3443 Курсовая Работа ЭЭ

В этой схеме и в этой формуле неизвестными являются две величины JЭ и ZЭ. Определим их. Согласно теореме об ЭИТ ток эквивалентного источника тока будет равен: JЭ = IК. З. в схеме рис. 21, а сопротивление эквивалентного источника тока будет равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника относительно зажимов (3–4): ZЭ = ZВХ. в схеме рис. 22.

Рис. 21. Схема для определения тока короткого замыкания

Рис. 22. Схема для определения входного сопротивления

Ток короткого замыкания в схеме рис. 21 будет равен: IК. З. = II. Рассчитаем ток II. Так как после замыкания ветви 6 схема изменилась, то необходимо определить новое значение числа узлов и числа ветвей: NУ = 3 и NВ = 5. Таким образом, число уравнений по МКТ будет равно:

NМКТ = NВ – NУ +1 – NJ = 5 – 3 +1 – 2 = 1.

Контурный ток II показан на схеме рис. 21. Составим уравнение по МКТ для тока II.

I I (R2 + R3+ Z C3 + Z L5 ) − J1R2 − J 4 (R2 + R3 + Z C3 ) = 0 .

Выразим ток II из этого уравнения.

I I =	J1R2 + J 4 (R2 + R3 + Z C3 )	.
	(R2 +R3+Z C3 + Z L5 )

31

Подставив числовые значения, получим:

I I = 1,556e− j0,175 15,75 + 1,768e− j0,7 (15,75 + 21− j23,81) = 2,428e− j1,24 = 0,79 − j2,296 А. (15,75 + 21− j23,81+ j31,5)

Таким образом, ток короткого замыкания будет равен:

IК. З. = 2,428e-j1,24 = 0,79 – j2,296 А.

Отсюда JЭ = 2,428e-j1,24 = 0,79 – j2,296 А.

Определим ZВХ. относительно зажимов 3 и 4 в схеме рис. 22. В этой схеме значения источников тока приравниваются к нулю, и они заменяются их внутренними сопротивлениями.

	Z ВХ. =	(R2 + R3 + Z C3 + Z L5 ) R7	=	(15,75 + 21− j23,81+ j31,5) 42	= 19,93e j0,109	= 19,812 + j2,167 .
		R2 + R3 + Z C3 + Z L5 + R7		15,75 + 21− j23,81+ j31,5 + 42

Для сопротивления эквивалентного генератора получаем:

ZЭ = ZВХ. = 19,93ej0,109 = 19,812+j2,167.

Теперь найдем ток I6.

I 6 = J Э	Z Э	= 2,428e− j1,24	19,93e0,109	= 2,12e− j0,607 = 1,738 − j1,206 , А.
	Z Э + Z 6		19,812 + j2,167 − j13,605

Из сравнения полученного результата со значением тока I6, найденным в п. 7, следует, что и по модулю, и по аргументу значения тока, рассчитанного по методу эквивалентного генератора тока и по МКТ совпадают, следовательно, расчет тока выполнен верно.

10. Построим векторные диаграммы токов и напряжений для узла 2 и контура из сопротивлений R2, R3, ZC3, ZL5 и R7 схемы, приведенной на рис. 17. Уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа, для узла 2 будет иметь следующий вид:

J1 = I2 + I3.

Подставив в это уравнение числовые значения, получим тождество.

1,532 – j0,271 = 1,537 + j0,36 – 4,9 10–3 – j0,631.

32

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для указанного контура:

− I 2 R2 + I 3 R3 + I 3 Z L3 + I 5 Z L5 + I 7 R7 = 0 .

После подстановки числовых значений получим:

1,578e j0,23 15,75 + 0,631e j1,579 21+ 0,631e j1,579 21e j1,57 + 2,22e− j0,92 31,5e j1,571 + 0,685e− j2,178 42 = 0.

Выбрав масштаб по току и напряжению, строим векторные диаграммы, которые приведены на рис. 23.

Для сравнения построим временные зависимости токов и напряжений, показанных на векторной диаграмме. Временные зависимости для токов i1(t), i2(t) и i3(t) имеют следующие выражения:

i1(t) = 2,2 cos(1000t − 0,175) А, i2 (t)= 2,232 cos(1000t + 0,23) А, i3 (t) = 0,892 cos(1000t − 1,579) А.

Графики временных зависимостей для токов приведены на рис. 24.

Рис. 23. Векторные диаграммы токов и напряжений для примера 2

Запишем временные зависимости для напряжений uR2t), uR3(t) и uС3(t).

uR2(t) = 35,156cos(1000t + 0,23), В; uR3(t) = 18,727cos(1000t – 1,579), В; uC3(t) = 21,232cos(1000t + 3,13375),В.

33

По полученным выражениям построим графики временных зависимостей uR2(t), uR3(t) и uL3(t). Для сравнения на этом же рисунке покажем график зависимости тока i3(t). Графики временных зависимостей для напряжений uR2(t), uR3(t), uС3(t) и тока i3(t) приведены на рис. 25.

Из графиков (рис. 25) видно, что ток i3(t) и напряжение uR3(t) совпадают по фазе, а ток i3(t) и напряжение uС3(t) сдвинуты по фазе друг относительно друга на π/2.

Рис. 24. Графики временных зависимостей для токов i1(t), i2(t) и i3(t)

Рис. 25. Графики временных зависимостей для напряжений uR2(t), uR3(t), uС3(t) и тока i3(t)

34

5.РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

СЗАВИСИМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

Для расчета линейных электрических цепей с зависимыми источниками применим те же методы, что и для цепей с независимыми источниками. Однако после составления системы уравнений по МКТ или МУН в правых частях уравнений будут присутствовать слагаемые, зависящие от искомых величин – токов (напряжений) в каких-либо ветвях схемы. Для того чтобы полученную систему уравнений привести к виду, пригодному для решения, необходимо в уравнениях управления зависимых источников, управляющие токи (напряжения) выразить через неизвестные переменные данной системы уравнений: узловые напряжения при использовании МУН или контурные токи при использовании МКТ. Перенеся затем неизвестные величины в левые части уравнений и решив систему уравнений, находим узловые напряжения или контурные токи, а затем и токи в ветвях.

Так, например, если в схеме рис. 8 идеальный источник напряжения Е2 является зависимым и уравнение управления имеет вид Е2 = KE I3, то система уравнений по МУН будет иметь следующий вид:

	U		2 (Y 2 + Y 4 + Y 3 )− U 3Y 3 = K E I 3Y 4 + E1Y 2				.	(51)
	−		U	2Y 3 +	U	3 (Y 3 + Y 5 )= J

Выразим управляющий ток через узловые напряжения: I3 = (U2 – U3)Y3. Подставим это выражение в первое уравнение системы и приведем ее к каноническому виду:

	U		2 (Y 2 + Y 4 + Y 3 − K E Y 3Y 4 )−				U	3 (Y 3 − K E Y 3Y 4 )= + E1Y 2	.	(52)
	−		U	2Y 3 +	U	3 (Y 3 + Y 5 )= J

Решив полученную систему уравнений, находим узловые напряжения U2 и U3, а затем и токи в ветвях схемы.

Пример 3. Расчет цепи с зависимыми источниками.

1. Пусть в схеме рис. 8 источник тока J4 является зависимым: J4 = KJ I5. Схема цепи, подлежащая расчету, приведена на рис. 26.

Рассчитаем токи в схемы. На первом этапе расчета система уравнений по МУН будет совпадать с системой записанной для независимого источника (53).

	1							1									1													1
					+						U					−					U			= J		+								E
	Z C3														2		Z L5						3		4				Z C3						1
							Z L5																														(53)
	1										1						1							1												.
																																		= 0
−					U				+							+				+										U
		Z	L5					2				Z		L5				R				R		+ Z	C7							3
																	6						7

35

Рис. 26. Схема цепи с зависимым источником

Теперь учтем, что ток источника J4 зависит от тока в пятой ветви I5, и для того, чтобы система уравнений была разрешима относительно узловых напряжений U2 и U3, выразим в уравнении управления ток I5 через узловые напряжения:

J 4	= K J I 5 = K J		U	2 −	U	3	.	(54)
				Z L5

2. На втором этапе решения системы подставим полученное выражение J4 (54) в первое уравнение системы (53). После преобразования система уравнений примет следующий вид (55):

1

1

K

J

1

K

J

1

+

−

U

−

−

U

=

E

Z C3

Z L5

2

Z L5

3

Z C3

1

Z L5

Z L5

(55)

1

1

1

1

.

−

U

+

+

+

U

= 0

Z

L5

2

Z

L5

R

R

+ Z

3

6

7

C7

3. Подставив в полученную систему уравнений числовые значения элементов и ко-

π

эффициента пропорциональности K J = 1,5e j 6 , получим систему (56):

1

1

1,5e

j

π

1

1,5e

j

π

97,23e j0,35

6

6

+

−

U

2

−

−

U

3

=

− j92,6

j81

j81

j81

j81

− j92,6

1

1

1

1

−

U

+

+

+

U

= 0

j81

2

j81

94,5

108 − j46,296

3

. (56)

После приведения к каноническому виду получим систему (57):

(− 9,259 10

−3

+ j1,449 10

−2

) U 2 − (− 9,259 10

−3

− j3,692 10

−3

) U 3

= −0,359 + j0,987

j1,235 10− 2 U

+ (1,84

10− 2

− j8,8993 10−3 ) U

= 0

.

(57)

2

36

3

4. Решим полученную систему уравнений методом Крамера. Для этого вычислим

главный определитель системы

z и два вспомогательных

1 и

2.

z =

(− 9,259 10−3 + j1,449 10−2 )

(− 9,259 10−3 − j3,692 10−3 )

=

j1,235 10−2

(1,84 10− 2 − j8,8993 10−3 )

=

− 8,566 10−5

+ j2,357 10−4 = 2,507 10− 4 e j 1,919.

=

(− 0359 + j987)

(− 9,259 10−3 − j3,692 10−3 )

= 2,264 10−3 + j0,0214 = 0,0215 e j1,465 .

1

0

(1,84 10− 2 − j8,899310−3 )

=

(− 9,259 10−3 + j1,449 10−2 )

(−0,359 + j987)

= 0,01218 + j4,434

10−3 = 0,01296e j0,349 .

2

j1,23510− 2

0

5. После вычисления определителей найдем узловые напряжения U2 и U3.

U 2

=

1

=

0,0215e j1,465

= 85,779e− j0,454 = 77,085 − j37,627 В.

z

2,507 10− 4 e j1,919

U 3

=

2

=

0,0129e0,349

= 51,7e− j1,57039 = 0,021− j51,7 В.

2,507 10− 4 e j1,919

z

6. Выразим токи в ветвях схемы через узловые напряжения.

I 2

=

U

1

=

97,227e j0,349

= 2,4e j0,349 = 2,256 + j0,821 А.

R2

40,5

I 3

=

U

1 −

U

2

=

91,364 + j33,254 − 77,085 + j37,627

= 0,781e j2,9428 = −0,7655 + j1542 А.

Z C3

− j92,6

I 5

=

U

2 −

U

3

=

77,085 − j37,627 − 0,21+ j51,7

= 0,967e− j1,39

= 0,174 − j0,951 А.

Z L5

j81

I 6

=

U

3

=

51,7e− j1,57039

= 0,547e− j1,57039 = 2,2236 10− 4 − j0.547 А.

R6

94,5

I

7

=

U

3

=

51,7e− j1,57039

= 0,44e− j1,165 = 0,1735 − j0,404

А.

R

+ Z

C7

117,5e− j0,405

7

37

Ток I1 в особой ветви схемы найдем по первому закону Кирхгофа, а ток I4 равен току источника тока J4.

I1 = I 2 + I 3 = 2,256 + j0,821− 0,7655 + j0,1542 = 1,49 + j0,975 = 1,781e j0,579 А.

I 4 = J 4 = K J I 5 = 1,5 e j	π	0,967e− j1,39 = 1,451e− j0,8666 = 0,939 − j1,106 А.
	6

7. Вычислим баланс активной и реактивной мощностей источников и потребителей. Активная потребляемая мощность равна:

Pпотр. = R2 I 22 + R6 I 62 + R7 I 72 = 40,5 2,42 + 94,5 0,547 2 + 108 0,442 = = 233,41 + 28,285 + 20,907 = 282,602 Вт.

Реактивная потребляемая мощность равна:

Z C 3

2

Z L 4

2

Z L5

2

Z C 7

2

Q

пот.

=

I

3

+

I

4

+

I

5

+

I

7

=

j

j

j

j

= −92,6 0,7812

+ 67,5

1,4512

+ 81 0,967 2

− 46,296 0,442

= 152,4 ВАР.

Для определения мощности источника тока предварительно определим напряжение на источнике UJ4 по формуле:

	U	J 4 = E1 − I 3 Z C 3 + I 4 Z L 4 =
= 91,364 + j33,234 − 0,781e j 2,9428 92,6e− j			π	+ 1,451e− j 0,8666	67,5e j	π	=
			2			2

= 153,888e j 0,1683 = 151,715 + j25,772.

Определим комплексную мощность источников. Мощность источника ЭДС равна:

*

S E = E1 I1 = 97,227e j0,349 1,781e− j0,579 = 173,174e j0,23 = 168,598 − j39,545 .

Мощность источника тока равна:

*

S J 4 = U J 4 I 4 = 153,888e j0,1683 1,451e j0,86666 = 223,248e j1,035 = 114 + j191,945 .

Суммарная мощность источников равна:

Sист. = S E1 + S J 4 = 168,598 − j39,545 + 114 + j191,945 = 282,602 + j152,4 .

38

Разделяя комплексную мощность источников на активную и реактивную получим:

Pист. = Pпот.; 282,602 = 282,602 ; Qист. = Qпот. 152,4 = 152,4 .

Вывод: расчет электрической цепи с зависимым источником выполнен правильно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данных методических указаниях рассмотрены основные методы анализа электрических цепей на переменном токе. При рассмотрении различных методов расчета особое внимание уделяется как теоретическим вопросам, так и практическому применению данных методов. С этой целью после теоретических сведений приводятся конкретные примеры по применению данного метода расчета. На этих примерах с применением схем и использованием средств вычислительной техники показаны подходы, с помощью которых происходит освоение методов анализа сложных электрических цепей на переменном токе символическим методом. Описываемые методы используют понятия теории функций комплексных переменных и применимы в основном для цепей переменного тока. В общем случае искомые электрические величины могут быть найдены в результате совместного решения системы уравнений составленной для заданных неизвестных переменных.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Атабеков Г. И. Основы теории цепей : учебник. – 3-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009. – 432 с.

2.Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986.

–544 с.

3.Шебес М. Р. Задачник по теории линейных электрических цепей / М. Р. Шебес, М. В. Каблукова. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.

4.Бакалов В. П. Основы теории электрических цепей и электроники / В. П. Бакалов, А. Н. Игнатов, Б. И. Крук. – М.: Радио и связь, 1989. – 528 с.

39

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Задание к курсовой работе

Курсовая работа состоит из двух частей, которые включают в себя решение следующих задач:

1)расчет цепи с независимыми источниками методом контурных токов или методом узловых напряжений, а также с применением теоремы об эквивалентном источнике напряжения или теоремы об эквивалентном источнике тока;

2)расчет цепи с зависимыми источниками методом контурных токов или методом узловых напряжений. Правильность решения каждой задачи проверяется расчетом баланса мощностей.

2.Расчет линейных электрических цепей с независимыми источниками

Для всех вариантов задания исходной является общая структура схемы, приведенная на рис. П1. На рис. П2 приведены двухполюсники, которые могут использоваться в качестве двухполюсников Z1 ÷ Z7 в схеме рис. П1. Здесь же указаны их порядковые номера.

Рис. П1. Общая структура схемы для расчета

Рассчитываемая схема составляется в соответствии с общей структурой рис. П1 по числовому коду, приведенному в табл. П1. Числовой код представляет собой семь цифр. Первая цифра кода означает номер двухполюсника, включаемого в качестве Z1 в схеме рис. П1, вторая – номер двухполюсника, включаемого в качестве Z2 и т. д. При этом индекс элементов, из которых состоит двухполюсник, должен соответствовать индексу двухполюсника в схеме рис. П1. Так, например, если в качестве двухполюсника Z5 в схему будет включен двухполюсник 12, то он должен быть изображен состоящим из последовательно соединенных сопротивления R5 и индуктивности L5.

Величины элементов и параметры источников энергии рассчитывают по следующим формулам:

Rn = 0,25 A (n +1), Ом; Ln = 0,25 A (n +1)10−3 , Гн; Cn = 0,5 A (n +1)10−6 , Ф; en (t) = 2,5 (A + n) cos(1000 t + n 0,35), В; in (t) = 0,1 (A + n) cos(1000 t − n 0,175), А,

где А – номер группы; n – индекс элемента.

40