Математика в виде шпор 1-18 / 3

3.Основные теоремы о пределах. Асимптоты графика функции

• Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела. Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа

функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

• Теорема 3. Предел произведения конечного числа

• функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

• Следствие.1. Постоянный множитель можно

• выносить за знак предела, т.е.

• Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.

• Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций,

• при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.

Замечательные пределы

Асимптоты графика функции

• Асимптотой графика функции у =( х) называется прямая, обладающая следующим свойством, что расстояние от переменной точки на графике до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

• Теорема 1. Пусть функция у = ( х) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х х₀ – 0 (слева) или при х х₀ + 0 (справа) – равен бесконечности, тогда прямая при х = х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у = ( х).

• Замечание. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции у = ( х) или на концах ее области определения (а, b) если а и b - конечные числа.

• Теорема 2. Пусть функция у = (х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции при х   и он равен числу b. Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции у = ( х).

• Замечание. Если конечен лишь один из пределов слева или справа, то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

• Теорема 3. Пусть функция у = ( х) определена при достаточно больших х и существует конечные пределы

• Тогда прямая у = kx + b является наклонной асимптотой.