Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Российская академия народного хозяйства и государственной службы
при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ
Е.А.РАПОЦЕВИЧ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и мамематическая статистика
Учебное пособие
для студентов всех форм обучения
по направлению
«Экономика»
Новосибирск 2012
Издается в соответствии с планом учебно-методической работы
Рецензенты:
О
74-1
Рапоцевич Е.А.
Теория вероятностей и математическая статистика. - Новосибирск: Издательство СибАГС, 2012. − 94 с.
Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначено для студентов всех форм обучения по программам бакалавриата направления «экономика». Включает в себя информацию по основным разделам теории вероятностей и математической статистики, примеры решения основных типов задач, большое количество задач для организации самостоятельной работы студентов.
ББК 22.1 я 77
О 74-1
СибАГС, 2012
Оглавление
Предисловие 5
Тема 1. Элементы комбинаторики 7
Тема 2. Случайные события 13
§ 2.1. Классическое определение вероятности события 13
§ 2.2. Действия над событиями 15
§ 2.3. Теорема сложения вероятностей 17
§ 2.4. Понятие условной вероятности 19
§ 2.5. Теорема умножения вероятностей 21
§ 2.6. Формула полной вероятности и формула Байеса 23
§ 2.7. Повторение испытаний. Формула Бернулли 27
Тема 3. Случайные величины и их законы распределения 32
§ 3.1. Общие определения 32
§ 3.2. Дискретные случайные величины и основные законы распределения 32
§ 3.3. Понятие интегральной и дифференциальной функции распределения 34
§ 3.4. Непрерывные случайные величины и основные законы распределения 35
§ 3.5. Действия над случайными величинами и основные числовые характеристики 38
§ 3.6. Неравенство Чебышева и интегральная теорема Муавра — Лапласа 51
Тема 4. Введение в математическую статистику 55
§4.1 Основные определения 55
§4.2. Вариационный ряд и статистическое распределение выборки 56
§4.3. Графическое изображение статистического распределения 58
§ 4.4. Выборочные средние и методы их расчета 60
Тема 5. Статистические оценки параметров распределения 62
§5.1 Точечные оценки 62
§ 5.2. Интервальные оценки 62
Тема 6. Статистические гипотезы 68
§ 6.1. Основные понятия статистической проверки гипотез 68
§ 6.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности некоторому значению 69
§ 6.3. Проверка гипотезы о равенстве генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности некоторому значению 70
§ 6.4. Проверка гипотезы о доле признака 72
§ 6.5. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности 73
§ 6.6. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух нормально распределенных генеральных совокупностей 76
ПРИЛОЖЕНИЕ 79
Предисловие
Вниманию читателей предлагается учебное пособие по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», предназначенное для студентов всех форм обучения по программам бакалавриата направления «экономика».Эта дисциплина является федеральным компонентом цикла ЕН. Включает в себя информацию по основным разделам теории вероятностей и математической статистики, примеры решения основных типов задач, большое количество задач для организации самостоятельной работы студентов.
В конце каждого параграфа имеются типовые задачи с решениями, которые могут послужить основой для проведения практических занятий, а также задачи, предназначенные для самостоятельного решения. Детальность решения типовых задач и наличие дополнительных задач позволяют студенту самостоятельно изучить материал, что делает его пригодным для организации дистанционной технологии обучения.
Следует отметить, что большинство учебников по теории вероятностей, опубликованных в нашей стране, либо вообще не содержат прикладных примеров, либо эти примеры имеют «однобокую окраску». Но очевидно, что для эффективного использования на практике полученных знаний студент должен уметь самостоятельно строить математические модели для конкретных прикладных задач. По этой причине в пособии приводятся разнообразные примеры экономического характера, позволяющие студенту глубже понять смысл изучаемого курса.
ВВЕДЕНИЕ
Возникновение теории вероятностей как наукиотносят ксредним веками первым попыткамматематического анализаазартных игр(орлянка,кости,рулетка). Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх,Б. ПаскальиП. Фермаоткрыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросаниикостей.Х. Гюйгенсввел основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), в своей работе, которая вышла в1657 году. Важный вклад в теорию вероятностей внёсЯ. Бернулли: он дал доказательствозакона больших чиселв простейшем случае независимых испытаний. В первой половинеXIX векаЛапласиПуассондоказали первые предельные теоремы. Во второй половинеXIX векаосновной вклад в развитие теории вероятностей внесли русские учёныеП. Л. Чебышев,А. А. МарковиА. М. Ляпунов. В это время были доказанызакон больших чисел,центральная предельная теорема, а также разработана теорияцепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаряаксиоматизации, предложеннойАндреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один изразделов математики.
Математическая статистика − наука, разрабатывающая математическиеметоды систематизации и использованиястатистическихданных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается натеорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).
Математическая статистика − раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделеймассовых случайных явлений. Выделяютописательную статистику,теорию оцениванияитеорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используютточечныеиинтервальные оценки.
В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.
Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.
В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов). Применение возможностей программы MicrosoftExcelизбавит вас от громоздких вычислений и доставит вам истинное удовольствие в изучении этой дисциплины.