Элементы комбинаторики: Соединения
Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов |
a1, |
a2, a3…an. Из различных элементов множества А можно образовывать
группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m
в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.
Перестановки
Соединения, в каждое из которых входят все n элементов множества А и которые, следовательно, отличаются друг от друга только порядком
элементов называются перестановками из n элементов. Число таких перестановок обозначается символом Рn.
Tеорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно Рn = n (n − 1) (n − 2) (n − 3)…3 ∙ 2 ∙ 1 = 1 ∙ 2 ∙ 3…(n − 1) n = n!
Размещения
Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m
< n) взятых из n элементов множества A , отличающихся друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями
из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом Anm .
Tеорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:
Anm n(n 1)(n 2)... n m 1) .
Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:
Am |
n! |
|
(n m)! |
||
n |
Сочетания
Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n) взятых из n элементов множества А, отличающихся друг от друга
по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний
обозначается символом Cnm .
Теорема 3. Число |
всех сочетаний из n элементов по m определяется |
||
формулой: |
|
m |
|
Cm |
An |
n(n 1)(n 2)... n (m 1) |
|
|
|||
|
n |
pm |
1 2 3...m |
|
|
Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:
Cnm m!(. nn! m)!
Основные понятия
В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.
Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие
является основным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.
Виды событий:
достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.
невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.
случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти.
Виды событий
Случайные события A1,A2,…,An образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно должно появиться хотя бы одно из них .
Случайные события A1,A2,…,An называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Случайные события A1,A2,…,An называются единственно возможными, если в результате испытаний происходит какое-либо
одно и только одно из этих событий.
Равновозможные события - несколько событий в данном опыте, ни одно из которых не является объективно более возможным, чем другое.
Определение
Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместимыми и единственно возможными. Эти события называются исходами испытания или элементарными
событиями.
Совокупность всех исходов испытания называется пространством
элементарных событий.
Операции над событиями
Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произошло событие А + В. Так вводится понятие суммы событий.
Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий.
Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие .A
Так вводится понятие противоположного события.
Классическое определения вероятности
Классическое определение вероятности основано на понятии
равновозможности событий.
Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.
Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется
благоприятным событию A.
Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают k), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= k/ N.
Классическое определения вероятности
Из классического определения вероятности вытекают следующие ее
свойства:
Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.
0P( A) 1
Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю