Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика_лекции / Lektsia_6_Matematika.ppt
Скачиваний:
4
Добавлен:
20.03.2016
Размер:
451.58 Кб
Скачать

Понятие определенного интеграла

К понятию определенного интеграла можно прийти при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции АВСD

На каждом отрезке [xi-1,xi] выберем некоторую точку ξi и обозначим ∆xi=xi -xi-1.

Сумму вида

n

будем называть интегральной суммой для

f ( i ) xi

функции

i 1

 

 

 

y=f(x) на отрезке [a,b].

Определенным интегралом называется предел n-ой интегральной

суммы при

 

max xi 0.

 

 

b

lim

n

f (x)dx

f ( i ) xi

a

max xi 0

i 1

Геометрический смысл определенного интеграла: это площадь

криволинейной трапеции, ограниченной слева прямой х=а, справа прямой x=b, сверху кривой y=f(x),снизу осью Ох.

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла

b

 

b

 

 

 

 

1. kf ( x)dx k f ( x)dx;

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

b

2

b

1

 

b

 

1

 

2

( x)dx;

2. [ f

( x) f

( x)]dx f

( x)dx

f

a

 

a

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

3. f ( x)dx 0;

a

b

c

b

4. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx;

a

a

c

b

 

a

5. f ( x)dx f ( x)dx;

a

b

 

 

 

 

 

b

6. если

m f ( x) M ,

 

то m(b a) f ( x)dx M (b a);

 

 

 

 

 

a

Теорема о среднем. Пусть

функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда

найдется такая точка

c [a, b]

, что

b

 

 

f ( x)dx f (c)(b a).

a

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема также на произвольном отрезке [a,х], вложенном в [a,b]. Положим

х x

Ф( х) f ( x)dx f (t)dt

а a

где х принадлежит отрезку [a,b].

Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на интервале [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом

интервале, т. е.

b

 

 

f ( x)dx F(b) F(a)

(1)

a

Формула (1) – формула Ньютона-Лейбница. Она утверждает, что определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную подынтегральной функции (неопределенный интеграл) и из значения первообразной при верхнем приделе вычесть значение первообразной при нижнем пределе интегрирования

Замена переменной и формула

интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема1. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на

отрезке [α,β], а= φ(α), b= φ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х= φ(t), где t [α,β].

Тогда справедливо равенство

b

 

f ( x)dx f ( (t)) dt

a

 

Это формула замены переменной в определенном интеграле.

Теорема 2. Пусть функции u=u(x) и =v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда

 

b

b

 

 

 

 

udv uv

 

ba

vdu

где uv

 

ba u(b)v(b) u(a)v(a)

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

Это формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Соседние файлы в папке Математика_лекции

Калькулятор

Сервис бесплатной оценки стоимости работы

  1. Заполните заявку. Специалисты рассчитают стоимость вашей работы
  2. Расчет стоимости придет на почту и по СМС

Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности и на обработку персональных данных.

Номер вашей заявки

Прямо сейчас на почту придет автоматическое письмо-подтверждение с информацией о заявке.

Оформить еще одну заявку