Эконометрика

										11
			1	0,7
β2 =			0,2	0,5			=	0,5 −0,14	=	0,36	= 0,375.
		1		0,2				1−0,04		0,96

0,2 1

Следовательно, уравнение регрессии в стандартизованном виде:

ty = 0,625 tx1 +0,375 tx2 .

Множественный коэффициент корреляции найдем по двум формулам и сравним полученные результаты.

По первой формуле имеем:

			1			0,7		0,5
		0,7				1		0,2
R2 =1−		0,5				0,2		1			=1−	0,36	=1−0,375 = 0,625,
				1			0,2					0,96
				0,2				1
по второй формуле имеем:
R2 = β r					+β		2	r		= 0,7 0,625 +0,5 0,375 = 0,625.
	1			y1					y2

Полученные значения должны совпадать.

Уравнение регрессии в натуральном масштабе имеет вид:

y = a +b1x1 +b2 x2 .

Значения коэффициентов находятся по формулам:

b	= β	Sy2	= 0,625	128	= 2, b	= β	2		Sy2	= 0,375	128	= 0,6
1	1	Sx2		12,5	2				Sx2		50
		1							1

a = y −b1 x1 −b2 x2 = 20 −2 15 −0,6 10 = −16.

Следовательно, уравнение регрессии в натуральном масштабе имеет вид: y = −16 +2x1 +0,6x2 .

Значение критерия F найдем по формуле:

F =		R2		n −m −1	=		0,625		30 −2 −1	= 22,5 .
		−R2		m		1−0,625			2
1

12

Частные значения критерия F найдем по формулам

F

=

Ry2,x ,x −Ry2,x

2

n −m −1

и F

=

Ry2,x ,x

2

− Ry2,x

n −m −1

,

1 2

1

1

−Ry2,x

1− Ry2,x

x1

1

,x

1

x2

,x

2

1

1

2

1

подставив исходные значения, получим:

F

= 0,625 −0,25 28 = 28

и

F

= 0,625 −0,49

28 =10,8.

x

1−0,625

x

1−0,625

1

2

Критическое значение при α = 0,05 равно 4,196. Полученные значения больше критического, следовательно, можно утверждать,

что оба фактора являются значимыми.
Остаточную дисперсию найдем по формуле:
			Dост =		1		∑(yi − yp )2 ,
					n −m −1
для нахождения требуемой суммы используем равенство:
R	2	=1−	∑(yi − yp )2				2	2	128	=3840	,
			∑(yi − y)2	, где ∑(yi − y)				= n Sy =30

тогда:

∑(yi − yp )2 = (1−R2 )∑(yi − y)2 = (1−0,625) 3840 =1440 .

Тогда остаточная дисперсия равна Dост = 271 1440 =53,3333.

Задача 61-90. Для примера возьмём n =8 и m =5, получим два временных ряда:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xt	58	55	62	65	80	90	105	102	125	128
yt	128	112	115	105	82	85	68	65	42	45

Оценим взаимосвязь этих рядов, используя метод первых для этого составим расчётную таблицу:

t	x	y	t	∆x	∆y	2	2	∆x ∆y	t
	t			t	t	∆ x	∆ y	t
						t	t
1	58	128		-	-	-	-	-
2	55	112		3	16	9	256	48
3	62	115		-7	-3	49	9	21
4	65	105		-3	10	9	100	-30
5	80	82		-15	23	225	529	-345

13

6	90	85	-10	-3	100	9	30
7	105	68	-15	17	225	289	-255
8	102	65	3	3	9	9	9
9	125	42	-23	23	529	529	-529
10	128	45	-3	-3	9	9	9
∑	870	847	-70	83	1164	1739	-1042

Коэффициент корреляции найдем по формуле

r∆ =	n∑∆xt ∆yt −∑∆xt ∑∆yt
	(n∑∆2 xt −(∑∆xt )2 )(n∑∆2 yt −(∑∆yt )2 ),
получим r∆ =		9 (−1042) −(−70) 83
		(9 1164 −(−70)2 )(9 1739 −832 )

подставив значения,

≈ −0,5104 .

Для того, чтобы оценить взаимосвязь этих рядов, используя метод отклонения от тренда, составим для каждого ряда уравнение линейного тренда.

	Составим расчётную таблицу
N	t	x	y	t	t	2	t x	t y
		t					t	t
1	1	58	128			1	58	128
2	2	55	112			4	110	224
3	3	62	115			9	186	345
4	4	65	105		16		260	420
5	5	80	82		25		400	410
6	6	90	85		36		540	510
7	7	105	68		49		735	476
8	8	102	65		64		816	520
9	9	125	42		81		1125	378
10	10	128	45		100		1280	450
∑	55	870	847		385		5510	3861
	Уравнение линейного тренда для каждого временного ряда
имеет вид: xt			= a1 +b1 t и yt = a2 +b2 t .

14

Коэффициенты уравнений тренда находятся по формулам:

b =	n∑t xt −∑t ∑xt		;		a =		1	(	x −b	∑	t);
1		n∑t2 −(∑t)2			1		n	∑ t 1
b =		n∑t yt −∑t ∑yt		;	a	= 1			( y −b	∑	t).
2		n∑t2 −(∑t)2			2		n		∑ t 2

Подставив значения, получим:

b =10 5510 −55 870				=8,7878 ;
1	10	385	−552

a1 =101 (870 −55 8,7878)≈38,6667 ;

b =10 3861−55 847				≈ −9,6667 ;
2	10	385	−552

a2 =101 (847 +55 9,6667)≈137,8667 .

Следовательно, уравнения линейного тренда для каждого временного ряда имеют вид: x(t)= 38,6667 +8,7878 t

и y(t)=137,8667 −9,6667 t .

Найдем отклонения от тренда используя таблицу

t	xt	x(t)	yt	y(t)	xt − x(t)	yt − y(t)
1	58	47,4545	128	128,2000	10,5455	-0,2000
2	55	56,2424	112	118,5333	-1,2424	-6,5333
3	62	65,0303	115	108,8667	-3,0303	6,1333
4	65	73,8182	105	99,2000	-8,8182	5,8000
5	80	82,6061	82	89,5333	-2,6061	-7,5333
6	90	91,3939	85	79,8667	-1,3939	5,1333
7	105	100,1818	68	70,2000	4,8182	-2,2000
8	102	108,9697	65	60,5333	-6,9697	4,4667
9	125	117,7576	42	50,8667	7,2424	-8,8667
10	128	126,5455	45	41,2000	1,4545	3,8000
∑	870	870	847	847	0	0

15

Для нахождения коэффициента корреляции составим таблицу

							(xt − x(t)) (yt − y(t))
t	xt − x(t)	yt − y(t)	(x − x(t))2	(y	t	− y(t))2
			t				-2,1091
1	10,5455	-0,2000	111,2066	0,0400
2	-1,2424	-6,5333	1,5436	42,6844			8,1172
3	-3,0303	6,1333	9,1827	37,6178			-18,5859
4	-8,8182	5,8000	77,7603	33,6400			-51,1455
5	-2,6061	-7,5333	6,7916	56,7511			19,6323
6	-1,3939	5,1333	1,9431	26,3511			-7,1556
7	4,8182	-2,2000	23,2149	4,8400			-10,6000
8	-6,9697	4,4667	48,5767	19,9511			-31,1313
9	7,2424	-8,8667	52,4527	78,6178			-64,2162
10	1,4545	3,8000	2,1157	14,4400			5,5273
∑	0	0	334,7879	314,9333			-151,6667

Используя полученные значения, найдем коэффициент корреляции

r =	10 (−151,6667)−0 0
	(10 334,7879 −02 )(10 314,9333 −02 )≈ −0,4671.

Полученные значения r∆ ≈ −0,5104 и r ≈ −0,4671 приблизи-

тельно равны. Различие обусловлено разным числом значений используемых при нахождении коэффициентов корреляции.

16

Литература

1.Эконометрика: учеб. / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Проспект, 2009. – 288 с.

2.Эконометрика: учеб. / под ред. д–ра экон. наук, проф. В.С. Мхитаряна. – М.: Проспект, 2008. – 384 с.

3.Дорохина, Е. Ю. Сборник задач по эконометрике : учеб.пособие / Е. Ю. Дорохина, Л. Ф. Преснякова, Н. П. Тихомиров. – М. : Экзамен, 2003. – 224 с.

4.Кремер, Н. Ш. Эконометрика : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

5.Магнус, Я. Р. Эконометрика. Начальный курс : учебник. – 4-е изд. / Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. – М. : Де-

ло, 2006. – 500 с.

6.Новак, Э. Введение в методы эконометрики: сборник задач / Э. Новак. – М. : Финансы и статистика, 2004. – 248 с.

7.Практикум по эконометрике : учеб.пособие / И. И. Елисеева [и др.]. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2006. – 344 с.