3498

3498	МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
	ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра «Экономика и финансы»

Э К О Н О М Е Т Р И К А

Методические указания и задание для самостоятельной работы студентов направления подготовки 080100 «Экономика» профилей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит», «Экономика организаций и предприятий»

очной формы обучения

Составитель: Е.А. Герасимова

Самара

2014

1

УДК 330.43(075.8)

Эконометрика : методические указания и задание для самостоятельной работы студентов направления подготовки 080100 «Экономика» профилей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит», «Экономика организаций и предприятий» очной формы обучения / составитель Е.А. Герасимова. – Самара : СамГУПС, 2014. – 38 с.

Данное издание содержит методические указания и задание для самостоятельной работы студентов очной формы обучения направления «Экономика» по разделам: парная регрессия и корреляция; множественная регрессия и корреляция, системы эконометрических уравнений; динамические ряды.

Утверждены на заседании кафедры «1» сентября 2014 г., протокол № 1. Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Составитель: Герасимова Елена Анатольевна – доцент кафедры «Экономика и финансы»

Рецензенты: д.э.н., профессор кафедры ЭиФ СамГУПС М.Ю. Карышев; к.э.н., доцент кафедры ЭиФ СамГУПС О.А. Кузнецова

Редактор И.А. Шимина Компьютерная верстка: Е.А. Самсонова

Подписано в печать 13.10.14. Формат 60×90 1/16. Усл. печ. л. 2,4. Тираж 100 экз. Заказ 210.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2014

2

ВВЕДЕНИЕ

С середины 1990-х годов эконометрика вошла в учебные планы подготовки экономистов в высших учебных заведениях России. Это решение существенно приблизило российское экономическое образование к подготовке в зарубежных университетах. Безусловно, большое влияние на этот процесс оказало присоединение России к Болонским соглашениям.

Любая дисциплина имеет свои пререквизиты, т.е. те учебные дисциплины, на которые она опирается. Изучение эконометрики предполагает, что студенты знакомы с микроэкономикой, макроэкономикой, матричной алгеброй и математической статистикой. Предполагается, что студенты имеют понятия случайной переменной (дискретной и непрерывной), функции вероятности распределения или плотности вероятности. Студенты должны понимать такие статистические термины, как кумулятивное распределение, условная вероятность, уметь вычислять математические ожидания, понимать условие независимости случайных переменных, распределение вероятностей непрерывных и дискретных распределений, включая распределение Бернулли, Пуассона, геометрическое, равномерное, нормальное, хи-квадрат – распределение, экспоненциальное, t- и F-распределения, а также знать экономические индексы.

Компетенции обучающегося, формируемые в ходе выполнения самостоятельных занятий

ПК-6: способен на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты.

В ходе выполнения самостоятельных занятий студент должен

Знать: методы построения эконометрических моделей объектов, явлений и процессов.

Уметь: строить на основе описания ситуаций стандартные эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты; прогнозировать на основе эконометрических моделей поведение экономических агентов, развитие экономических процессов и явлений, на микро- и макроуровне.

Владеть: современной методикой построения эконометрических моделей; методами и приемами анализа экономических явлений и процессов с помощью стандартных и эконометрических моделей.

3

1. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Краткие теоретические сведения

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x:

,

где y – зависимая переменная (результативный признак),

x – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор). Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия:	.на два класса: регрессии,
Нелинейные регрессии делятся		нелинейные
относительно включенных, но линейные по оцениваемым параметрам,		и регрессии,
нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

-	полиномы разных степеней	;
-	равносторонняя гипербола		.

- Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

-	степенная	;
-	показательная	;
-	экспоненциальная	.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонения фактически значений результативного признака y от

теоретических минимальна, то есть	∑уравнений,	.
Для линейных и нелинейных		приводимых к линейным, решается

следующая система относительно a и b:

∑ ∑

∑∑ ∑ .

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной

корреляции	для линейной регрессии						1					1
и индекс корреляции												·	,
		для нелинейной					регрессии
												0		1
					1			ост		1
												∑∑		.

4

Оценку качества построенной модели дает коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

100	∑	.
Допустимый предел значений не более 8–10 %.
Средний коэффициент эластичности Э		показывает, на сколько процентов в

среднем по совокупности изменяется результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1 % от своего среднего значения:

Э· .

Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, в таблице приведены формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии.

Таблица

Коэффициенты эластичности для ряда математических функций

Вид функции y

Первая производная,

y′

Коэффициент эластичности

x

x

= f ′(x)

Э

y

Линейная y = a + bx + ε

b

Э =

bx

a + bx

Парабола второго порядка

b + 2cx

Э =

(b + 2cx)x

y = a + bx + cx 2 + ε

a + bx + cx2

Гипербола

y = a +

b

+ ε

−

b

Э =

− b

x

x2

ax + b

Показательная

y = abx ε

·

·

Э

·

Степенная

y = axbε

a

b

b−1

Э = b

x

Полулогарифмическая

b

Э =

b

y = a + b ln x + ε

x

a + b ln x

Логистическая

y =

a

a b c e

− cx

Э =

cx

1

−cx+ε

1 + b e

(1 + be−cx )2

e

cx

+ 1

b

Обратная

y =

1

− b

Э =

− bx

a + bx + ε

a + bx

(a + bx)2

5

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой

переменной:			,
где	∑	– общая сумма квадратов отклонений;
(«		– сумма квадратов отклонений,	обусловленная регрессией
	∑

объясненная» или «факторная»);

∑– остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного

признака y характеризует коэффициент (индекс) детерминации			:
	∑
	∑
Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента.		или индекса корреляции.
F–тест – оценивает качество уравнения регрессии – состоит в проверке нулевой
гипотезы	о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя
тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического			факт и критического
(табличного)	табл значений – F критерия Фишера. факт определяется из соотношения

значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

∑ / факт ∑ / 1 1 2 ,

где n – число единиц совокупности;

m – число парметров при переменных x.

табл – это максимальное возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α- вероятность отвергнуть правильную гипотизу при условии, что она верна. Обычно α

принимается равной 0,05 или 0,01.
Если факт	табл, то	гипотеза о случайной природе оцениваемых

характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Если факт	табл	то гипотиза		не отклоняется и признается	статистическая
незначимость, ненадежность,			уравнения регрессии.
Для	оценки	статистической		значимости коэффициентов	регрессии и

корреляции расчитывается t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы

каждого из показателей. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, то есть о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

; ; .

6

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяется по формулам:

∑

/

2

ост

ост

;

∑

∑

√

∑

2

·

∑∑

1

ост ·

∑ ост

ост ·

∑

;

.

табличное) значение t-статистики –

Сравнивая фактическое и критическое (

2

факт

и табл – принимаем или отвергаем гипотезу .

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается

равенством				отклоняется, то есть.
Если	факт	>	табл, то				a, b и	не случайно отличаются
от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора									x.
Если факт	<	Ттабл, то гипотеза			не отклоняется и признается случайная природа
формирования a, b и			.
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку									для
каждого показателя:			∆	табл ·	; ∆	табл ·		.

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид

∆

∆ ;

∆

∆ .

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, то есть нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значение.

Прогнозное значение	определяется путем подстановки в уравнение регрессии
соответствующего	(прогнозного) значения			. Вычисляется средняя
стандартная ошибка прогноза	.

ост ∑ ,

истроится доверительный интервал прогноза:

∆∆ .

7

			Задачи для самостоятельной работы
Задача 1							;
Получены функции:				6.
2.			;
1.		·ln	;	5.	1	1	;
3.				7.
	ln	·ln	;				.

4.;

Определите, какие из представленных выше функций линейны по переменным, линейны по параметрам, нелинейны ни по переменным, ни по параметрам.

	Задача 2
	При изучении спроса на телевизоры марки N по 19 торговым точкам аналитики
компании АВС выявили следующую зависимость:					2,5,	4,0,
где	y – объем	ln	10,5 0,8ln	,
		продаж телевизоров марки N в отдельной торговой точке;
	х – средняя цена телевизора в данной торговой точке.
	До проведения этого исследования администрация компании предполагала, что
эластичность спроса по цене для телевизоров марки N составляет						-0,9. Подтвердилось
ли предположение администрации результатами исследования?

Задача 3

Для двух видов продукции А и В модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядит следующим образом:

80 0,7 ;

40 , .

1.Определите коэффициенты эластичности по каждому виду и поясните их смысл.

2.Сравните эластичность затрат для продукции А и В при х=1000.

3.Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для А и В были равны.

Задача 4

При изучении зависимости потребления материалов у от объема производства продукции х по 20 наблюдениям были получены следующие уравнения регрессии:

2.	3	2	,	0,648.	0,68.
1.	ln	2,5	0,2·ln	,,
3.
	3	1,5	0,1		0,701.

1.Определите коэффициенты эластичности для каждого из уравнений.

2.Выберете наилучший вариант уравнения регрессии.

8

Задача 5

По совокупности 30 предприятий торговли изучается линейная зависимость между ценой товара А (тыс. руб.) х и прибылью торгового предприятия (млн руб.) у.

При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные

результаты: ∑

39000;

∑

120000.

1.Поясните, какой показатель корреляции можно определить по вышеприведенным данным.

2.Постройте таблицу дисперсионного анализа для расчета значения F-критерия Фишера.

3.Сравните фактическое значение F-критерия с табличным. Сделайте выводы.

Задача 6

Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью: . Результат применения модели представлен в таблице.

№ п/п	Производительность труда		№ п/п	Производительность труда
	рабочих, тыс. руб. у			рабочих, тыс. руб. у
	фактическая	расчетная		фактическая	расчетная
1	12	10	6	11	12
2	8	10	7	12	13
3	13	13	8	9	10
4	15	14	9	11	10
5	16	15	10	9	9

Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.

	Задача 7
	Результат моделирования прибыли фирмы по уравнению					представлен в
таблице.
	№ п/п	Прибыль фирмы, тыс. руб. у		№ п/п	Прибыль фирмы, тыс. руб. у
		фактическая	расчетная		фактическая	расчетная
	1	10	11	5	18	20
	2	12	11	6	11	11
	3	15	17	7	13	14
	4	17	15	8	19	16

Оценить качество модели. Для этого:

1)определите ошибку аппроксимации;

2)найдите показатель тесноты связи прибыли с исследуемым в модели фактором;

3)рассчитайте F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

9

Задача 8
При изучении зависимости вида			для преобразованных			в логарифмах
переменных получены следующие данные:			9,2334;			3,9310;
	4,2087;	8,2370;
1.	Найти параметр b.		0,0014.	σ	0,08.
2.	Найдите показатель	корреляции,	предполагая			Оцените его
значимость.
3.	Оцените значимость уравнения регрессии, если известно, что n = 9.

Задача 9

Зависимость объема производства (тыс. руб.) y от численности занятых (чел.) х по 15 заводам концерна характеризуется следующим образом:

Уравнение регрессии
Доля остаточной дисперсии в общей	20 %	0,04
	30 0,4

Определите:

1)индекс корреляции.

2)значимость уравнения регрессии.

3)коэффициент эластичности, предполагая, что численность занятых составляет 30

человек.

Задача 10

По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции (тыс. руб.) у от уровня технической

оснащенности (тыс. руб.) х:	20		. Доля остаточной дисперсии в общей

составила 0,19. Определите:

1)коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.;

2)индекс корреляции;

3)F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Задача 11

Зависимость расходов предприятия (тыс. руб.) у от объема производства (шт.) х характеризуется данными, представленными в таблице по двум видам продукции – А и Б.

Уравнение регрессии			Показатели корреляции	Число наблюдений
	160	0,8	0,85	30
Б			0,72	25
	50	,

10