нт № 3

с т уд е нт а г р . Д 1

И в а но в а С ер г ея Н ико л аев ич а

П р о в е р и л д о це нт К уз н е цо в В . П .

Cамара – 2015

представлять решения задач последовательно со всеми развернутыми расчетами и краткими пояснениями;

рисунки выполнять карандашом с использованием чертежного инструмента;

проверять правильность решения задач.

3

Оглавление

Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е В О П Р О С Ы

1.Дифференциал отображения евклидова пространства в евклидово пространство.

2.Дифференциал и производная числовой функции одной переменной.

3.Геометрическая интерпретация приращения, производной и дифференциала числовой функции одной переменной.

4.Полный дифференциал и частные производные числовой функции нескольких переменных.

5.Геометрическая интерпретация приращения, производной и дифференциала числовой функции нескольких переменных.

6.Вычисление производных и дифференциалов сложных функций.

7.Вычисление производных неявных функций.

8.Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции одной переменной.

9.Частные производные числовой функции нескольких переменных и полные дифференциалы высших порядков.

10.Свойства функций, дифференцируемых на интервале.

11.Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

12.Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

13.Представление некоторых функций по формуле Тейлора. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций.

14.Главная часть БМ. Возрастание и убывание функции.

15.Экстремумы функции.

16.Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба кривой.

17.Асимптоты кривой.

18.Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных.

19.Локальные экстремумы функции нескольких переменных.

20.Элементы теории поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.

21.Физический и геометрический смысл градиента.

22.Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных. Метод Лгранжа.

23.Глобальные экстремумы числовой функции нескольких переменных.

4

Оглавление

ТЕ О Р Е Т И Ч Е С К И Е У П Р А Ж Н Е Н И Я

1.При каком условии уравнение х2 + рх + q = 0 имеет

1)один вещественный корень;

2)два вещественных корня?

Изобразить соответствующие области на плоскости (р, q).

2. Пусть f (x) С1(–; +) и для любых х и h справедливо тождество f (x + h) – f (h) h f (x).

Доказать, что
f (x) = ax + b,
где а и b – постоянные.
3. Доказать теорему.
Если 1) функции (x) и (x) n-кратно дифференцируемы; 2)	(k)(a) = (k)(a)
( k 0, n 1); 3) (n)(x) > (n)(x) при х > a, то справедливо неравенство		(x) >

(x) при х > a.

4.Пусть а – абсцисса точки перегиба кривой у = f (x), где f (x) – дифференцируемая функция. Будет ли точка а точкой экстремума для функции у = f (x)?

5.Показать, что у любой дважды непрерывно дифференцируй функции между двумя точками экстремума лежит, по крайней мере, одна точка перегиба графика функции.

6.Как выглядит график функции у = f (x) в окрестности точки х = –1, если

		f (–1) = 2, f (–1) = –1, f (–1) = 1?
7.	Доказать,	что если функция f (x) неотрицательна, то функция F(x) = = C
f 2 (x)	имеет те же точки экстремума, что и функция f (x).
8.	Доказать,	что если для функции		f (x) существует вторая производная f
(x), то
		f (x) lim	f (x h) f (x h) 2 f (x)			.
		h 0		h2
9.	Функцию z = f (x, y), удовлетворяющую тождественно соотношению
		f (mx, my) mk f (x, y)			m ,

считают однородной функцией k-ого измерения. Показать, что однородная функция k-ого измерения z = f (x, y) всегда может быть представлена в виде

k		у
z = x F			.
		х

10. Доказать, что через точки экстремума плоского (пространственного) скалярного поля не проходят линии (поверхности) уровня. Можно ли провести линии уровня указанных ниже плоских полей через данные точки

1)	f (x, y) = 2xy – 3x2 – 2y2 + 10, B(0, 0);
2)	f (x, y) = 4(x – y) – x2 – y2, C(2, –2).

5

Оглавление

З А Д А Н И Е № 1

( П Р А В И Л О Л О П И Т А Л Я )

Вычислить пределы указанных функций с помощью правила Лопиталя.

1.1.a)

б)

1.2.a)

б)

1.3.a)

б)

1.4.a)

б)

1.5.a)

б)

1.6.a)

б)

1.7.a)

б)

6

lim

1 cos x2

;

в)

x2 sin x2

x 0

lim

arctg x ln(1 x2 )

;

г)

x 0

3x

lim

ln tg x

;

в)

x / 4 cos 2x

lim

2x ln(1 2x)

;

г)

x 0

x2

lim

arcsin 2x 2arcsin x

;

в)

x 0

x3

lim

ln(1 3x) sin3x

;

г)

x 0

3x2

lim

х ctg x 1

;

в)

x 0

x2

lim x sin2x ctg2 x ;

г)

x 0

lim x ctg3x ;

в)

x 0

lim

3tg 4x 12tg x

;

г)

3sin 4x 12sin x

x 0

lim

x(ex 2) ex 1

;

в)

x3

x 0

lim

sin3 x

;

г)

x 1

sin2 x

lim

3 tg x 1

;

в)

x 1

x / 4 2 sin2

1

1

lim

;

г)

x 1

2(1

x ) 3(1

3

x )

Оглавление

lim ctg x 1/ ln x ;

x 0 0

lim 2x 5 2 x /( x 3) .

x 3

lim cos x / 2 x ;

x / 2

lim 3x 5 2 x /( x2 4) .

x 2

	x tg		x
			2
lim tg				;
x 1	4

lim 2x 3 x /( x 2) .

x 2

1 tg x lim ; x 0 х

lim 3 2x 2 x /( x 1) .

x 1

lim 7 6x x /(3x 3) ;

x 1

			1/ x2
	sin x
lim			.
x 0		x
			1/ ln x
lim		arctg x		;
x	2

lim 1 x2 1/ x .

x 0

3

lim х 4 ln x ;

x 0 0

lim ln(x e) 1/ x .

x 0 0

1.8.a)

б)

1.9.a)

б)

1.10.a)

б)

1.11.a)

б)

1.12.a)

б)

1.13.a)

б)

1.14.a)

б)

1.15.a)

б)

1

1

;

lim

х

е

х

x 0

1

limarcsin x ctgx ;

x 0

lim

esin x ex

;

sin x x

x 0

lim

3x tg x

;

x 0 sin2 x

1 4 sin2

x

lim

6

;

1 x2

x 1

1

1

lim

;

х

arcsin x

x 0

lim 2arctg x ln x ;

x

lim tg x sec x ;

x / 2

2

lim x ln

arctg x ;

x

lim

ex 1

;

x 0 cos x 1

lim

ex sin x x

;

3x2 x5

x 0

lim ctg x 1/ х ;

x 0

ln

x 1

lim

x

;

x 1

x ln

x

lim

x tg x

;

x 1 cos x

lim

ln 1 1/ х

;

arcctg x

x

lim

x ln x

( 0) ;

x 0 0

в)	lim хsin x ;
	x 0
	sin2x					1/ x2
г)	lim						.
	x 0 2x
	lim 1 x cos					x
в)						2	;
	x 1
г)	lim 2x 3 3x /( x 2) .
	x 2
		1
в)	lim x1 х ;
	x 1
г)	lim 3x 2 5x /( x2 1) .
	x 1
в)	lim tg x tg 2 x ;
	x / 4
г)	lim 2x 1 3x /( x 1) .
	x 1
в)	lim cos x 1/ sin2 x ;
	x 0

г) lim 2 x 2 x /( x 1) . x 1

				5					1/ sin x
в)	lim									;
		2
	x 0				9 x
г)	lim 3 2x x /(1 x) .
	x 1
в)	lim lnctg x tg x ;
	x 0 0
г)	lim		x x .
	x 0 0
в)	lim		1/ ln (ex				1)	;
			x
	x 0 0
			4x 3 2 x 3
г)	lim							.
	x		4x 1

7

Оглавление

1.16.a)

б)

1.17.a)

б)

1.18.a)

б)

1.19.a)

б)

1.20.a)

б)

1.21.a)

б)

1.22.a)

б)

1.23.a)

б)

8

lim

ln(x 1) x

;

x 1 0

tg

2х

lim

x sin x

;

x 0

tg x x

lim

ex sin x 1

;

ln(1 x)

x 0

lim x / 2 tg x ;

x / 2

lim

x arcsin x

;

x 0

x3

ln x

;

lim

x

x

lim

lnsin x

;

( 2x)2

x / 2

x

1 x ;

lim

a

x

lim

sec x2 2tg x

;

1 cos 4x

x / 4

lim 1 x tg

x

;

2

x 1

lim

lnsin3x

;

lnsin x

x 0 0

lim

ex e x

;

x ex e x

lim

ln tg 7x

;

x 0 0 ln tg 2x

lim

x cos x sin x

;

x 0

x3

lim

ex e x

;

sin x

x 0

lim

sin x / 3

;

1 2 cos x

x / 3

в)

г)

в)

г)

в)

г)

в)

г)

в)

г)

в)

г)

в)

г)

в)

г)

lim cos nx m/ x2

;

x 0

tg

x

2

x

2а

lim

.

x a

а

sin x

1/( x a)

lim

;

sin a

x a

lim x2ctg2 3x .

x 0

1 tg x

lim

;

x 0

2x

lim cos x ctg2 x .

x 0

2

x

lim

arctg x

;

x 0

lim ln(x e) 4 / x .

x 0 0

x tg

х

2

lim tg

;

x 1

4

	lim 1 sin2 x 1/ tg2 x .
	x 0
	2							1/ x
	lim				arccos x				;
	x 0
	lim 1 x ln x .
	x 1 0
	lim tg x 2 x ;
	x / 2
	lim ln 2x 1/ ln x .
	x
						x		1/ x
	lim tg								;
						2x 1
	x
	1				tg x
	lim				.
	x 0 x

Оглавление

1.24.a)

б)

1.25.a)

б)

1.26.a)

б)

1.27.a)

б)

1.28.a)

б)

1.29.a)

б)

1.30.a)

б)

x

lim

;

x / 2 ctg х

2 cos x

lim

tg x

;

x

tg5x

2

lim ln x ln x 1 ;

x 1 0

lim x ctg 2x ;

x 0

lim

аха 2

(а 1)xа 1 х

;

(x 1)2

x 1

lim

exp( x2 ) cos x

;

2x2

x 0

lim

ln(cos ax)

;

x 0 ln(cos bx)

lim

sin 5 x

;

x 1 sin 2 x

2

1

lim x

exp

;

x 0

x2

lim				/ 2 arctg x						;
					ln 1 1/ х2
x
lim					x sin x						;
x 0 ex 1 x x2 / 2
lim x / 2 tg x ;
x / 2
lim	1 cos x						;
x 1				tg2 x
			ln		1 x	2x
lim					1 x				;
				x sin x
x 0

в)

lim ctg x sin x ;

x 0

lim 1 x cos

x

г)

2

.

x 1 0

tg x

ctg ( x a)

в)

lim

;

x a tga

г)

lim 1 x2 1/ x .

x 0

1 x

в)

lim

ln

;

x 0 0

x

г)

lim 4x 7 3x /( x 2) .

x 2

lim 2 x tg

x

в)

2

;

x 1

г)

lim 1 x ln2 x .

x 1 0

в)

lim x x2 ;

x

г)

lim 3x 8 x /( x 3) .

x 3

в)

lim sin x tg x ;

x / 2

г)

lim 1 2x 1/ x .

x 0

в)

lim cos mx n / x2 ;

x 0

г)

lim 1 cos x x .

x 0

9

Оглавление

З А Д А Н И Е № 2

( И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й )

Исследовать функции и построить графики.

	2.1.а) y =	x2	;	б)	y	x3	x	;
		ex				x2	1

2.2.а) y = sin x + cos x;				б)
2.3.а) y = x – ln (1 + x);				б)
2.4.а) y = ln (1 + x2);				б)
2.5.а) y = x2 exp (–x2);				б)
2.6.а) y = x3 exp (–x);				б)
	x2
2.7.а) y = x exp			;	б)
	2
2.8.а) y = sin x – sin2 x;				б)
2.9.а) y = x + sin x;				б)

2.10.а) y = ln cos x;

2.11.а) y = cos x – ln cos x;

2.12.а) y = x – 2 arctg x;

2.13.а) y = x arctg x;

2.14.а) y = x + cos x;

x 1			2
y				;
x 1

	y		2x 3		;
			(x 1)3
	y		x		;
			(x 2)2

y2x 1 ; x2

y		2x2				;
		4x2 1
y		4x3		;
		x3	1
y		x4		;
	x3		1

y(x 2)(3 х) ; x2

б)	y					2 4x		2		;
						1 4x2
б)	y					x 1			;
						x2 2х
б)	y					( x 3)2				;
						x 1
б)	y					4x2		;
						x3 1
б)	y					(4 x)2					;
						2 x

	в)	y		x2		1			.
					x2		1
	в)	y					x				.
				3 (x 2)2
	в)	y			x2				.
					x2		1

в) y x 3 x3 1 .

в) y 3x2 2 .

в) y x 3x2 .

в)	y 3	x2		.
		x
			1

в) y 3(x2 1)2 .

в) y (x 1) 3 x2 .

	в) y		x		.
			x 2

в) y 33x2 2х .

в) y 3 x3 3x .

в) y xx 3 .

в) y 3(x2 4)2 .

10

Оглавление