Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика_лекции / Lektsia_9_Matematika.ppt
Скачиваний:
16
Добавлен:
20.03.2016
Размер:
479.23 Кб
Скачать

Обратная матрица

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1А = А А-1 = Е.

Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица

называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0 ) – вырожденной, или особенной .

Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы.

Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Находим определитель исходной матрицы.

2.Если │А│=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А-1 не существует.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует.

3.Находим АT, транспонированную к А.

4.Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной~ матрицы и составляем из них присоединенную матрицу A .

5. Вычисляем обратную матрицу по формуле:

A 1

 

 

1

~

 

 

 

 

 

 

A

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения А-1А = А А-1 = Е.

Пример.

Ранг матрицы

В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A).

Из определения следует:

1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n).

2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.

3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров

достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются

элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Пример

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду:

a

a

... a

... a

 

11

12

 

1r

 

1k

 

0

a22 ... a2r ... a2k

A

 

 

 

 

 

 

...............................

 

0

0

... a

rr

... a

rk

 

 

 

 

 

, где a 0, i 1..r; r k.

ii

Ранг ступенчатой матрицы равен r ,

так как имеется минор r-го порядка неравный нулю │А│= а11а22 ∙…∙аrr.

Соседние файлы в папке Математика_лекции