UMP_grif_UMO_MET_2014

Задание 11. Определить количество атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку решетки в кристаллах с простой, объ- емно-центрированной и гранецентрированной кубической решеткой.

Решение. В простой кубической решетке атомы расположены в вершинах куба. В кубической объемно-центрированной решетке атомы расположены в вершинах куба, а один атом – в центре его объема. В кубической гранецентрированной решетке атомы расположены в вершинах куба и в центре каждой грани.

Оперируя с элементарной ячейкой, необходимо иметь в виду, что в реальном кристалле такая ячейка окружена со всех сторон другими ячейками и поэтому не все атомы, относящиеся к рассматриваемой ячейке, принадлежат только этой ячейке.

На простую кубическую решетку приходится один атом как сумма от долей атомов, находящихся в вершинах куба:

n1 8 1.

8

На объемно-центрированную кубическую решетку приходятся два атома: один в центре и один как сумма от долей атомов, нахо-

дящихся в вершинах куба: n 1 18 8 2 .

На гранецентрированную кубическую решетку приходятся четыре атома: один как сумма от долей атомов, находящихся в вершинах куба, и три атома как сумма от долей атомов, находя-

	1		8		1		6	4 .
щихся в центре каждой грани: n	8				2

Напомним: количество атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку решетки, называют базисом решетки; координационное число k показывает количество атомов, находящихся на наиболее близком и равном расстоянии от любого выбранного атома в решетке (для простой кубической решетки и для объемноцентрированной кубической решетки k 8; для гранецентрированной кубической решетки и для гексагональной плотно упакованной решетки k 12).

21

Задание 12. Определить коэффициент компактности в кристаллах с объемно-центрированной кубической решеткой.

Решение. Коэффициент компактности решетки равен отношению суммарного объема атомов, входящих в решетку, к объему решетки:

4 R3n ,

3V

где R – радиус атома (иона); n – базис решетки; V – объем элементарной ячейки.

Определим период кристаллической решетки (длину ребра элементарной кристаллической решетки), учитывая, что атомы объемно-центрированной кубической решетки соприкасаются по диагонали d , длина которой равна 4 атомным радиусам: d 4R .

	Длина диагонали куба определяется выражением d a 3 , где
а – длина ребра куба. Тогда a										3 4R , откуда длина ребра куба
a	4R												4R 3
	3	, а объем элементарной ячейки V											3	.
	Для объемно-центрированной кубической решетки базис ре-
шетки n 2.
	Тогда коэффициент компактности объемно-центрированной
кубической решетки
				4 R3n				n	3	3		3,14 2		3 3
															0,68.
						3
		о.ц.к		4R					48				48
				3	3

Задание 13. Определить коэффициенты компактности в кристаллах с простой и гранецентрированной кубической решеткой.

Ответ. Коэффициент компактности для кристаллов с простой

кубической решеткой к 4 R3n3 0,52. 3 2R

22

Коэффициент компактности для кристаллов с гранецентриро-

ванной кубической решеткой г.ц.к 62 0,74.

Задание 14. В проводнике сечением 1 мм2 протекает ток силой 1 А. Найти среднюю скорость упорядоченного движения электро-

нов в направлении электрического поля, если в 1 м3 проводника

содержится 1029 электронов проводимости.

Решение. Плотность тока определяется выражением j nqe , где n – концентрация электронов; qe – заряд электрона;

– скорость упорядоченного движения электронов в направлении

поля.

Плотность

тока j

связана

с силой тока

I

соотношением

j

I

, где S – площадь поперечного сечения проводника.

S

Следовательно, средняя скорость упорядоченного движения

электронов в направлении электрического поля:

I

1

62,5

10

6 м

.

nqeS

1029

1,6 10 19

1 10 6

с

Задание 15. Определить температурный коэффициент линейного расширения l и удлинение проволоки из нихрома, если из-

вестно, что при изменении температуры от 293 до 1273 К электри-

ческое сопротивление проволоки изменяется от 50 до 56,6 Ом. Длина проволоки в холодном состоянии l 50 м. Температурный коэффициент удельного сопротивления нихрома принять равным

15 10 5 К 1.

Решение. Температурный коэффициент сопротивления проволоки

	R	R		R1 R0			56,6 50,0	13,5 10 5	К 1.
		R0 T		R0 T1 T0			50,0 1273 293

Воспользуемся известной формулой, связывающей температурный коэффициент удельного сопротивления , температурный

23

коэффициент сопротивления R и температурный коэффициент линейного расширения l :

R l .

Тогда

l R 15 10 5 13,5 10 5 1,5 10 5 К 1 .

Удлинение проволоки

l ll T 1,5 10 5 50,0 1273 293 0,735 м.

Задание 16. Сопротивление проволоки при температуре T2 1279 К в 3 раза больше, чем при температуре T1 293 К. Найти

температурный коэффициент удельного сопротивления материала проволоки.

Решение. Сопротивление проволоки при температуре T1 определяется выражением R1 R0 1 T1 , где R0 – сопротивление проволоки при температуре T0 , например при T0 273 К; –

температурный коэффициент удельного сопротивления материала проволоки. Сопротивление проволоки при температуре T2

R0 1 T2 . Тогда

R

1 T2

будет

R2

2

n

,

откуда темпера-

R1

1

T1

турный

коэффициент

удельного

сопротивления

n 1

T

nT

2

1

3 1

5 10 3

К 1.

1279

3 293

Задание 17. Определить, во сколько раз сопротивление R~ медного провода круглого сечения диаметром d 1 мм на частоте

f 1 МГц больше сопротивления R0 этого провода постоянному

электрическому току.

Решение. Глубина проникновения электромагнитного поля в проводник связана с физическими параметрами материала про-

24

водника соотношением						,	где	0 4 10	7 Гн	– маг-
				0 f					м
нитная	постоянная; 1		– магнитная					проницаемость		меди
(медь	является диамагнетиком); f –						частота переменного			тока;
17 10 9		Ом м – удельное сопротивление меди. Тогда для меди
на частоте		f 1 МГц глубина проникновения электромагнитного
поля		17 10 9					6,57 10 5 м.
		3,14 4 3,14 10 7	1 1 106

Поскольку d , имеет место сильно выраженный поверхностный эффект. В случае сильно выраженного поверхностного эффекта коэффициент увеличения сопротивления провода круглого сечения определяется выражением

	KR	d		1 10 3	3,8.
		4		4 6,57 10 5

Задание 18. Вычислить глубину f1 проникновения электромагнитного поля в медный проводник на частоте f1 400 Гц и глубину f2 проникновения электромагнитного поля в медный про-

	водник на частоте f2 100 103 Гц.
	Ответ: f 3,283 10 3 м; f			2	20,76 10 3 м.
		1
	Задание	19.	Удельное сопротивление меди, содержащей
	0,3 ат.%	олова	при температуре T 300 К,				составляет
	0,0258 10 6	Ом м.	Определить отношение			300 К	удельных
						4,2 К

сопротивлений меди при температуре T1 300 К и T2 4,2 К.

Решение. Согласно правилу Маттисена удельное сопротивление реальных металлов представляет собой сумму двух составляющих:

т ост,

25

где т тепловая составляющая удельного электрического сопро-

тивления, обусловленная рассеянием электронов при тепловых колебаниях узлов кристаллической решетки; ост – остаточное удель-

ное электрическое сопротивление, связанное с рассеянием электронов на неоднородностях структуры.

При температуре T1 300 К тепловая составляющая т

0,0168 10 6 Ом м. Вблизи температуры T 0 К удельное элек-

трическое сопротивление реального металлического проводника равно остаточному удельному сопротивлению.

Тогда

300 К

300 К

300 К

0,0258

2,87 .

4,2 К

ост

т

0,0258 0,0168

300 К

Задание 20. Удельные электрические сопротивления чистой

меди при

температуре T1 293 К и при температуре T2

373 К со-

ставляют

0,0168 10 6 Ом м и

2

0,0226 10 6 Ом м соот-

1

ветственно. Полагая, что в этом диапазоне температур зависимостьf T близка к линейной, определить значение температурного

коэффициента удельного электрического сопротивления . Решение. В диапазоне температур, где зависимость f T

близка к линейной, величина удельного электрического сопротивления рассчитывается по формуле

0 1 T T0 ,

где 0 – удельное электрическое сопротивление при начальной температуре, например при T0 273 К.

Тогда при температуре T1 293 К удельное электрическое

сопротивление 1 0			T1		,	а при температуре
		1		T0
T2 373 К	удельное	электрическое				сопротивление	2

0 1 T2 T0 .

Используя выражение для удельного электрического сопротивления 1 при температуре T1 293 К и выражение для удельного

26

электрического сопротивления 2 при										температуре T2 373 К,
можно записать						1 T1 T0
	1										,
			2			1		T	T
								2	0
откуда
						2		1				.
		1			T2 T0 2 T1 T0

Подставляя числовые значения, получим значение температурного коэффициента удельного электрического сопротивления :

				0,0226 0,0168		4,72	10 3	К 1.
				0,0168 373 273	0,0226 293 273

Задание 21. Имеются проводниковые материалы, прошедшие одинаковую технологическую обработку. Химический состав первого материала Cu + 2 ат. % Zn, а состав второго материала – Cu + 0,5 ат. % As. Определить, какой из материалов имеет более высокую удельную проводимость.

Решение. Согласно правилу Линде, изменение остаточного удельного сопротивления на 1 ат. % примеси составляет

ост b Z 2 , где b – константа,	зависящая от природы металла
и периода, который занимает в	периодической системе эле-

ментов атом примеси; Z – разность валентностей металларастворителя (меди) и атома примеси. Константа b одинакова для атомов примесей одного периода периодической системы элементов, например для цинка и мышьяка. Так как медь одновалентна, то при введении цинка Z 1, а при введении мышьяка Z 4 . Следует принять во внимание, что остаточное удельное сопро-

тивление линейно зависит от концентрации

x атомов

примеси.

Таким образом,

т

ост

т

b Z 2 x ,

откуда

2

1

b Z1 2 xAs b Z2 2 xZn . Подставляя числовые значения, получаем:

27

2 1 b 4 2 0,5 10 2 b 1 2 2 10 2 0,06b .

Таким образом, первый материал обладает меньшим удельным сопротивлением, то есть имеет более высокую удельную проводимость.

Задание 22. Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре T0 0 К. Энергию Ферми принять рав-

ной 1,0 эВ.

Ответ: n 4,47 1027 м 3 .

Задание 23. Определить отношение концентраций свободных

электронов в литии и цезии	nLi	при температуре T 0 К, если
	0
	nCs

известно, что уровень Ферми лития EFLi 4,72 эВ, а уровень Ферми цезия EFCs 1,53 эВ.

Ответ: nLi 5,41.

nCs

Задание 24. Определить число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия, если энергия Ферми натрия

EF 3,12 эВ, а плотность натрия 970 мкг3 .

Ответ: 0,9.

Задание 25. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом алюминия, больше числа свободных электронов, приходящихся на один атом меди? Уровень Ферми алюми-

ния EAl 11,7 эВ, уровень Ферми меди	ECu 7,0 эВ.
F	F

Ответ: Число свободных электронов, приходящихся на один атом алюминия, больше числа свободных электронов, приходящихся на один атом меди, в 3 раза.

28

Задание 26. Определить максимальную скорость Vmax электронов в металле при температуре T0 0 К, если уровень Ферми

EF 5,0 эВ.

Ответ: Vmax 1,32 106 мс .

Задание 27. Определить суммарную кинетическую энергию свободных электронов золота, полагая, что на каждый атом приходится один свободный электрон.

Ответ: E 341,2 103 смДж3 .

Задание 28. Вычислить поляризованность монокристалла каменной соли, полагая, что смещение ионов под действием электрического поля от положения равновесия составляет 1 % расстояния между ближайшими соседними ионами. Элементарная ячейка кристалла имеет форму куба, расстояние между соседними ионами

a 0,28 10 9 м. Определить напряженность электрического поля, воздействующего на монокристалл каменной соли, если ее диэлектрическая проницаемость 5,65. Вычислить коэффициент kупр

упругой связи ионов в кристалле, полагая, что напряженность внутреннего электрического поля равна напряженности внешнего электрического поля.

Решение. Поляризованность P диэлектрика определяется как отношение электрического момента dp элемента диэлектрика

к объему dV этого диэлектрика: P dVdp . Если выбрать dV a3 , то

dp q x, где q – заряд иона, равный заряду электрона qe ; x – смещение ионов под действием электрического поля.

	q x		1,6 10 19	0,28 10 9	10 2		Кл
Тогда P	e		0,28 10 9 3			0,0204		.
	a3						м

29

Для большинства диэлектриков связь поляризованности P диэлектрика и напряженности E электрического поля можно считать линейной:

				P 0 1 E .
Откуда E		P				0,0204		495,7 10	6	В	.
	0	1		8,85		10 12 5,65	1			м

Так как смещению ионов под действием электрического поля препятствуют силы упругой связи, то в состоянии равновесия qE kупр x .

	qE		1,6 10 19 495,7 106		Дж
Отсюда kупр	x		0,28 10 9 10 2	28,33	м2 .

Задание 29. Композиционный керамический материал изготовлен на основе двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями 1 40 и 2 80. Предполагая хаотическое распределение

компонентов, определить объемные концентрации компонентов и диэлектрическую проницаемость композиционного диэлектрика, если температурные коэффициенты диэлектрической проницаемо-

сти диэлектриков		2 10 4	К 1 ,	2	15 10 4	К 1, а темпера-
	1

турный коэффициент диэлектрической проницаемости композиционного керамического материала 0 К 1.

Решение. Диэлектрическую проницаемость сложных диэлектриков, представляющих собой смесь химически не взаимодействующих друг с другом компонентов с различными диэлектрическими проницаемостями 1 и 2 , можно в первом приближении

(при небольшом различии компонентов) определить на основании уравнения Лихтенеккера.

Если оба компонента распределены хаотически, то уравнение Лихтенеккера имеет вид

ln 1 ln 1 2 ln 2 ,

где 1 – объемная концентрация диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 1; 2 – объемная концентрация диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 2 ; 1 2 1.

30