Математика в виде шпор 1-18 / 11
.docx
11. Поиск экстремума функции одной переменной. Точка х0 называется точкой минимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство ¦( х) ³ ¦( х0). Точка х1 называется точкой максимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство ¦( х) £ ¦( х1). Значение функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции. Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ¦( х) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (¦¢( х0) = 0) или не существовала. Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции. Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у =¦( х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума. Схема исследования функции на экстремум 1.Найти производную у¢ = ¦¢( х). 2.Найти стационарные точки функции, в которых производная ¦¢( х) = 0 или не существует. 3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции. 4.Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
|