Общая схема исследования функций и построения их графиков

Найти область определения функции.

Исследовать функцию на четность-нечетность.

Найти вертикальные асимптоты.

Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Построить график функции.

Первообразная функции и

неопределенный интеграл

Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F (х) = f (х).

Например, F(х) = х2/2 является первообразной для функции f (х) = х, так как (х2/2) = х.

Теорема. Если функция F(х) является первообразной функции f(х) на промежутке Х, то всякая другая первообразная для функции f(х) отличается от F(х) на постоянное слагаемое, т.е. может быть представлена в виде:

F(х) + С, где С – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (х) и

обозначается f (х) dx , где - знак интеграла, f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx – подынтегральное выражение.

Свойства неопределенного интеграла

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. ( f (х) dx) = f (х).

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d ( f (х) dx) = f (х) dх.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

dF(x) =F(x) + C.

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е. [f (х) + g (x)] dx = f (х) dx + g (х) dx.

Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. f (х) dx = f (х) dx.

Таблица основных интегралов.

xndx xn 1 C, n 1. n 1

dxx ln x C,

axdx ax C, a 0,a 1, ln a

exdx ex C,

sin xdx cos x C,

cos xdx sin x C,

dx

arcsin

x

C

a

a2 x2

dx

1

x

C, a 0,

a2 x2

a arctg

a

dx

1

ln

x a

C, a 0,

x2 a2

2a

x a

dx

ln

C, a 0.

x

x2 a

x2 a

Интегрирование методом разложения.

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью таблицы или других методов.

Например (х3 + 3sinx – 8) dx = х3 dx + 3 sinx dx – 8 dx =< используя формулы из таблицы>= х4/4 3 cos x – 8 х + С.

Интегрирование методом замены переменных.

Интегрирование этим методом заключается в приведении данного интеграла к новому путем замены переменной интегрирования х на новую переменную z. Пусть х = g(z), тогда dx = g ( z)dz. Поэтому

f(х) dx = f [g(z)] g ( z)dz = Ф (z) +С = Ф [g-1(х)] + С.

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – две функции от х, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула:

udv = uv - vdu.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям и

позволяет свести данный интеграл к более простому

Пример

	u x,	dv e 2xdx.				1	xe 2x	1	e 2 x C.
xe 2 xdx
			2x			2		4
	du dx, v e			dx.

Интегрирование рациональной дроби

Задача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

	B	,	B	,	Mx N	,	Mx N	.
	x b		( x b)		( x2 px q)		( x2 px q)

Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x2+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q- p2/4>0.

При этом справедлива следующая теорема:

Теорема. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

Действительно, если произвести подстановку t=x-b, то дроби первого и второго типа будут интегрируемы в элементарных функциях т. е.

B

dx B dt

B ln | t | C B ln | x b | C,

x b

t

B

dt

B 1

B

1

( x b)

dx B t

C

C.

( 1) t 1

( 1) ( x b) 1

Квадратные трехчлены третьей и четвертой дробей можно представить

в виде (x2+px+q)=(x+p/2)2+(q-p2/4) и, учитывая, что (q-p2/4)>0, ввести вещественную постоянную и сделать подстановку t=x+p/2, тогда задача интегрирования может быть решена с использованием известных формул интегрирования.