Понятие определенного интеграла

К понятию определенного интеграла можно прийти при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции АВСD

На каждом отрезке [xi-1,xi] выберем некоторую точку ξi и обозначим ∆xi=xi -xi-1.

Сумму вида	n	будем называть интегральной суммой для
	f ( i ) xi
функции	i 1

y=f(x) на отрезке [a,b].

Определенным интегралом называется предел n-ой интегральной

суммы при		max xi 0.
b	lim	n
f (x)dx		f ( i ) xi
a	max xi 0	i 1

Геометрический смысл определенного интеграла: это площадь

криволинейной трапеции, ограниченной слева прямой х=а, справа прямой x=b, сверху кривой y=f(x),снизу осью Ох.

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла

b		b
1. kf ( x)dx k f ( x)dx;
a		a
b	2	b	1		b
1				2		( x)dx;
2. [ f	( x) f	( x)]dx f		( x)dx	f
a		a			a
a

3. f ( x)dx 0;

a

b

c

b

4. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx;

a	a	c
b		a

5. f ( x)dx f ( x)dx;

a

b

					b
6. если	m f ( x) M ,		то m(b a) f ( x)dx M (b a);
					a
Теорема о среднем. Пусть			функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда
найдется такая точка		c [a, b]		, что	b
					f ( x)dx f (c)(b a).

a

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема также на произвольном отрезке [a,х], вложенном в [a,b]. Положим

х x

Ф( х) f ( x)dx f (t)dt

а a

где х принадлежит отрезку [a,b].

Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на интервале [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом

интервале, т. е.	b
	f ( x)dx F(b) F(a)	(1)

a

Формула (1) – формула Ньютона-Лейбница. Она утверждает, что определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную подынтегральной функции (неопределенный интеграл) и из значения первообразной при верхнем приделе вычесть значение первообразной при нижнем пределе интегрирования

Замена переменной и формула

интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема1. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на

отрезке [α,β], а= φ(α), b= φ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х= φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо равенство

b
f ( x)dx f ( (t)) dt
a

Это формула замены переменной в определенном интеграле.

Теорема 2. Пусть функции u=u(x) и =v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда

	b			b
	udv uv		ba	vdu	где uv		ba u(b)v(b) u(a)v(a)
	a			a

Это формула интегрирования по частям для определенного интеграла.