- •Обратная матрица
- •Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •5. Вычисляем обратную матрицу по формуле:
- •Ранг матрицы
- •В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров
- •С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду:
Обратная матрица
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1∙А = А ∙А-1 = Е.
Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица
называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0 ) – вырожденной, или особенной .
Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы.
Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
1. Находим определитель исходной матрицы.
2.Если │А│=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А-1 не существует.
Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует.
3.Находим АT, транспонированную к А.
4.Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной~ матрицы и составляем из них присоединенную матрицу A .
5. Вычисляем обратную матрицу по формуле:
A 1 |
|
|
1 |
~ |
|||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения А-1∙А = А ∙А-1 = Е.
Пример.
Ранг матрицы
В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A).
Из определения следует:
1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n).
2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.
3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.
В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров
достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются
элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:
1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5) Транспонирование матрицы.
Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
Пример
С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду:
a |
a |
... a |
... a |
|||
|
11 |
12 |
|
1r |
|
1k |
|
0 |
a22 ... a2r ... a2k |
||||
A |
|
|
|
|
|
|
............................... |
||||||
|
0 |
0 |
... a |
rr |
... a |
rk |
|
|
|
|
|
, где a 0, i 1..r; r k.
ii
Ранг ступенчатой матрицы равен r ,
так как имеется минор r-го порядка неравный нулю │А│= а11∙а22 ∙…∙аrr.