ТВ Практические занятия (математики)(1-12)(16.11.14)
.pdfАнатолий СИМОГИН
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СБОРНИК ЗАДАЧ К ПРАКТИЧЕСКИМ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ЗАНЯТИЯМ
Донецк — 2014
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
А.А. СИМОГИН
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СБОРНИК ЗАДАЧ К ПРАКТИЧЕСКИМ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ЗАНЯТИЯМ
Рекомендовано к изданию ученым советом факультета математики и информационных технологий ДонНУ.
Протокол
Донецк ДонНУ 2014
УДК 519.21(0.75.8) ББК 22.171я73
С 37
Симогин А. А. Теория вероятностей: сборник задач к практическим и самостоятельным занятиям / А. А Симогин. — Донецк: ДонНУ, 2014. – 88 с.
В учебном пособии приведены краткие теоретические сведения о вероятностях случайных событий, случайных величинах, основные теоремы теории вероятностей. Показаны примеры решения задач по основным темам курса теории вероятностей. Все задачи сгруппированы в разделы, именуемые занятиями. Каждый из разделов содержит задачи для решения в аудитории и задачи, предлагаемые студентам в качестве домашнего задания.
Сборник предназначен для студентов факультета математики и информационных технологий, обучающих с по направлению «Математика».
УДК 519.21 ББК 22.172я73
○c А. А. Симогин, 2014
○c ДонНУ, 2014
Оглавление
1 |
Пространство элементарных исходов |
4 |
2 |
Применение формул комбинаторики при решении задач |
11 |
3 |
Классическое определение |
21 |
4 |
Геометрические вероятности |
29 |
5 |
Формула полной вероятности |
36 |
6 |
Распределение Бернулли |
48 |
7 |
Предельные теоремы для биномиального распределения |
56 |
8 |
Дискретные случайные величины |
64 |
9 |
Числовые характеристики ДСВ |
78 |
10 |
Абсолютно непрерывные случайные величины |
85 |
11 |
Преобразования случайных величин |
90 |
12 |
Числовые характеристики АНСВ |
92 |
A |
Таблицы нормального распределения |
97 |
3
Занятие |
|
1 |
Пространство элементарных
исходов
1.1Основные факты и определения
Рассмотрим основные понятия теоретико-множественного метода построения теории вероятностей.
Определение 1.1. Множество , точки которого изображают наиболее полную информацию о предполагаемых результатах в данном эксперименте, называют пространством элементарных событий, а его точки элементарными событиями.
Определение 1.2. С каждым экспериментом связывают некоторое множество событий, о которых можно судить осуществилось ли оно в нашем эксперименте или нет. Такие события называют наблюдаемыми в данном эксперименте.
Определение 1.3. Наблюдаемое событие А в данном стохастическом эксперименте — это некоторое подмножество , состоящее из всех точек — элементарных событий, которые благоприятствуют событию А.
Как известно, для множеств определено отношение порядка, и над ними можно производить определенные алгебраические операции. Содержательное значение этих понятий в том случае, когда подмножества некоторого множества
интерпретируются как события, заключаются в следующем.
Определение 1.4. Множество называют достоверным событием.
Определение 1.5. Множество называют невозможным событием.
4
1.2. Примеры решения задач |
5 |
Определение 1.6. Говорят, что событие влечет за собой событие ( ) в том случае, когда: если происходит событие , то событие также происходит.
Определение 1.7. Суммой двух событий А и В называют событие |
|
||
( + ) |
, происходящее тогда и только тогда, когда происходит или |
событие А, |
|
|
|
|
или событие В.
Определение 1.8. Произведением (совмещением) двух событий на-
зывается событие которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и событие А и событие В одновременно.
Понятия суммы и произведения двух событий обобщается на любое количество событий.
Определение 1.9. Два события называются несовместимыми, или
дизъюнктивными, если их произведение есть событие невозможное.
Определение 1.10. Противоположным к событию называется событие , происходящее тогда и только тогда, когда событие не происходит.
Определение 1.11. Разностью событий и называется событие , происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит В.
1.2Примеры решения задач
Пример 1.1. Подбрасывают игральную кость и тетраэдр на гранях которых нанесены цифры от 1 до 6 и от 1 до 4 соответственно. Фиксируются количества очков на нижних гранях. Событие состоит в том, что на кости и на тетраэдре выпало одинаковое число очков, — на кости выпало не большее число очков. Описать пространство элементарных исходов эксперимента и события , ,
, , , .
6 |
|
|
|
|
|
|
Занятие 1. Пространство элементарных исходов |
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{(1 |
|
1); (1 |
|
|
|
|
|
|
} |
|
2); (1 |
3); (1 |
|
||||||
= ( , ) : = 1, 6; = 1, 4 = |
|||||||||
{ |
, |
, |
, |
|
|
, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); |
|||
|
|
|
(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4)} ;
{ }
= ( , ) : = 1, 4 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)} ;
= {( , ) : 1 ≤ ≤ ≤ 4; , N} =
= {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 3); (3, 4); (4, 4)} ;
= = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 3) , (3, 4) , (4, 4)} ;
= = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)} ;
= ;
= {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3, 4)} .
Пример 1.2. Студент 3 раза проходит тест. Рассмотри события ={Первый успех был достигнут при второй попытке}, ={Хотя бы один раз тест пройден успешно}, ={Успешно был пройден только первый тест}. Описать пространство элементарных исходов эксперимента и события , ,
Решение. Обозначим успех через 1, а неудачу — 0. Тогда
= {( , , ) : , , {0, 1}} = = {(0, 0, 0) ; (0, 0, 1) ; (0, 1, 0) ; (0, 1, 1) ; (1, 0, 0) ; (1, 0, 1) ; (1, 1, 0) ; (1, 1, 1)} ;
= {( , , ) : = 0, = 1, {0, 1}} = {(0, 1, 0) ; (0, 1, 1)} ;
= {( , , ) : + + ≥ 1} = = {(0, 0, 1) ; (0, 1, 0) ; (0, 1, 1) ; (1, 0, 0) ; (1, 0, 1) ; (1, 1, 0) ; (1, 1, 1)} ;
= {( , , ) : = 1, = 0, = 0} = {(1, 0, 0)} .
Пример 1.3. Студенты Иванов, Петров и Васечкин сдают экзамен по теории вероятностей. Рассмотрим события ={Иванов сдал экзамен на «хорошо»}, ={Петров сдал экзамен на «хорошо»}, ={Васечкин сдал экзамен на «хорошо»}. Выразить следующие события через A, B и C.
1.2. Примеры решения задач |
7 |
а) 1 ={ровно один из этих студентов сдал экзамен на «хорошо»}; б) 2 ={ровно двое из этих студентов сдали экзамен на «хорошо»}; в) 3 ={все три эти студенты сдали экзамен на «хорошо»}; г) 4 ={хотя бы один из этих студентов сдал экзамен на «хорошо»};
д) 5 ={хотя бы один из этих студентов не сдал экзамен на «хорошо»}; е) 6 ={не менее двух из этих студентов сдали экзамен на «хорошо»};
Решение. а) 1 = + + ;
б) 2 = + + ; в) 3 = ; г) 4 = + + ;
д) 5 = + + или 5 = ;
е) 6 = + + + ;
Пример 1.4. Написано десять контрольных. Рассмотрим событие ={ -я контрольная работа написана неудовлетворительно}. Описать словесно собы-
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тия a) 1 2 3, б) 1 + 2 + 3 + 4, в) 2 5, г) |
, д) |
|
. |
|||
|
|
|
=1 |
=1 |
|
|
Решение. a) первая, вторая и третья контрольная написаны неудовлетворительно;
б) хотя бы одна из первых трех контрольных написана неудовлетворитель-
но;
в) вторая контрольная написана неудовлетворительно, а пятая написана на положительную оценку;
г) хотя бы одна из всех контрольных написана неудовлетворительно; д) хотя бы одна из всех контрольных написана на положительную оценку.
Пример 1.5. Доказать тождество + = ( ) + .
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
( |
+ |
|
|
) |
+ |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
+ . |
|
|
||||
|
|
Решение. Пусть + + |
+ + |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
С другой стороны, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( ) + ( |
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Эти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + +
две импликации и доказывают тождество.
Пример 1.6. Выразить событие + + как суму несовместных событий.
8 |
|
|
Занятие 1. Пространство элементарных исходов |
|||||||||||
|
Решение. Используя свойства суммы и произведения событий получим |
|
||||||||||||
+ + = ( + |
|
)( + |
|
) + ( + |
|
)( + |
|
) + ( + |
|
)( + |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
=+ + + + + + .
1.3Задания для аудиторной работы
1.Монету подбрасывают дважды. Событие заключается в следующем: на видимой стороне монеты по крайней мере, один раз появится решка, В —
решка появится раз и только раз, С — при первом подбрасывании появится герб. Описать:
а) пространство элементарных исходов ; б) событие ; в) событие В; г) событие С.
2.В урне находятся 6 шаров: 1 — зеленый, 2 — красных и 3 — синих. Из урны извлекаются 3 шара. Пусть событие состоит в следующем: среди извлеченных шаров по край мере 2 разного цвета, В — все шары разного цвета, С — все шары одинакового цвета. Описать пространство элементарных исходов и события
А, В, С, если а) выбор производится без возвращения и без учета порядка;
б) выбор производится без возвращения с учетом порядка; в) выбор производится с возвращением без учета порядка; г) выбор производится с возвращением с учетом порядка.
3.Из коробки извлекаются две кости домино. Пусть событие состоит в том, что извлечен дубль, В — появилась хотя бы одна шестерка, С — на каждой кости появилась хотя бы одна шестерка. Описать пространство элементарных исходов и события , В, С, если
а) выбор производится без возвращения и без учета порядка; б) выбор производится без возвращения с учетом порядка; в) выбор производится с возвращением без учета порядка; г) выбор производится с возвращением с учетом порядка.
4.Пусть А, В, С три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С :
а) произошло только А;
1.4. Задания для самостоятельной работы |
9 |
б) произошли А и В, но не произошло С ; в) все три события произошли;
г) произошло, по крайней мере, одно из событий; д) произошло одно и только одно из событий; е) ни одно из событий не произошло; ж) произошло не больше двух событий; з) прозошло два и только два события.
5. Пусть событие А — появление четного числа очков при бросании иг-
ральной кости, В — появление двух очков при однократном подбрасывании игральной кости, С — появление не более трех очков. Описать словесно события:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
, , , , , . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
6.Некто купил 7 билетов лотереи Указать события противоположные дан- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ным: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 2 билета выигрышных; б) хотя бы один выигрышный; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ровно один выигрышный; д) менее половины выигрышных. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. Проверить соотношения между случайными событиями: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) = ; б) = ; в) = ; г) = ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) ( ) |
|
= |
|
|
( ) е) ( ) = ; ж) ( ) = . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Упростить выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
) |
( ( |
). |
) |
|
|||||||||||
|
a) ( ) |
|
; б) ( ) |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
9. |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
, тогда = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Докажите, что если одновременно выполнены соотношения |
= и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4Задания для самостоятельной работы
1.Игральная кость подбрасывается дважды. Событие А заключается в следующем: на верхней грани по крайней мере один раз выпало количество очков равное шести, В — сумма очков, которые появились равны 7, С — выпали «двойка» и «шестерка».
Описать:
а) пространство элементарных исходов ; б) событие А; в) событие В; г) событие С.