all

|S(ν)|

5

24ТеоремаКотельникова.

Пузаданстьигнал

S(t),имеющийспектр

S(ν)

,причемэтот

спектрограничен

частотами [-νm;ν m]

-

νm - Макс.значениечастот.

νm

ν

Вприродечастоеньсистемыобрезаютвысшие

гармоники.Ониявляютсяфильтромнизкихчастот.

Большреальсинствогимеютспектрыхал, в

ограничиеныйчастотой

νm.Представим S(t)его

интегральнымпреобразованием:

ν m

S(t) = ∫ S(ν ) e j 2πν t dtν

(1)

−ν m

Вотличиистандартнойзапределыиси

интегрироваконечны.Рассматриваяфуспектранкциюиябстрактную,

удовлетвоусловиДиабсолютнорихлеяющуюинтегрируемой,разложимвряд

Фурьепоаргум

ентуνнаинтервалеν2

m.

∞

2πν

1

ν m

πν

S (ν ) = ∑ Sk e jk

2ν m

(*)где,

S!k =

∫ S(ν ) e− jk

ν m

dν

(2)

k =−∞

2νm −ν m

− k

ν m

− jk

πν

S(

) = ∫ S(ν ) e

ν m dν

Обратимсяк(1),

заменив t

на -k/(2ν m):

(3)

2ν

m

−ν m

Еслив(1)ф

-ция S(t)непрменяющаясярывноуменьшениемаргумента,тов(3)

представленывыборкиф

k

-ции S(t)синтервалом1/(2ν

m)Е. сравнитьли(2)(3),то:

S!k

=

1

S (−

)

2ν m

2ν m

(4)

1

∞

k

jk

πν

Подставим(4)(*):

S(ν ) =

∑ S(−

) e

ν m

Подставимполученное(1):

2ν m k =−∞

2ν m

ν m

1

∞

k

πν

∞

1

k

ν m

k

S(t) =

∫

∑ S(−

) e jk

ν m e j 2πν t dν = ∑

S(−

)

∫

e j 2π (

2ν m +t )ν dν =

2ν

2ν

m

k =−∞

2ν

m

k =−∞

2ν

−ν m

m

m −ν m

∞

1

k

1

k

ν

= ∑

(−

)

e j 2π ( 2ν m +t )ν

|

m

k

k =−∞

2νm

2νm

−ν m

j2π (

+ t)

2νm

sin 2π (

k

+ t)ν

m

∞

k

2νm

S (t) = ∑ S (−

)

k

k =−∞

2νm

2π (

+ t)νm

(5)

2νm

Учитываяследующее:

1)

t =

1

2ν m

5

(t	S(k
	2) k имееткакположительные,такотрицзна,симметричнонияльные		∑
	относительнонуля	x

∞

sin 2π (t − k t)νm

Окончательнозапишем(5):

S(t) = ∑ S(k t)

(6)

2π (t − k

t)ν m

sin

k =−∞

∞

t

S(t) = ∑Sk e

jk 2π

T

- комплексныйрядФурье

k =−∞

Согласно (6)сигнал

ограничениемспектрачастотами

νm …ν

m точноможетбыть

восстановленуммированиемф

-

ций sinc свесовыми

коэффициентами,являющимися

дискретнымивыборками

исходсиг,взятыминчерезогоала

интервал

t.Приэтом

k-явыборкасигналадолжнапере

множатьсяф

-цией sinc,

сдвиотнутойначалаосительнокоординатвеличину

kt .

5

25Спектр.двумерногосигнала

+ ∞

S (ν x ,ν y ) = ∫ ∫ S ( x, y) e− j 2π (ν x x+ν yy ) dxdy(1)

−∞

+∞

j 2π (ν x x+ν y y )

S ( x, y) = ∫ ∫ S (ν x ,ν y ) e

dν x dν y (2)

−∞

Выражения(1)(2)явл.двумернымипреобразФу, ьеямымобратваниями

ным

соответственно.

ν r

=

ν x

2 +ν y

2

θ = arctg

ν x

ν y

Согласно(2)очевидно,чтпрострасигнственныйал

S(x,y)моетбытьвосстановлен

суммойбесконечногочислапространгармоник,состспектрвенныхавляющих

S (ν x ,ν y ) .

Приэтомпространственнаягармоникахарактер

-сякакпространсчастотвенной

ν (r) ,такиориентациейплоскойпростраволпространственваемойы,зад нстве

углом θ.

ν x =

1

;ν y

=

1

Y

X

!

ν ( y)

S (ν x ,ν y )

A

	Q
- A	ν ( x)

S (ν x ,ν y ) назыв.двумернойфункциейспектральнойплотности.

ОбратноепреобразовисходныйеФурьеконстто,чтоа двирусимерныйет	гнал
S (x, y) слагаетсяизбесконечногомножепростгармоникнственныхвасосвоими
пространсчастотами,амплитвеннымизначениямиугловымиориентациями
простравол. нственных
Втожевризсказанногомяслед,чтосуммированиееталг	ебраически
пространственныхгармоникприводвосстанисхф днойвлению	-ции S (x, y) .
ПрямоедвумпрерноеобразованФурьеявл.инстп ументомедисходнойтавления
ф-ции S (x, y) черездругуюф	-цию S (ν x ,ν y ) , дающуюсведенияоспектральн.

5

Составеисходсигногоала пространственгармониках,какпростейшвходящихфу, кцых гналх представленнаяграфическинекойповерхностю,весящейнадплоскость

Произвольнаяточкаплоскости выбираетпространсчастотвенную формулы: ν r = ν x 2 +ν y 2

– образа.Спектральныйсостав

- информация

(ν x ,ν y ) .

(ν x ,ν y )пространственногоспеу(казывает)

ν r ,слагающуюсяиз

ν x ,ν y посредством

Ордината восстановленнаяэтоестьйчкемодуль				S(ν x ,ν y )	,еслиумндваожить
этуодинату – получаемврезультатезн чениемплитуды,пространственной
гармоникисуказаннойчастотой.
Ориентакияпространственнойгармоникиопределяетсяуглом				θ ,определяемымпо
формуле:
θ = arctg	ν x
	ν y
Теореинмогутическиегралыбытьвыч,еслифункциясленны					S (x, y) является
сепарабельной.
S (ν x ,ν y ) = ∫ S1(x) e− j 2πν x x dx ∫ S 2( y) e− j 2πν yy dy
S (x, y) = S1(x) S 2( y)
Пример.
Пустьзадафупрознакциярачностиямоугольнойди				афрагмы.

S (ν x ,ν y ) = ∫ S1(x) e− j 2πν x x dx ∫ S 2( y) e−

S (x, y) = S1(x) S 2( y)

Пример.

b

a

j 2πν yy dy ; S ( x, y) = S1( x)

x

5

				a			a
0, x		−				;
				2			2
									, yє(− ∞; ∞)
S1( x) =			a			a
1, xє	−			;
			2			2

				b			b
0, y		−				;
				2			2
									, xє(− ∞; ∞)
S 2( x) =			b		b
1, yє	−			;
			2		2

S (ν x ,ν y ) = ∫∫ S (x, y) e− j 2πν x x e− j 2πν y y dxdy =

a b

2 2

∫∫1 e− j 2πν x x e− j 2πν y y dxdy

−a2 − b2

a

a

2

1

2

∫ e− j 2πν x x dx =

∫ e− j 2πν x x d (− j2πν x x) = e

− j2πν x

a

a

−

−

2

2

1

e− j 2πν x x

a

1

[e− jπν x a − e jπν x a ]=

=

2

a

=

− j2πν x

− j2πν x

2

1

−

sin πν x a

=

(−2 j sin πν x a)

= a

− j2πν x

πν x a

S (ν x ,ν y ) = a b

sin πν x a

sin πν y b

πν x a

πν y b

.

5

26Преобразование. Фурье -Бесселя

Пуисходнаятьдвумернфункцияоблкруговойадантсимметриейзаднаначле координат.

∞ 2π ∞ 2π

S(ν r,ψ )= ∫ ∫ S(r,ϕ) e− j 2πνr cos(ϕ−ψ )r rdrdϕ = ∫ S(r)rdr ∫e− j 2πν r r cos(ϕ−ψ ) dϕ

			0		0			0	0
					1	2π
	I0	(z) =				∫0	e jz cos(θ −ϕ) dθ	∞
				2π
=								= 2π ∫ S(r) I0 (2πνr r)rdr
								0	,
	z = 2πνr r
!						∞
			2π ∫ S (r) I0 (2πν r r)rdr(1)прямое
S (ν r ) =
						0

∞

S (r) = 2π ∫ S (ν r ) I0 (2πν r r)drdν r (2)обратное

0

(1),(2)- преобразованияФурье -Бесселя. Соотношсимметричны,преобразующимнияядромвляетфункцияБесселя.

E(r,ϕ) = E(r) = E0 ,0 ≤ r ≤ R

0, r > R

2πν

r

r = z

R

z

S (ν r ) = 2π ∫ E0 I0 (2πν r r)rdr = r =

; z = 2πν r

R

2πν r

0

dz

dr =

; z = 0

2πν r

2πν r r

z

dz

2πE0

2πν r R

2πE0 ∫ I0

( z)

=

∫ I0 ( z) zdz = E0πR

2πν r

2πν r

(2πν r )

2

0

0

= S (ν r )

5

=

Данна

2 2I1 (2πν r		R)		=
	2πν r R

функция,этопространственн

ыйспектрфункцииоблученности.

z = 2πν r R = 3.83
ν r	=	3.83	=	0.61	=	1.22
		2πR		R			D

5

27.Випадковісигнтаїхзагхлильнірактеристики.
Детермисигмогутнбытьалыироваоднозопределеныприныелюбомачнозначении
аргумента.Случайныесигналых	-ютсятем,чтоп	ривыбрзначениинномргу, ента
значесигнеиала,иможетзвесбыпредсказаноьвероят<1но. стью
Случайныесигналымогутбытьисточникамипогрешностей,снижатьпотенциальные
возмОЭП,ожднакоонимогслстиуисточникжитьполезнойинф. рмации	Изслучайногосигнала		n(t)можновыделить
	отдельныйфрагментналюбоьинтервале		T.
	Такаязаписьназ	реализациейслучайного
	процесса.

Случайныйпроцессзадаютсяв
бесконечныхпределахзн ченийргументов.Их
невозможпредставниграф,ноическить
аналитически,можнополишьучить
определеннчастьих,которименуют
реализацией.Чембольшереализаций,темболее
полноепредставлеслучайпроцессеномие
можнососта.Совреализацийитьокупность
образует ансамбльреализаций.	Для

описанияслучайныхсиг наловиспользуютсяиныеметоды,нежелидля детерминированных.

Кобщимхарактеристикамнормальнслучайногопроцессажтнести

следующие:

-Плотносвероятности; ь

-Математическоеожидание;

-Дисперсия;

- Корреляционная,ковариаци,авток рреляцинная					автоковариационнаяи ф		-ции.
Ф-цияплотнвероятностии					(1)
	p(t, n) =	dP(t, n)
		dn
	∞		(2)
	∫ p(t, n)dn = 1
	−∞
	Даннаяф	-цияблизканормальномузакону
	распределения.Вобщемслучаеф					-цииплотности
	вероятностимогутбытьблизтаккжеими
	Релеевкомуз		-нураспределеният..
Ф-цияплотн вероятностидолжнаудовлетусл виюрмировкиорять(2).
Плотнвероятностиь	– такаяфункция,котораябудучиумноженнаямалую
величину n даетзначениевероятого, случайнаяностивел чина						n примет
определзначениеное	n1всечении t1.
	P(t1, n) = p(t1, n1) n

Математическоеожидание,	илиодномермомего1порядкаслучайнойтыйф	-ции m
всечении t2называют:

5

∞

< n(t2) >= ∫ n(t2) p(t2, n)dn

	−∞
Математическоеожиданиеявлсреднеарифметичезначениемсовокупноскимтей
напряженийдлязначений	t2.
	Дляпред ставленарис.Анмногосамблятематическое
	ожидбудетрадлязноениеразныхс чений	t1, t2..
	Математическоеожидание	Mn =< n(t) >
	<…усреднение>поансамбреализаций.С юучайный
	проц, едсснагртнарастающий, вленныйфике	–
	нестационарный.
	Стаципрявляетсяоцесснарныйненарастающим.

∞

Дисперсия Dn (t2) = m2(t2) =< n2 (t2) >= ∫ n2 (t2) p(t2, n)dn (1)

−∞

Дисперсиейназываютодномермомепорядкаорогон.тый Вобщемвидедлямножествасеченийопределдисппринеследрсниев: маети

∞

Dn (t) = m2(t) =< n2 (t) >= ∫ n2 (t) p(t, n)dn

−∞

Корреляционнаяиавтокорреляционнаяф -ции.

Дляэтихслучайныхсигналовматожиданиядисперсииявляютсяравны,хотсамии
сигналыявляютсяпринципиальноразными.Этозначит,чтопараметров				Mn и Dn
недостатдляисчеропчноисанияывающегормальнслучайногопр				оцесса.Для
болееполногоописаниявв дят	корреляционнуюф	-цию ,котораяучитывает
дополнительчаскороуметусигналатььшения.о	Поопределениюавтокорелляционнаяф				-ция
	равна:
	Kn (t1,t2) = ∫∫n(t1)n(t2)p(n(t1),n(t2))dn(t1),dn(t2)
	Автокорреляционнаяф		-цияустанавливает
	связь заченияслучайнойф			-циивсечении	t0и
	t1,разделинтτ.енныхрвалом
	Корреляциюкосвеможнтерпретироватьно
	процеугадзначеуройываслучайнойфния				-
	циичерезнтервалτ=	t2-t1
	приусловииуказзнамомчениявр нтмени
	t1,еслихарактерповед	енияслучф		-ции,
	предшествующий t1,былизвестен.

6

Графикавто форреляционной -циивыгсл.Образомеяд: ит

Автоковариационнаяф	-ция.
Rn (t1,t2) относиткнецентрислучайномуяпро,ивцессванному
общемвидезапис:
Rn (t1,t2) = ∫∫n(t1)n(t2)p(n(t1),n(t2))dn(t1),dn(t2)
n(t1) n(t2) – значенияоднойреализациислучайнойф		-циивмоменты
t1и t2