Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Алгоритмы C++

.pdf
Скачиваний:
240
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
6 Mб
Скачать

e-maxx ::algo

Вас приветствует книга, собранная по материалам сайта e-maxx.ru/algo (по состоянию на 20 Sep 2010 18:56).

В этой книге Вы найдёте описание, реализации и доказательства множества алгоритмов, от известных всем до

тех, которые являются уделом лучших олимпиадников и специалистов по Computer Science. В конце приведены ссылки на тематическую литературу, которую можно скачать с моего сайта, а также немного информации обо мне.

Приятного чтения!

Оглавление

Алгебра

элементарные алгоритмы

Функция Эйлера и её вычисление

Бинарное возведение в степень за O (log N)

Алгоритм Евклида нахождения НОД (наибольшего общего делителя)

Решето Эратосфена

Расширенный алгоритм Евклида

Числа Фибоначчи и их быстрое вычисление

Обратный элемент в кольце по модулю

Код Грея

Длинная арифметика

Дискретное логарифмирование по модулю M алгоритмом baby-step-giant-stepШэнкса за O (sqrt(M) log M)

Диофантовы уравнения с двумя неизвестными: AX+BY=C

Модульное линейное уравнение первого порядка: AX=B

Китайская теорема об остатках. Алгоритм Гарнера

Нахождение степени делителя факториала

Троичная сбалансированная система счисления

Вычисление факториала N! по модулю P за O (P log N)

Перебор всех подмасок данной маски. Оценка 3N для суммарного количества подмасок всех масок

Первообразный корень. Алгоритм нахождения

Дискретное извлечение корня

сложные алгоритмы

Тест BPSW на простоту чисел за O (log N)

Эффективные алгоритмы факторизации: Полларда p-1,Полларда p, Бента, ПоллардаМонте-Карло,Ферма

Быстрое преобразование Фурье за O (N log N). Применение к умножению двух полиномов или длинных чисел

Графы

элементарные алгоритмы

Поиск в ширину

Поиск в глубину

Топологическая сортировка за O (N + M)

Поиск компонент связности за O (N + M)

компоненты сильной связности, мосты и т.д.

Поиск компонент сильной связности, построение конденсации графа за O (N + M)

Поиск мостов за O (N + M)

Поиск точек сочленения за O (N + M)

кратчайшие пути из одной вершины

Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин за O (N2 + M)

Алгоритм Дейкстры для разреженного графа нахождения кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин за O (M log N)

Алгоритм Форда-Беллмананахождения кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин за O (N M)

Алгоритм Левита нахождения кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин за O (N M)

кратчайшие пути между всеми парами вершин

Нахождение кратчайших путей между всеми парами вершин графа методом Флойда-Уоршеллаза O (n3)

Подсчёт количества путей фиксированной длины между всеми парами вершин, нахождение кратчайших путей фиксированной длины за O (n3 log k)

минимальный остов

Минимальное остовное дерево. Алгоритм Прима за O (N M) и за O (M log N + N2)

Минимальное остовное дерево. Алгоритм Крускала за O (M log N + N2)

Минимальное остовное дерево. Алгоритм Крускала со структурой данных 'система непересекающихся множеств' за O (M log N)

Матричная теорема Кирхгофа. Нахождение количества остовных деревьев за O (N3)

циклы

Нахождение отрицательного цикла в графе за O (N M)

Нахождение Эйлерова пути или Эйлерова цикла за O (M)

Проверка графа на ацикличность и нахождение цикла за O (M)

наименьший общий предок (LCA)

Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)

Наименьший общий предок. Нахождение за O (log N) с препроцессингом O (N log N) (метод двоичного подъёма)

Наименьший общий предок. Нахождение за O (1) с препроцессингом O (N) (алгоритм Фарах-Колтонаи Бендера)

Задача RMQ (Range Minimum Query - минимум на отрезке). Решение за O (1) с препроцессингом O (N)

Наименьший общий предок. Нахождение за O (1) в режиме оффлайн (алгоритм Тарьяна)

потоки и связанные с ними задачи

АлгоритмЭдмондса-Карпанахождения максимального потока за O (N M2)

Метод Проталкивания предпотока нахождения максимального потока за O (N4)

Модификация метода Проталкивания предпотока за O (N3)

Поток с ограничениями

Поток минимальной стоимости (min-cost-flow).Алгоритм увеличивающих путей за O (N3 M)

Задача о назначениях. Решение с помощью min-cost-flowза O (N5)

Задача о назначениях. Венгерский алгоритм (алгоритм Куна) за O (N4)

Нахождение минимального разреза алгоритмом Штор-Вагнераза O(N3)

Поток минимальной стоимости, циркуляция минимальной стоимости. Алгоритм удаления циклов отрицательного веса

Алгоритм Диница нахождения максимального потока

паросочетания и связанные с ними задачи

Алгоритм Куна нахождения наибольшего паросочетания за O (N M)

Проверка графа на двудольность и разбиение на две доли за O (M)

Нахождение наибольшего по весу вершинно-взвешенногопаросочетания за O (N3)

Алгоритм Эдмондса нахождения наибольшего паросочетания в произвольных графах за O (N3)

Покрытие путями ориентированного ациклического графа

Матрица Татта. Рандомизированный алгоритм для проверки существования совершенного паросочетания в произвольном графе

связность

Рёберная связность. Свойства и нахождение

Вершинная связность. Свойства и нахождение

Построение графа с указанными величинами вершинной и рёберной связностей и наименьшей из степеней вершин

К-ыепути

НахождениеK-гократчайшего пути без циклов с помощью бинарного поиска за O (N2 K log W)

обратные задачи

Обратная задача SSSP (inverse-SSSP- обратная задача кратчайших путей из одной вершины) за O (M)

Обратная задача MST (inverse-MST- обратная задача минимального остова) за O (N M2)

разное

Покраска рёбер дерева (структуры данных) - решение за O (log N)

Задача 2-SAT(2-CNF).Решение за O (N + M)

Геометрия

элементарные алгоритмы

Длина объединения отрезков на прямой за O (N log N)

Ориентированная площадь треугольника и предикат 'По часовой стрелке'

Проверка двух отрезков на пересечение

Нахождение уравнения прямой для отрезка

Нахождение точки пересечения двух прямых

Нахождение точки пересечения двух отрезков

Нахождение площади простого многоугольника за O (N)

Теорема Пика. Нахождение площади решётчатого многоугольника за O (1)

Задача о покрытии отрезков точками

более сложные алгоритмы

Пересечение окружности и прямой

Пересечение двух окружностей

Построение выпуклой оболочки алгоритмом Грэхэма-Эндрюза O (N log N)

Нахождение площади объединения треугольников. Метод вертикальной декомпозиции

Проверка точки на принадлежность выпуклому многоугольнику за O (log N)

Нахождение вписанной окружности в выпуклом многоугольнике с помощью тернарного поиска за O (N log2 C)

Нахождение вписанной окружности в выпуклом многоугольнике методом сжатия сторон за O (N log N)

Диаграмма Вороного в двумерном случае, её свойства, применение. Простейший алгоритм построения за O(N4)

Нахождение всех граней, внешней грани планарного графа за O (N log N)

Нахождение пары ближайших точек алгоритмом разделяй-и-властвуйза O (N log N)

Преобразование геометрической инверсии

Нахождение треугольника наименьшей площади за O (N2 log N)

Строки

Z-фунциястроки и её вычисление за O (N)

Префикс-функция,её вычисление и применения. АлгоритмКнута-Морриса-Пратта

Алгоритмы хэширования в задачах на строки

Алгоритм Рабина-Карпапоиска подстроки в строке за O (N)

Разбор выражений за O (N). Обратная польская нотация

Суффиксный массив. Построение за O (N log N) и применения

Суффиксный автомат. Построение за O (N) и применения

Нахождение всех подпалиндромов за O (N)

Декомпозиция Линдона. Алгоритм Дюваля. Нахождение наименьшего циклического сдвига за O (N) времени и O (1) памяти

Алгоритм Ахо-Корасик

Поиск подстроки в строке с помощью Z- или Префикс-функции.АлгоритмКнута-Морриса-Пратта

Решение задачи "сжатие строки"

Определение количества различных подстрок за O (N2 log N)

Структуры данных

Sqrt-декомпозиция

Дерево Фенвика

Система непересекающихся множеств

Дерево отрезков

Декартово дерево (treap, дерамида)

Модификация стека и очереди для извлечения минимума за O (1)

Рандомизированная куча

Алгоритмы на последовательностях

Задача RMQ (Range Minimum Query - минимум на отрезке)

Нахождение наидлиннейшей возрастающей подпоследовательности за O (N2)

Нахождение наидлиннейшей возрастающей подпоследовательности за O (N log N)

K-аяпорядковая статистика за O (N)

Динамика

Динамика по профилю. Задача "паркет"

Нахождение наибольшей нулевой подматрицы за O (N M)

Линейная алгебра

Вычисление определителя методом Краута за O (N3)

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений за O (N3)

Нахождение ранга матрицы за O (N3)

Вычисление определителя матрицы методом Гаусса за O (N3)

Численные методы

Интегрирование по формуле Симпсона

Поиск корней методом Ньютона (касательных)

Тернарный поиск

Комбинаторика

Биномиальные коэффициенты

Числа Каталана

Ожерелья

Расстановка слонов на шахматной доске

Правильные скобочные последовательности. Нахождение лексикографически следующей, K-ой,определение номера

Количество помеченных графов, связных помеченных графов, помеченных графов с K компонентами связности

Генерация сочетаний из N элементов

Лемма Бернсайда. Теорема Пойа

Теория игр

Игры на произвольных графах. Метод ретроспективного анализа за O (M)

Теория Шпрага-Гранди.Ним

Расписания

Задача Джонсона с одним станком

Задача Джонсона при N = 2

Оптимальный выбор заданий при известных временах завершения и длительностях выполнения

Разное

Задача Иосифа

Игра Пятнашки: существование решения

Дерево Штерна-Броко.Ряд Фарея

Приложение

Литература

Об авторе

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]