для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер N (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство:

аn – А

Предел числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число аn, то говорят, что задана

числовая последовательность { аn }: a1 , a2 , a3 , ..., an , ... .

Число А называется пределом числовой последовательности {аn}, если

Это неравенство равносильно таким двум неравенствам:

А - аn А + .

Предел числовой последовательности обозначается:

lim an A.

n

Последовательность, имеющая предел, называется	сходящейся, в
противном случае - расходящейся.

Предел функции в точке

Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящимся к х0, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число ( зависящее от ), что для всех х , не равных х0 и удовлетворяющих условию

	х- х0 ,
верно неравенство:
	f(x)– А

Этот предел функции обозначается:

lim f (x) A. x x0

Предел функции в бесконечности

Число А называется пределом функции у = f (х) при х, стремящемся к

бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число S

(зависящее от ), что для всех х таких, что х S, верно

неравенство: f(x)–А

Этот предел функции обозначается:	lim f (x) A.
	x

Бесконечно малые величины

Функция (х) называется бесконечно малой величиной при х х0 или при х

, если ее предел равен нулю: lim (x) 0. x x0( )

Свойства бесконечно малых величин:

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе и на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Бесконечно большие величины

Функция f (x) называется бесконечно большой величиной при х х0, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М, найдется такое положительное число (зависящее от М), что для всех

х, не равных х0 и удовлетворяющих условию х- х0 , будет верно неравенство (х) М.

Свойства бесконечно больших величин.

Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

Частное от деления бесконечно большой величины на функцию имеющую предел в точке х0, есть величина бесконечно большая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

Теорема. Если функция (х) является бесконечно малой величиной

при х х0 или при х , то функция f (x)=1/ (х) есть величина бесконечно большая при х х0 или при х . И обратно, если функция f (x) есть величина бесконечно большая при х х0 или при х, то функция (х) = 1/f(x) является бесконечно малой величиной при хх0 или при х .

Связь бесконечно малых величин с пределами функций

Теорема 1. Если функция f (x) имеет предел при х х0 или при х равный А, то её можно представить как сумму этого числа А и бесконечно малой (х) при х х0 или при х .

Теорема 2 (обратная). Если функцию f (x) можно представить как

сумму числа и бесконечно малой (х) при х х0 или при х , то число А есть предел этой функции при х х0 или при х .

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела.

	Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций
	равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
	lim [ f (x) g(x)]	lim	f (x) lim g(x).
	x x0 ( )	x x0 ( )	x x0 ( )

Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен

		произведению пределов этих функций, т.е.	lim	f (x) lim g(x).
		lim [ f (x)g(x)]
		x x0 ( )	x x0 ( )	x x0 ( )

Следствие.1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела,

т.е.	lim [Cf (x)] C	lim f (x).
	x x0 ( )	x x0 ( )

Основные теоремы о пределах

Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.

lim [ f (x)]n [	lim f (x)]n.
x x0 ( )	x x0 ( )

Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.

			lim	f (x)
	f (x)
lim			x x0 ( )		.
			lim	g(x)
x x ( ) g(x)
0			x x0 ( )