Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
21
Добавлен:
20.03.2016
Размер:
457.73 Кб
Скачать

Элементы комбинаторики: Соединения

Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов

a1,

a2, a3an. Из различных элементов множества А можно образовывать

группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m

в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

Перестановки

Соединения, в каждое из которых входят все n элементов множества А и которые, следовательно, отличаются друг от друга только порядком

элементов называются перестановками из n элементов. Число таких перестановок обозначается символом Рn.

Tеорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно Рn = n (n − 1) (n − 2) (n − 3)…3 ∙ 2 ∙ 1 = 1 ∙ 2 ∙ 3…(n − 1) n = n!

Размещения

Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m

< n) взятых из n элементов множества A , отличающихся друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями

из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом Anm .

Tеорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:

Anm n(n 1)(n 2)... n m 1) .

Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

Am

n!

(n m)!

n

Сочетания

Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n) взятых из n элементов множества А, отличающихся друг от друга

по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний

обозначается символом Cnm .

Теорема 3. Число

всех сочетаний из n элементов по m определяется

формулой:

 

m

 

Cm

An

n(n 1)(n 2)... n (m 1)

 

 

n

pm

1 2 3...m

 

 

Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

Cnm m!(. nn! m)!

Основные понятия

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие

является основным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

Виды событий:

достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти.

Виды событий

Случайные события A1,A2,…,An образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно должно появиться хотя бы одно из них .

Случайные события A1,A2,…,An называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Случайные события A1,A2,…,An называются единственно возможными, если в результате испытаний происходит какое-либо

одно и только одно из этих событий.

Равновозможные события - несколько событий в данном опыте, ни одно из которых не является объективно более возможным, чем другое.

Определение

Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместимыми и единственно возможными. Эти события называются исходами испытания или элементарными

событиями.

Совокупность всех исходов испытания называется пространством

элементарных событий.

Операции над событиями

Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произошло событие А + В. Так вводится понятие суммы событий.

Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий.

Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие .A

Так вводится понятие противоположного события.

Классическое определения вероятности

Классическое определение вероятности основано на понятии

равновозможности событий.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется

благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают k), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= k/ N.

Классическое определения вероятности

Из классического определения вероятности вытекают следующие ее

свойства:

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

0P( A) 1

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю

Соседние файлы в папке Математика_лекции