Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТВ Практические занятия (математики)(1-12)(16.11.14)

.pdf
Скачиваний:
156
Добавлен:
16.03.2016
Размер:
940.48 Кб
Скачать

Анатолий СИМОГИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СБОРНИК ЗАДАЧ К ПРАКТИЧЕСКИМ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ЗАНЯТИЯМ

Донецк — 2014

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

А.А. СИМОГИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СБОРНИК ЗАДАЧ К ПРАКТИЧЕСКИМ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ЗАНЯТИЯМ

Рекомендовано к изданию ученым советом факультета математики и информационных технологий ДонНУ.

Протокол

Донецк ДонНУ 2014

УДК 519.21(0.75.8) ББК 22.171я73

С 37

Симогин А. А. Теория вероятностей: сборник задач к практическим и самостоятельным занятиям / А. А Симогин. — Донецк: ДонНУ, 2014. – 88 с.

В учебном пособии приведены краткие теоретические сведения о вероятностях случайных событий, случайных величинах, основные теоремы теории вероятностей. Показаны примеры решения задач по основным темам курса теории вероятностей. Все задачи сгруппированы в разделы, именуемые занятиями. Каждый из разделов содержит задачи для решения в аудитории и задачи, предлагаемые студентам в качестве домашнего задания.

Сборник предназначен для студентов факультета математики и информационных технологий, обучающих с по направлению «Математика».

УДК 519.21 ББК 22.172я73

○c А. А. Симогин, 2014

○c ДонНУ, 2014

Оглавление

1

Пространство элементарных исходов

4

2

Применение формул комбинаторики при решении задач

11

3

Классическое определение

21

4

Геометрические вероятности

29

5

Формула полной вероятности

36

6

Распределение Бернулли

48

7

Предельные теоремы для биномиального распределения

56

8

Дискретные случайные величины

64

9

Числовые характеристики ДСВ

78

10

Абсолютно непрерывные случайные величины

85

11

Преобразования случайных величин

90

12

Числовые характеристики АНСВ

92

A

Таблицы нормального распределения

97

3

Занятие

 

1

Пространство элементарных

исходов

1.1Основные факты и определения

Рассмотрим основные понятия теоретико-множественного метода построения теории вероятностей.

Определение 1.1. Множество , точки которого изображают наиболее полную информацию о предполагаемых результатах в данном эксперименте, называют пространством элементарных событий, а его точки элементарными событиями.

Определение 1.2. С каждым экспериментом связывают некоторое множество событий, о которых можно судить осуществилось ли оно в нашем эксперименте или нет. Такие события называют наблюдаемыми в данном эксперименте.

Определение 1.3. Наблюдаемое событие А в данном стохастическом эксперименте — это некоторое подмножество , состоящее из всех точек — элементарных событий, которые благоприятствуют событию А.

Как известно, для множеств определено отношение порядка, и над ними можно производить определенные алгебраические операции. Содержательное значение этих понятий в том случае, когда подмножества некоторого множества

интерпретируются как события, заключаются в следующем.

Определение 1.4. Множество называют достоверным событием.

Определение 1.5. Множество называют невозможным событием.

4

1.2. Примеры решения задач

5

Определение 1.6. Говорят, что событие влечет за собой событие ( ) в том случае, когда: если происходит событие , то событие также происходит.

Определение 1.7. Суммой двух событий А и В называют событие

 

( + )

, происходящее тогда и только тогда, когда происходит или

событие А,

 

 

 

или событие В.

Определение 1.8. Произведением (совмещением) двух событий на-

зывается событие которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и событие А и событие В одновременно.

Понятия суммы и произведения двух событий обобщается на любое количество событий.

Определение 1.9. Два события называются несовместимыми, или

дизъюнктивными, если их произведение есть событие невозможное.

Определение 1.10. Противоположным к событию называется событие , происходящее тогда и только тогда, когда событие не происходит.

Определение 1.11. Разностью событий и называется событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит В.

1.2Примеры решения задач

Пример 1.1. Подбрасывают игральную кость и тетраэдр на гранях которых нанесены цифры от 1 до 6 и от 1 до 4 соответственно. Фиксируются количества очков на нижних гранях. Событие состоит в том, что на кости и на тетраэдре выпало одинаковое число очков, — на кости выпало не большее число очков. Описать пространство элементарных исходов эксперимента и события , ,

, , , .

6

 

 

 

 

 

 

Занятие 1. Пространство элементарных исходов

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

{(1

 

1); (1

 

 

 

 

 

 

}

 

2); (1

3); (1

 

= ( , ) : = 1, 6; = 1, 4 =

{

,

,

,

 

 

, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4);

 

 

 

(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4)} ;

{ }

= ( , ) : = 1, 4 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)} ;

= {( , ) : 1 ≤ ≤ ≤ 4; , N} =

= {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 3); (3, 4); (4, 4)} ;

= = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 3) , (3, 4) , (4, 4)} ;

= = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)} ;

= ;

= {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3, 4)} .

Пример 1.2. Студент 3 раза проходит тест. Рассмотри события ={Первый успех был достигнут при второй попытке}, ={Хотя бы один раз тест пройден успешно}, ={Успешно был пройден только первый тест}. Описать пространство элементарных исходов эксперимента и события , ,

Решение. Обозначим успех через 1, а неудачу — 0. Тогда

= {( , , ) : , , {0, 1}} = = {(0, 0, 0) ; (0, 0, 1) ; (0, 1, 0) ; (0, 1, 1) ; (1, 0, 0) ; (1, 0, 1) ; (1, 1, 0) ; (1, 1, 1)} ;

= {( , , ) : = 0, = 1, {0, 1}} = {(0, 1, 0) ; (0, 1, 1)} ;

= {( , , ) : + + ≥ 1} = = {(0, 0, 1) ; (0, 1, 0) ; (0, 1, 1) ; (1, 0, 0) ; (1, 0, 1) ; (1, 1, 0) ; (1, 1, 1)} ;

= {( , , ) : = 1, = 0, = 0} = {(1, 0, 0)} .

Пример 1.3. Студенты Иванов, Петров и Васечкин сдают экзамен по теории вероятностей. Рассмотрим события ={Иванов сдал экзамен на «хорошо»}, ={Петров сдал экзамен на «хорошо»}, ={Васечкин сдал экзамен на «хорошо»}. Выразить следующие события через A, B и C.

1.2. Примеры решения задач

7

а) 1 ={ровно один из этих студентов сдал экзамен на «хорошо»}; б) 2 ={ровно двое из этих студентов сдали экзамен на «хорошо»}; в) 3 ={все три эти студенты сдали экзамен на «хорошо»}; г) 4 ={хотя бы один из этих студентов сдал экзамен на «хорошо»};

д) 5 ={хотя бы один из этих студентов не сдал экзамен на «хорошо»}; е) 6 ={не менее двух из этих студентов сдали экзамен на «хорошо»};

Решение. а) 1 = + + ;

б) 2 = + + ; в) 3 = ; г) 4 = + + ;

д) 5 = + + или 5 = ;

е) 6 = + + + ;

Пример 1.4. Написано десять контрольных. Рассмотрим событие ={ -я контрольная работа написана неудовлетворительно}. Описать словесно собы-

 

 

 

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тия a) 1 2 3, б) 1 + 2 + 3 + 4, в) 2 5, г)

, д)

 

.

 

 

 

=1

=1

 

 

Решение. a) первая, вторая и третья контрольная написаны неудовлетворительно;

б) хотя бы одна из первых трех контрольных написана неудовлетворитель-

но;

в) вторая контрольная написана неудовлетворительно, а пятая написана на положительную оценку;

г) хотя бы одна из всех контрольных написана неудовлетворительно; д) хотя бы одна из всех контрольных написана на положительную оценку.

Пример 1.5. Доказать тождество + = ( ) + .

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

(

+

 

 

)

+

(

 

 

 

)

 

 

 

+ .

 

 

 

 

Решение. Пусть + +

+ +

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

( ) + (

 

)

 

 

 

(

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ + +

две импликации и доказывают тождество.

Пример 1.6. Выразить событие + + как суму несовместных событий.

8

 

 

Занятие 1. Пространство элементарных исходов

 

Решение. Используя свойства суммы и произведения событий получим

 

+ + = ( +

 

)( +

 

) + ( +

 

)( +

 

) + ( +

 

)( +

 

)

 

 

 

 

 

 

 

=

=+ + + + + + .

1.3Задания для аудиторной работы

1.Монету подбрасывают дважды. Событие заключается в следующем: на видимой стороне монеты по крайней мере, один раз появится решка, В —

решка появится раз и только раз, С — при первом подбрасывании появится герб. Описать:

а) пространство элементарных исходов ; б) событие ; в) событие В; г) событие С.

2.В урне находятся 6 шаров: 1 — зеленый, 2 — красных и 3 — синих. Из урны извлекаются 3 шара. Пусть событие состоит в следующем: среди извлеченных шаров по край мере 2 разного цвета, В — все шары разного цвета, С — все шары одинакового цвета. Описать пространство элементарных исходов и события

А, В, С, если а) выбор производится без возвращения и без учета порядка;

б) выбор производится без возвращения с учетом порядка; в) выбор производится с возвращением без учета порядка; г) выбор производится с возвращением с учетом порядка.

3.Из коробки извлекаются две кости домино. Пусть событие состоит в том, что извлечен дубль, В — появилась хотя бы одна шестерка, С — на каждой кости появилась хотя бы одна шестерка. Описать пространство элементарных исходов и события , В, С, если

а) выбор производится без возвращения и без учета порядка; б) выбор производится без возвращения с учетом порядка; в) выбор производится с возвращением без учета порядка; г) выбор производится с возвращением с учетом порядка.

4.Пусть А, В, С три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С :

а) произошло только А;

1.4. Задания для самостоятельной работы

9

б) произошли А и В, но не произошло С ; в) все три события произошли;

г) произошло, по крайней мере, одно из событий; д) произошло одно и только одно из событий; е) ни одно из событий не произошло; ж) произошло не больше двух событий; з) прозошло два и только два события.

5. Пусть событие А — появление четного числа очков при бросании иг-

ральной кости, В — появление двух очков при однократном подбрасывании игральной кости, С — появление не более трех очков. Описать словесно события:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, , , , , .

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Некто купил 7 билетов лотереи Указать события противоположные дан-

ным:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 2 билета выигрышных; б) хотя бы один выигрышный;

 

 

г) ровно один выигрышный; д) менее половины выигрышных.

 

 

7. Проверить соотношения между случайными событиями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) = ; б) = ; в) = ; г) = ;

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) ( )

 

=

 

 

( ) е) ( ) = ; ж) ( ) = .

 

 

 

Упростить выражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

(

 

)

( (

).

)

 

 

a) ( )

 

; б) ( )

 

 

 

 

 

;

 

 

9.

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

)

(

 

)

(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

, тогда = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажите, что если одновременно выполнены соотношения

= и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4Задания для самостоятельной работы

1.Игральная кость подбрасывается дважды. Событие А заключается в следующем: на верхней грани по крайней мере один раз выпало количество очков равное шести, В — сумма очков, которые появились равны 7, С — выпали «двойка» и «шестерка».

Описать:

а) пространство элементарных исходов ; б) событие А; в) событие В; г) событие С.