Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
16
Добавлен:
18.03.2016
Размер:
671.62 Кб
Скачать

Мурманский филиал ПГУПС

Лабораторная работа по физике № 02

ОПРЕДЕЛНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Мурманск

2009

2

ОПРЕДЕЛНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: определение модуля сдвига материала проволоки методом крутильных колебаний.

Оборудование:1) установка для определения модуля сдвига;

2)секундомер;

3)линейка;

4)штангенциркуль.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ:

Под воздействием внешних сил твердые тела деформируются, т.е. изменяют свои размеры и форму. Упругой называется деформация, которая исчезает с прекращением действия силы.

Продольные деформации. Рассмотрим продольный стержень длиной L и площадью поперечного сечения S, к концам которого приложена сила fn (рис. 1). Сила fn, растягивающая стержень, считается положительной, сжимающая стержень – отрицательной. Длина стержня меняется на L, которая называется абсолютным удлинением. Эта величина также может быть как положительной, так и отрицательной.

Всякую деформацию характеризуют не абсолютным, а относительным изменением размеров тела:

ε = x .

x

Эта величина называется относительной деформацией. Относительная продольная деформация (относительное удлинение) определяется выражением

εL

= L .

(1)

 

L

 

При продольной деформации нормальное напряжение равно

σ =

fn

 

 

S

 

 

 

Установлено, что нормальное напряжение прямо пропорционально

относительной продольной деформации:

 

σ = E ε

(2)

здесь E модуль упругости (модуль Юнга), зависящий только от материала, из которого изготовлен стержень.

Формула (2) представляет собой закон Гука для продольной деформации (т.е. для растяжения или сжатия).

3

Из (2) видно, что модуль Юнга численно равен нормальному напряжению вызывающему относительное изменение длины, равное единице, т.е. тому усилию, которое растягивает стержень вдвое ( L = L ). Следует отметить, что все материалы, кроме природного каучука, испытывают разрыв раньше, чем достигают таких растяжений.

Рис. 1. Продольные деформации: а) растяжения; б) сжатия

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня

Π= 1 ES ( L)2

2 L

Продольные деформации сопровождаются изменением поперечных размеров стержня: при растяжении стержень испытывает поперечное сжатие (рис.1.а), при продольном сжатии его поперечные размеры возрастают (рис. 1.б).

Относительная поперечная деформация стержня равна:

εd

= d

(3)

 

 

d

 

Отношение

 

 

 

 

µ =

εd

 

(4)

εL

 

 

 

называется коэффициентом Пуассона. Эта величина является постоянной для данного материала. Для большинства однородных изотропных тел, в частности

металлов, численное значение коэффициента Пуассона близко к µ = 14 .

Деформация сдвига. Деформация сдвига происходит под действием силы, параллельной поверхности, на которую она действует (рис.2). Под влиянием такой силы молекулярные слои тела сдвигаются относительно друг друга.

4

Рис. 2. Деформация сдвига

Из рис. 2 видно, что абсолютная величина перемещений слоев АА', ВВ' и др. различна, но отношение величины смещения слоя к расстоянию от него до неподвижной при деформации точки О остается постоянной:

ε

 

=

AA

=

BB

== tgψ = const

ψ

OA

OB

 

 

 

 

величина εψ называется относительным сдвигом, угол ψ – углом сдвига. При малом значении угла сдвига

tgψ ψ

x ,

d

т.е. угол ψ характеризует относительный сдвиг, который связан с

касательным напряжением1 τ соотношением

 

τ = G ψ,

(5)

Величина G называется модулем сдвига. Модуль сдвига равен такому касательному напряжению τ, при котором угол сдвига ψ = 45°, при этом tgψ =1.

Формула (5) представляет собой закон Гука для деформации сдвига.

Модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона связаны соотношением

G =

E

.

2(1+ µ)

 

 

1 Когда к телу приложена внешняя сила, нарушается равновесие молекулярных сил и в каждом сечении тела появляется результирующая внутренних сил, противоположная внешней силе. Результирующая внутренних сил, приходящаяся на единичную площадь поперечного сечения тела, называется напряжением. Внешняя сила может быть ориентирована относительно поверхности тела произвольным образом, но её можно разложить на две составляющих - в направлении нормали и в направлении касательной к поверхности тела в точке приложения силы. При установившейся деформации результирующая внутренних сил уравновешивает в любом сечении тела внешнюю силу.

5

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХКОЛЕБАНИЙ

Рассмотрим круглый цилиндр длиной L и диаметром d, у которого верхнее сечение неподвижно закреплено.

При кручении угол φ , на который повернется тело под действием крутящего момента Mк , равен

φ=

MкL

,

(6)

 

 

GJp

 

где G – модуль сдвига; Jp = πd4 – полярный момент инерции поперечного 32

сечения, с учетом этого (6) примет вид

φ = 32MкL .

πd4G

Выразим отсюда Mк :

Mк

=

πd4G

φ,

(7)

 

 

 

32L

 

Рассмотрим собственные крутильные колебания тела с моментом инерции J, подвешенного на тонкой нити (проволоки). Нить можно рассматривать как цилиндр малого диаметра d и длиной L. Момент инерции самой нити можно считать бесконечно малым.

Согласно основному закону динамики вращательного движения тела, имеем:

M = J

d2φ

,

 

 

(8)

 

 

 

 

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где М – момент сил, приложенных к телу;

d2φ

= ε – угловое ускорение

dt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вращающегося тела.

С учетом того, что крутящий момент Mк в поперечном сечении проволоки отличается от момента М, приложенного к телу знаком, т.е. Mк = −M и (7) выражение (8) примет вид

 

d2φ

+

 

πd4G

φ = 0.

(9)

 

dt2

 

 

 

 

 

32JL

 

введя обозначение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

2 =

πd4G

 

(10)

 

 

32JL

 

 

 

 

 

 

перепишем (9)

6

d2φ + k2φ= 0. dt2

Получили дифференциальное уравнение свободных колебаний, решение которого имеет вид

φ = φ0 sin(kt + α0 ),

где φ0 – амплитуда колебания; α0 – начальная фаза; k – круговая частота колебаний, которая связана с периодом колебаний T соотношением

k = 2π . T

С учетом данного выражения перепишем (10)

 

2π 2

πd

4G

 

 

 

=

 

 

,

32JL

 

T

 

 

Выражая отсюда G, получим расчетную формулу для модуля сдвига

G =

128πJL

(11)

T2d4

 

 

3. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Схема экспериментальной установки представлена на рис. 3. На прикрепленной к кронштейну К нити Н (ею является исследуемая проволока) подвешено тело. Оно может совершать крутильные колебания вокруг оси ОО. Тело представляет собой массивный металлический диск Д с ввинченными в него стержнями С. На каждом стержне закреплен один цилиндрический груз Г диаметром b, длиной l и массой т. Оба грузы одинаковые и установлены на одном и том же расстоянии r от оси вращения ОО. Передвигая грузы по стержню, можно менять величину r и тем самым момент инерции тела J.

О

7

В данном случае момент инерции всего тела определяется выражением:

J = J0 + 2Jг ,

(12)

где J0 – суммарный момент инерции диска и стержней относительно оси вращения OO, а Jг – момент инерции одного груза относительно той же оси, который рассчитывается по формуле:

J

 

=

 

1

ml2 +

 

1

mb2 + mr2 ,

(13)

г

12

16

 

 

 

 

 

Величина J0 является параметром установки и приведена в работе.

В ходе работы диск слегка поворачивают вокруг оси ОО, а затем отпускают. Измерив период возникших крутильных колебаний Т и зная величины d, J и L, можно рассчитать модуль сдвига материала проволоки.

4.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Измерить микрометром несколько раз в различных точках диаметр проволоки d.

2.Определить взвешиванием массу m любого из грузов. С помощью штангенциркуля измерить в нескольких местах длину груза l и его диаметр b.

3.Измерить линейкой длину нити L.

4.Закрепить грузы на стержнях на одинаковом расстоянии от оси вращения. Измерить расстояние r от середины груза до оси вращения.

5.Занести полученные результаты в таблицу.

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

№ п/п

d, м

m, кг

l, м

b, м

L, м

r, м

1

 

 

 

 

 

 

2

1,95 103

0,372

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Среднее

 

 

 

 

6.Повернуть диск на 5-10 градусов вокруг оси вращения, а затем отпустить его. Измерить секундомером время t, за которое совершаются n колебаний, и определить период колебаний Т по формуле T = t (число колебаний задается

n

преподавателем).

7.Повторить измерение периода 5 раз.

8.По формулам (12) и (13) рассчитать момент инерции (по средним значениям l, b, r).

9.Найти величину модуля сдвига по формуле (11).

 

 

 

 

 

 

 

 

8

10.Результаты занести в таблицу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

№ п/п

n

t, c

T, c

G, Па

 

G, Па

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

J0 =122 104

кг м2

2

 

 

 

 

 

 

Jг =

кг м2

3

 

 

 

 

 

 

J =

кг м2

4

 

 

 

 

 

 

L =

м

 

 

 

 

 

 

 

d =

м

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Среднее

 

 

 

 

 

11.Оценить погрешность полученных результатов

 

 

 

Контрольные вопросы к лабораторной работе «ОПРЕДЕЛНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МЕТОДОМ

КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ»

1.Виды деформаций.

2.Деформация растяжения и сжатия. Относительное и абсолютное удлинение.

3.Закон Гука для продольной деформации. Модуль Юнга. Коэффициент Пуассона.

4.Деформация сдвига. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига.

Соседние файлы в папке Лаб.раб_физика