matan_part_1 / вопросы по матану

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

это-лекции за 1 семестр (1 часть)

лекции-шпаргалки за 3 и 2 семестр по матанализу , а также лекции-шпаргалки по дифференциальным уравнениям, аналитической геометрии, линейной алгебре и тд вы можете найти на

http://cribsbox.narod.ru/

1. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. 

2. Предел числовой последовательности, свойства сходящихся последовательностей, допустимость предельного перехода в неравенство

3. Подпоследовательности числовых последовательностей. Предельные точки, частичный предел, теорема Больцано-Вейерштрасса, строго возрастающая (строго убывающая последовательность). 

4. Монотонные последовательности , их сходимость. Число , его определение. 

5. Критерий сходимости числовой последовательности, критерий Больцано-Коши, необходимость, достаточность.      

 ПРЕДЕЛЫ

6. Правые и левые пределы, их связь с пределом функции.  Предел функции в точке. Предел функции на языке последовательностей. 

7. Предел монотонной функции .Критерий Больцмана-Коши существования предела функции. Свойства функций, имеющих предел.

8.Бесконечно малые и бесконечно большие величины,  больший порядок малости, сравнение величин.      

 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ.

9.Непрерывность функции в точке, непрерывность функции на языке последовательностей, односторонняя непрерывность функций.. Классификация точек разрыва функции. Конечный скачок, бесконечный скачок, точка существенного разрыва.  Точки разрыва первого, второго рода.

10. Разрывы монотонной функции. Существование и непрерывность обратной функции. Непрерывность монотонной функции. Непрерывность сложной функции. 

11.Теоремы Коши о непрерывных функциях. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях. Замечания. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора. Следствия. 

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

12. Производная функции, основные формулы. Производная сложной и обратной функций. Производная функции, заданной параметрически. 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

13. Дифференциал функции, его смысл. Связь между дифференцируемостью функции и существованием производной.. Инвариантность формы 1-го дифференциала. 

14. Производные и дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности форм высших дифференциалов. Теоремы Ферма и Роля о дифференцируемых функциях.

15. Теоремы Ферма и Роля о дифференцируемых функциях. Формула Лагранжа (теорема Лагранжа)(формула конечных приращений). Теорема Коши(формула Коши). 

16.Формула Тэйлора (локальная формула Тейлора). Теорема Тейлора. Форма Шлеминг-Роша, форма Лагранжа, форма Пеано, форма Коши. Остаточный член в форме Лагранжа.

17. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Локальные экстремумы, подозрительные точки локального экстремума, точка строго локального максимума, точка нестрого локального максимума, достаточное условие локального экстремума. Наиболее обшее и наиболее узкое условие.

18. Направление выпуклости функции(выпуклость, вогнутость).  Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба.

19.Исследование функций. Условие постоянства дифференцируемой функции. Условие монотонности функции в широком смысле. Условие строгой монотонности. Асимптоты  функции (вертикальная и наклонная асимптоты). Необходимость и достаточность.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

20.Неопределенный интеграл. Понятие. Основные свойства неопределенного интеграла. Простейшие неопределенные интегралы(табличные интегралы). Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Обобщенная формула интегрирования по частям.

МНОГОЧЛЕНЫ.

21.Многочлены.Корень многочлена, деление многочленов. Основная теорема алгебры. Интегрирование рациональных функций. Простейшие дроби и их интегрирование.

22.Исследование некоторых простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера. Вычисление интегралов вида  R (sin x, cos x).

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СУММЫ ДАРБУ.

23.Определенный интеграл, определение, интегральная сумма, пределы интегрирования. Необходимое условие интегрируемости функции.

24.Суммы Дарбу. Верхняя, нижняя суммы Дарбу. Свойства Сумм Дарбу. Верхний и нижний интеграл Дарбу. Колебания функций на отрезке. Критериальная сумма.

25.Свойства определенного интеграла. Интегрируемость суммы, разности, модуля, частного функций.

26.Свойства определенного интеграла (продолжение). Свойства интегралов, выраженных неравенствами. Теорема о среднем значении определенного интеграла. Формула среднего значения определенного интеграла на отрезке. Обобщенная формула среднего значения.

27.Определенный интеграл с переменным верхним и нижним пределом интегрирования.Основная формула интегрального исчисления. Классы интегрируемых функций (непрерывна, кусочно-непрерывна, монотонна и ограничена).

28.Методы вычисления определенного интеграла.Формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям в определенном интеграле, обобщенная формула интегрирования по частям в определенном интеграле, замена переменных в определенном интеграле.

29.Линия. Простая линия. Определение (вычисление) длины линии с помощью определенного интеграла.

30.Объем тел вращения, площадь поверхности тел вращения и их вычмсление с помощью определенного интеграла. Дифференциал дуги.