getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie / getmanov_v_g_cifrovaya_obrabotka_signalov_uchebnoe_posobie
.pdfИмпульсно-переходная функция для (6.5.1) определена в (k 1) точках, h(s) as , s 0, 1,..., k. ПФ для КИХ-фильтра (6.5.2) линейно зависит от коэффициентов a0, a1,..., ak . Указанное обстоя-
тельство приводит к квадратичным функционалам при решении аппроксимационных задач, что позволяет в ряде случаев эффективно реализовывать синтез КИХ-фильтров на основе соответствующих систем линейных уравнений.
6.5.1.Синтез КИХ-фильтров на основе метода аппроксимации в частотной области
Рассмотрим достаточно общую постановку задачи синтеза КИХфильтров на основе метода аппроксимации в частотной области. Пусть на фиксированном частотном диапазоне ( 0, f ) заданы
частотные точки i , i 0, 1,..., N 1, 0 |
1 ... |
N 1, f |
N 1, |
не обязательно расположенные равномерно. В этих точках определены комплексные значения эталонной ПФ H0 ( j i ), которые не-
обходимо аппроксимировать в точках |
i |
с помощью комплексной |
|
|
|
|
|
ПФ H(a, j iT), i 0, 1,..., N 1, синтезируемого |
КИХ-фильтра. |
||
Будем здесь полагать, что коэффициенты as , s |
0, 1,..., k, явля- |
||
ются комплексными. |
|
|
|
Представим выражение для ПФ H(a, j T) КИХ-фильтра в
форме скалярного произведения, введя векторы a и Hd ( j |
T ): |
||
aT (a , a ,..., a ), |
HT ( j T) (1,e j T , e j T 2,..., e j |
Tk ), |
|
0 1 |
k |
d |
|
H(a, j T) aT Hd ( j T).
Сформируем квадратичный по вектору коэффициентов a функционал определяющий близость эталонной ПФ и передаточ-
ной функции КИХ-фильтра, которая образуется в результате синтеза
|
|
N 1 |
|
|
) H(a, j T))* (H ( j |
|
|
|
|||||
S(a, H |
0 |
) |
|
(H ( j |
i |
i |
) H(a, j T)) |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
i |
|
0 |
|
i |
|||
|
|
i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
) aT H ( j |
T))* (H ( j |
|
) aT H ( j |
|
|||||
(H ( j |
i |
i |
T)). (6.5.3) |
||||||||||
|
|
0 |
|
d |
|
i |
0 |
|
|
d |
i |
||
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
211 |
|
|
|
|
|
Нахождение вектора a , обеспечивающего синтез КИХ-фильтра,
сводится к минимизации функционала (6.5.3). Введѐм необходимые векторно-матричные обозначения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0 ( j 0 ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
H0 |
|
|
H0 ( j |
1) |
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
H0 ( j |
|
N 1) |
|
|
|
|
|
|
|
H |
d |
( j T) |
|
|
e j 0T , |
|
e j 0Tk |
|
|||||||
|
|
1, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
d |
( j T) |
|
1, |
e j 1T , |
|
e j 1Tk |
|
|||||||
XH |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
H |
d |
( j |
T) |
|
1, |
e |
j |
N 1T |
, |
e |
j N 1Tk |
|
|||
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся результатами построения линейных моделей разд. 2.4 для комплексного случая (2.4.8), (2.4.11). Вычисление a производится на основе решения системы комплексных линейных уравнений
X*T X |
H |
a |
X*T H . |
(6.5.4) |
H |
|
H 0 |
|
В отличие от общей постановки синтеза ЦФ, описанной в разд. 6.3, как аппроксимационной задачи, решаемой на основе нелинейного программирования, изложенный подход синтеза КИХфильтра ввиду того, что оптимизируемый функционал является квадратичным, принципиально позволяет решить задачу построе-
ния |
КИХ-фильтров с комплексными коэффициентами as , |
s |
0, 1,..., k, с помощью решения соответствующей комплексной |
системы линейных уравнений размерности (k 1) (6.5.4). Необходимо иметь в виду, что предложенный подход решает
задачу аппроксимации синтезированной ПФ H(a , j iT) к эталон-
ной ПФ H0 ( j i ) в точках |
i , |
i |
0, 1,..., N |
1. Однако при этом |
||
остаѐтся |
открытым |
вопрос |
о |
поведении |
синтезированной ПФ |
|
H(a , j |
T) для частот , находящихся между частотными точка- |
|||||
ми i |
i 1 , i |
0, 1,..., N |
2. |
Следует |
также учитывать, что |
|
для больших k и близких частот |
|
i , i 1 могут возникать вычисли- |
тельные проблемы, связанные с решением линейной системы
(6.5.4).
212
6.5.2. КИХ-фильтры с линейными ФЧХ
КИХ-фильтры с линейными ФЧХ используются в многочисленных задачах синтеза. Существуют четыре варианта КИХ-фильтров с линейной ФЧХ, которые обусловлены четырьмя типами симметрии коэффициентов КИХ-фильтров. Запишем выражение для ПФ КИХ-фильтра
|
k |
|
k |
H( j T) |
(a a e j T |
a e j Tk ) |
a e j Ts. |
|
0 1 |
k |
s |
s |
0 |
s |
0 |
Вариант КИХ-фильтра 1. Порядок k – чѐтное число и для ко-
эффициентов |
фильтра |
выполняются |
равенства as |
ak s , |
|||||||||
s 0, 1,..., k/2 |
1, |
обеспечивающие |
симметрию |
as |
относительно |
||||||||
коэффициента ak /2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
H( j |
T) |
e j |
Tk/2 |
(a e j |
Tk/2 |
a e j T (k/2 1) ... |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
e j |
T (k/2 k/2) |
... a e j |
T (k/2 k) ) |
e |
j |
Tk/2 |
|
|||
|
k/2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k/2 |
|
|
|
|
|
|
|
k/2 |
|
|
|
|
a |
|
2a |
k/2 |
cos( |
Ts) |
e |
j |
Tk/2 |
c cos( Ts). |
(6.5.5) |
|||
k/2 |
|
|
s |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
s |
0 |
|
|
|
ФЧХ для КИХ-фильтра первого вида (6.5.5) представляется линейной функцией частоты ( ) Tk/2.
Вариант КИХ-фильтра 2. Порядок k – нечѐтное число и для коэффициентов фильтра выполняются равенства as ak s , s 0, 1,..., (k 1)/2, обеспечивающие симметрию:
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H( j T) e j Tk/2 |
(a e j Tk/2 |
|
a e j T (k/2 1) |
||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k |
1)/2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e j Tk/2 |
|
2a |
|
cos |
T |
s |
|
||
|
k /2 |
|
|
||||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
2 |
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(k |
1)/2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cs cos |
T |
s |
|
. |
||
|
|
|
|
2 |
|||||
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ake j T (k/2 k) )
e j Tk/2
(6.5.6)
Вариант КИХ-фильтра 3. Порядок фильтра k – чѐтное число и
для коэффициентов фильтра выполняются равенства as |
ak s , |
213 |
|
s 0, 1,..., k/2 1, обеспечивающие антисимметрию относительно
ak/2 0:
k
H( j T) e j Tk/2
s 0
e j Tk/2 j /2
(a e j Tk/2 |
a e j |
T (k/2 |
1) |
... a e j T (k/2 k) ) |
0 |
1 |
|
|
k |
k/2 1 |
|
|
|
|
2a |
sin( |
Ts) |
e j |
Tk/2 j /2 |
s k/2 |
|
|
|
|
s 0 |
|
|
|
|
k/2 1 |
|
|
|
|
cs sin( Ts). |
|
(6.5.7) |
||
s 0 |
|
|
|
|
Вариант КИХ-фильтра 4. Порядок фильтра k – нечѐтное число
и для коэффициентов фильтра выполняются равенства as |
ak s , |
s 0, 1,..., (k 1)/2, обеспечивающие антисиметрию: |
|
H( j T)
e
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e j Tk/2 |
(a e j Tk/2 |
a e j |
T (k/2 1) |
|
... |
a e j |
T (k/2 k) ) |
||||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
k |
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k |
1)/2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
j Tk/2 j /2 |
|
|
2a |
sin |
T |
s |
|
e j |
Tk/2 |
j /2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
s k/2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(k |
1)/2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
cs sin |
T |
s |
. |
|
|
(6.5.8) |
||
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.5.3. Синтез КИХ-фильтров методом оконных функций
Комплексная ПФ любого ЦФ является периодической функци-
ей частоты с периодом, равным |
частоте дискретизации |
2 / T. |
Представим эталонную ПФ H0 ( j |
T) синтезируемого ЦФ еѐ в виде |
|
комплексного ряда Фурье с использованием (2.5.2): |
|
|
H ( j T) |
h(s)e j Ts , |
(6.5.9) |
0 |
|
|
s
где параметры h(s) с номерами s определяются в соответствии с
известной формулой для коэффициентов комплексного ряда Фурье
(2.5.4):
214
|
T |
/T |
|
|
|
|
|
h(s) |
H |
|
( j T)e |
j Tsd , |
s . |
||
2 |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
/T |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Нетрудно убедиться из (6.5.9), что коэффициенты разложения ПФ ЦФ в ряд Фурье могут интерпретироваться как отсчѐты импульсно-
переходной функции h(s), |
s |
. Если |
ввести замену |
e j T z, то на основе (6.5.9) |
можно получить ПФ ЦФ в форме |
||
z-преобразования |
|
|
|
H (z) |
h(s)z s. |
(6.5.10) |
|
0 |
|
|
|
s
Определѐнная подобным образом ПФ (6.5.10) описывает физически нереализуемый ЦФ бесконечного порядка.
Для получения ЦФ конечного порядка k необходимо провести усечение ряда (6.5.10), полагая h(s) 0 при s k /2. Здесь примем
для упрощения выкладок, что порядок k является чѐтным числом. Случай нечѐтного порядка k производится почти аналогично. Про-
изведѐм усечение в (6.5.10), получим H0(z):
|
|
|
k/2 |
|
H (z) h(0) |
h( s)zs h(s)z s . |
(6.5.11) |
||
0 |
|
|
||
|
|
|
s 1 |
|
Физическая реализуемость ЦФ с передаточной функцией типа (6.5.11) может быть достигнута путѐм умножения H0 (z из (6.5.11) на z k/2:
(6.5.12)
Подобная модификация ПФ допустима, поскольку АЧХ при этом остаѐтся неизменной, а фазовое запаздывание уменьшается на ве-
личину Tk/2. Подстановкой z |
e j T в выражение (6.5.12) можно |
получить комплексную ПФ физически реализуемого ЦФ |
|
|
k/2 |
H( j T) e j Tk/2 h(0) |
(h( s)e j Ts h(s)e j Ts ) . |
|
s 1 |
Рассмотрим случаи, когда импульсно-переходная характеристика КИХ-фильтра симметрична h(s) h( s) и антисиметрична
h(s) h( s), k – чѐтное число. В первом случае имеем следующее выражение для ПФ КИХ-фильтра:
215
|
|
k/2 |
|
|
|
H( j T) |
e j Tk/2 |
h(0) |
2h(s) e j |
Ts e |
j Ts |
|
|
s |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
j Tk/2 |
k/2 |
|
|
|
e |
h(0) |
2h(s)cos( |
Ts) |
, |
s1
иво втором случае ПФ КИХ-фильтра имеет вид
|
|
j |
Tk/2 |
k/2 |
2 jh(s) e j Ts e j Ts |
H( j T) |
e |
h(0) |
|||
|
|
|
|
s 1 |
2 j |
|
|
|
|
|
|
e j |
/2 |
j |
Tk /2 |
k/2 |
|
h(0) |
2h(s)sin( Ts) . |
||||
|
|
|
|
s |
1 |
Усечение ряда (6.5.10) и формирование ПФ (6.5.12) приводит к эффекту Гиббса, связанному с образованием пульсаций АЧХ около еѐ точки разрыва (точки среза). Использование весовой последовательности конечной длины w(s), s 0, 1,..., k, которая называется
оконной функцией, для умножения коэффициентов Фурье с целью регулирования сходимости усечѐнного ряда Фурье даѐт хорошие результаты в отношении устранения эффекта Гиббса.
Пусть H0(e j T ) – частотная функция неусечѐнного ЦФ из (6.5.10). Положим, что для выбранной оконной функции w(s) найдена частотная функция
|
k/2 |
W(e j T ) W(z) Z{w(s)} |
w(s)z s. |
s |
k/2 |
Обозначим через Hw(z) Z{w(s)h(s)} частотную функцию КИХ-
фильтра, полученного в результате умножения коэффициентов им- пульсно-переходной функции на функцию окна. Произведение функций во временной области переводится в свѐртку в частотной области. Тогда очевидна запись в виде свѐртки
|
|
|
T |
2 /T |
H |
w |
(e j T ) |
|
H(e j 1T )W(e j( 1)T )d . |
|
||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Частотная функция окна W(e j T ) должна иметь главный лепесток,
содержащий почти всю энергию окна, и боковые лепестки, которые должны обычно быстро затухать. При определѐнном выборе функции окна w(s) удаѐтся устранить явление Гиббса. Наиболее часто
216
для рассматриваемой здесь задачи используются временные оконные функции Хэннинга, Хемминга и Блэкмана. Разумеется, существует целый ряд других функций окон.
Рассмотрим пример синтеза низкочастотного КИХ-фильтра с заданными c , T и заданной эталонной функцией АЧХ H0 ( j T) в виде
|
H0 ( j |
|
T) |
|
1 при 0 |
c; |
|
|
|
||||
H0 ( j T) |
|
0 при c |
2 / 2T. |
|||
|
Будем полагать, что для эталонной ПФ справедливо равенство
H0 ( j T) 1 для 0 c , H0 ( j T) 0 для c 2 / 2T и
H0 ( j T) имеет период 2 / 2T.
Найдѐм импульсно-переходную характеристику предполагаемого к синтезу КИХ-фильтра на основе разложения в ряд Фурье H0 ( j T), вычислим интеграл в симметричных пределах:
|
T |
2 /T |
|
( j T)e j Tsd |
|
T |
|
|
|
/T |
|
|
|
|
( j T)e j Tsd |
||||||
h(s) |
|
H |
0 |
|
|
|
|
|
|
H |
0 |
||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/T |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T |
|
c |
j |
Tsd |
|
T |
|
|
|
e j |
Ts |
|
|
|
c |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
( jTs) |
|
|
|
c |
||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
T(e j |
cTs |
e j cs ) |
|
|
sin( |
Ts) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
2 |
( |
jTs) |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение для ПФ физически реализуемого КИХфильтра для z-переменных, пусть k – чѐтное число:
|
|
|
|
|
|
k/2 |
|
|
|
||
|
H(z) |
z k/2 |
h(0) |
|
h(s)(zs |
z s ) |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
s |
1 |
|
|
|
|
где |
a h(0) |
cT |
, a |
s |
2h(s) |
|
2sin( |
cTs) |
, |
s 1,..., k 2. |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПФ синтезированного КИХ-фильтра имеет вид |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
k/2 |
|
|
|
|
|
|
|
H( j T) e j Tk/2 |
a (e j Ts |
e j Ts ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e j |
Tk /2 |
a cos( Ts). |
(6.5.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
217 |
|
|
|
|
|
КИХ-фильтр (6.5.13) синтезирован |
с прямоугольным окном |
||||||||||
w0 (s) 1 при 0 s k, |
w0 (s) |
0 |
при s |
0, s |
|
k . На рис. 6.5.1а, |
|||||
6.5.1б изображены АЧХ |
|
H( j |
T) |
|
и L |
|
H( j |
T) |
|
синтезированного |
|
|
|
|
|
||||||||
КИХ-фильтра (6.5.13) для k |
100, |
c |
8, |
T |
|
0,2 в линейном и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
логарифмическом масштабе. Видно, что в окрестности частоты среза с функция АЧХ имеет значительные пульсации в полосе пропускания и задерживания.
Рис. 6.5.1а. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с прямоугольным окном в линейном масштабе
Рис. 6.5.1б. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с прямоугольным окном в логарифмическом масштабе
Этот же пример рассмотрим, когда для синтеза КИХ-фильтра используется окно Хэннинга. Для этого последовательность коэф-
218
фициентов as |
умножается на функцию wH (s), которая описывает- |
||
ся весовой функцией |
|
|
|
w (s) 0,5 |
0,5сos |
2 |
s при 0 s k, w (s) 0 при s 0, s k. |
|
|||
H |
|
k |
H |
|
|
|
Модифицированная ПФ для синтезированного фильтра представляется формулой
k/2 |
|
|
H( j T) e j Tk/2 |
a w (s)cos( Ts). |
(6.5.14) |
|
s H |
|
s |
0 |
|
На рис. 6.5.2а, 6.5.2б изображены АЧХ H( j T) синтезированного
КИХ-фильтра с окном Хэннинга в линейном и логарифмическом масштабе. Видно, что благодаря применению окна существенно снижаются пульсации в полосе пропускания и уровень пульсаций в полосе задержания снижается почти до 50 Дб.
Рис. 6.5.2а. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Хэннинга в линейном масштабе
Рис. 6.5.2б. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Хэннинга в логарифмическом масштабе
219
Рис. 6.5.3а. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Блэкмана в линейном масштабе
Рис. 6.5.3б. АЧХ синтезированного КИХ-фильтра с окном Блэкмана в логарифмическом масштабе
Рассмотрим пример синтеза КИХ-фильтра с использованием окна Блэкманна
w (s) 0,42 0,5сos 2 |
s |
0,08cos |
4 |
s |
при 0 s k, |
|
|
||||||
B |
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
wH (s) 0 |
|
при s 0, |
s |
k. |
ПФ для синтезированного КИХ-фильтра с wB (s) представляется формулой
k/2 |
|
|
H( j T) e j Tk/2 |
a w (s)cos( Ts) . |
(6.5.15) |
|
s B |
|
s |
0 |
|
220