Математика в виде шпор 1-18 / 14

14. Определенный интеграл, основные теоремы.

К понятию определенного интеграла можно прийти при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции АВСD

На каждом отрезке [x_i-1,x_i] выберем некоторую точку ξ_i и обозначим ∆x_i=x_i -x_i-1.

Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции

y=f(x) на отрезке [a,b].

Определенным интегралом называется предел n-ой интегральной суммы при

Геометрический смысл определенного интеграла: это площадь криволинейной трапеции, ограниченной слева прямой х=а, справа прямой x=b, сверху кривой y=f(x),снизу осью Ох.

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

• 6. если то

• Теорема о среднем. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда найдется такая точка , что

• Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема также на произвольном отрезке [a,х], вложенном в [a,b]. Положим

• где х принадлежит отрезку [a,b].

• Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

• Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на интервале [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом интервале, т. е.

(1)

• Формула (1) – формула Ньютона-Лейбница. Она утверждает, что определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

• Для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную подынтегральной функции (неопределенный интеграл) и из значения первообразной при верхнем приделе вычесть значение первообразной при нижнем пределе интегрирования.