Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

Аналогично корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для двух случайных величин :

(11.50)

В случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной функции случайные функции х (t) и у (t) называют некоррелированными.

Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, то носят название коррелированных случайных функций.

В случае стационарности процесса корреляционные функции и не будут зависеть от текущего значения времени t и будут определяться только временным сдвигом

.

С учетом эргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведения или :

Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины ж в последующий момент времени от предшествующего значения в момент t.

Приведем основные свойства корреляционной функции стационарного-процесса применительно к величине .

1.Корреляционная функция является четной функцией, т. е. . Это вытекает из самого определения корреляционной функции.

2.При корреляционная функция дает средний квадрат случайной: величины:

.

3. При корреляционная функция дает квадрат среднего значения; случайной величины. Докажем это. На основании эргодической гипотезы

При	величины x1 и x2 можно считать независимыми. Отсюда,, принимая во
внимание формулу (11.39) для независимых случайных величин, получим
4. Значение корреляционной функции при		является ее наибольшим значением, т. е.

имеет место неравенство . Докажем это. Рассмотрим очевидное неравенство

Сделаем преобразование

.

Возьмем теперь среднее по времени от правой и левой частей. В результате-получим:

откуда и вытекает следующее неравенство: К (0)

5. Значение корреляционной функции чаще всего будет тем меньше, чем больше промежутки времени , так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями х будет обычно слабее.

6. Чем менее инерционен (более подвижен) объект наблюдения, тем быстрее убывает R() с увеличением . Например, у самолета, как подвижной цели, связь между последующими и

предыдущими положениями (при заданном ) будет тем меньше, чем он легче и маневреннее. Отсюда следует, что, чем быстрее убывает корреляционная функция, тем более высокие частоты будут присутствовать в случайном процессе.

На рис. 11.14 в качестве примера приведены две корреляционные функции и две соответствующие им реализации процесса при одинаковых среднеквадратичных значениях случайной величины. Второй процесс по сравнению с первым имеет более тонкую структуру, т. е. в нем присутствуют более высокие частоты.

Таким образом, при известной корреляционной функции легко определяются следующие вероятностные характеристики:

а) среднее значение (момент первого порядка)

б) среднеквадратичное значение (момент второго порядка)

в) дисперсия

г) среднеквадратичное отклонение

Корреляционную функцию можно найти на основании экспериментально «снятой кривой случайного процесса при наличии достаточно длительной записи (рис. 11.15). Обработка имеющейся осциллограммы производится следующим образом. Весь интервал записи осциллограммы Т делится на N равных частей, длительность которых составляет

Затем для различных значений находятся средние значения произведений ординат:

По этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервала m или времени .

Корреляционную функцию можно найти по результатам эксперимента также при помощи специальных приборов — корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга на расстояние .

Если найденная корреляционная функция R() содержит постоянную составляющую

, то, выделив ее, можно перейти к корреляционной функции в соответствии с

(11.48), т. е. .

Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную функцию

которая удобна тем, что всегда .

Корреляционная функция для неслучайных (регулярных) функций времени

тождественно равна нулю. Однако корреляционная функция может вычисляться и для неслучайных функций времени. Рассмотрим несколько примеров.

1.Для постоянной величины (например, для постоянного тока) корреляционная функция

2.Для гармонической функции

Появление в корреляционной функции члена вида указывает на наличие в случайном процессе скрытой периодичности, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.

3. Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье:

имеет на основании изложенного выше корреляционную функцию вида

Типичная корреляционная функция для стационарных случайных процессов при , и при отсутствии скрытых периодичностей имеет вид

Иногда встречается корреляционная функция вида

Эти выражения часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных.

Для стационарных случайных процессов используется также понятие взаимной корреляционной функции, вводимой при рассмотрении каких-либо двух процессов :

(11.53)

Для взаимной корреляционной функции существует следующее соотношение:

.

Кроме того, можно показать, что

Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную связь двух случайных процессов между собой в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток

времени . Значение характеризует эту связь в один и тот же момент времени. Примером

таких двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две координаты пространственного положения подвижной цели.

Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех справедливо равенство . В связи с этим говорят, что процессы корре-лированы или не коррелированы. Это означает наличие или отсутствие между ними статистической связи.

Аналогично предыдущему можно также ввести понятие нормированной взаимной корреляционной функции.

§ 11.5. Спектральная плотность стационарных процессов

Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье. В главе 7 были приведены формулы (7.15) и (7.16), дающие переход от функции времени к изображению Фурье и обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времени х (t), то для нее эти формулы могут быть записаны в виде

(11.55)

Возьмем квадрат модуля изображения Фурье и проинтегрируем по всем частотам от с делением результата на :

(11.56)

В последнем выражении квадрат модуля заменен произведением сопряженных комплексов

. Изображение Фурье заменим выражением (11.54):

В последней формуле изменим порядок интегрирования:

(11.57)

Величина, находящаяся в квадратных скобках (11.57), как нетрудно видеть, является исходной функцией времени (11.55). Поэтому в результате получается так называемая формула Релея, которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье:

Правая часть (11.58) и (11.59) представляет собой величину, пропорциональную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассматривается ток, протекающий по некоторому сопротивлению R, то энергия, .выделившаяся в этом сопротивлении за время t, будет

Из (11.58) и (11.59) вытекает, что для нахождения энергии рассматриваемого процесса за бесконечный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему времени от —∞ до +∞ или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем частотам от — ∞ до +∞. Формулы (11.58) и (11.59) и выражают энергетическую форму интеграла Фурье.

Однако эти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энер-тия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. .Поэтому удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (11.58) можно представить в виде

(11.60)

Правая часть (11.60) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины х(t). Вводя обозначение

(11.61)

можно переписать формулу (11.60) в виде

(11.62)

или в виде

(11.63)

Величина носит название спектральной плотности. Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование-ее по всем частотам от — ∞ до +∞ дает средний квадрат исходной функции времени х (t).

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая

пропорциональна средней мощности процесса в интервале частог от .

В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только-для положительных частот, удваивая ее при этом, что можно сделать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты. Тогда, например, формула (11.62) должна быть записана в виде

(11.64)

где — спектральная плотность для положительных частот. Однако в дальнейшем изложении будет рассматриваться спектральная: плотность, соответствующая всему диапазону частот от — ∞ до +∞, так как при этом формулы получают более симметричный характер.

Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье, т. е. они связаны интегральными зависимостями типа (11.54) и (11.55). Это свойство приводится без доказательств [108, 120].

Таким образом, могут быть записаны следующие формулы:

Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой четные вещественные функции, то иногда формулы (11.65) и (11.66) представляют в более простом виде:

Это вытекает из того, что имеют место равенства:

и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (11.65) и (11.66) так как слева стоят вещественные функции.

Связь между спектральной плотностью S (ω) и видом функции времени х (t) заключается в том, что чем «уже» график спектральной плотности (рис. 11.16, а), т. е. чем меньшие частоты представлены в спектральной плотности, тем медленнее изменяется величина х во времени. Наоборот, чем «шире» график спектральной плотности (рис. 11.16, б), т. е. чем большие частоты представлены в спектральной плотности, тем тоньше структура функции х (t) и тем быстрее происходят изменения х во времени.

Как видно из этого рассмотрения, связь между видом спектральной: плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционной функцией и самим процессом (рис. 11.14). Отсюда вытекает, что более «широкому» графику спектральной плотности должен соответствовать более «узкий» график корреляционной функции и наоборот.

Вычисление спектральной плотности неудобно делать по соотношению (11.61), так как это связано с трудностью предельного перехода. Обычно спектральная плотность вычисляется по известной корреляционной функции

при помощи формул (11.65) или (11.67). Эти формулы соответствуют так называемому двустороннему преобразованию Фурье четной функции времени .

В табл. 11.3. даны некоторые функции и их изображения Фурье в соответствии с

(11.65) и (11.67). В таблице используются импульсные функции . Эти функции, в отличие от импульсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четными. Это означает,

что функция расположена симметрично относительно начала координат и может быть определена следующим образом:

Аналогичное определение относится к функции .

Иногда в рассмотрение вводят нормированную спектральную плотность, являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (11.52):

(11.69)

йсо :где спектральная плотность и, следовательно,

(11.70)

где D — дисперсия.

Аналогично введенному понятию взаимной корреляционной функции (11.53) могут рассматриваться взаимные спектральные плотности и ,

являющиеся изображениями Фурье . Взаимные спектральные плотности также

являются мерой связи между двумя случайными величинами. При отсутствии связи взаимные спектральные плотности равны нулю.

Рассмотрим некоторые примеры.
1. Для постоянной величины.	корреляционная функция равна	.

Эта функция изображена на рис. 11.17, а жирной линией. Соответствующее ей изображение Фурье на основании табл. 11.3 будет

или, в другом виде,

Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположенной в начале координат (рис. 11.17, б).

Это означает, что вся мощность рассматриваемого процесса сосредоточена на нулевой частоте, что и следовало ожидать.

2. Для гармонической функции была получена корреляционная

функция . Эта функция изображена на рис. 11.18, а. В соответствии с табл. 11.3 спектральная плотность будет

График спектральной плотности будет иметь два пика типа импульсной функции (рис. 11.18, б), расположенные симметрично относительно началакоординат, при

.

Следовательно, мощность гармонического сигнала сосредоточена на двух частотах:

.

Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим, что вся мощность гармонического сигнала будет сосредоточена на одной фиксированной частоте: .

3. Для периодической функции, разлагаемой в ряд Фурье

спектральная плотность может быть представлена в виде

Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр (рис. 11.19) с импульсными функциями, расположенными на положительных

и отрицательных частотах гармоник. На рис. 11.19 импульсные функции условно нарисованы так, что их высоты показаны пропорциональными коэффициентам при единичной

импульсной функции, т. е. величинам . Если функция времени х (t) кроме периодической части будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рис. 11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых периодичностей.

Если функция времени х (t) не содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков.

Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение при исследовании систем регулирования и следящих систем. Будем рассматривать только центрированные процессы, т. е. такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю:

. При этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии: .

Это ограничение не имеет существенного значения, так как в случае учет постоянного смещения в системе регулирования является элементарным.

1. Белый шум. Под белым шумом понимается случайный процесс, имеющий «белый» спектр, т. е. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от (рис. 11.21, а):

(11.71)

Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на этом сопротивлении

где R – сопротивление, постоянная Больцмана, Т° — абсолютная температура.

На основании (11.68) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция

(11.72)

Таким образом, корреляционная функция представляет импульсную функцию, расположенную в начале координат (рис. 11.21). Этот процесс является чисто случайным

процессом, так как из графика корреляционной функции видно, что при любом отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной величины х.

Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически нереальным, так как ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины:

, а следовательно, бесконечно большая мощность.

Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б):

— полоса частот для спектральной плотности.

Этому процессу соответствует корреляционная функция

(11.74)

Корреляционная функция также изображена на рис. , 11.21, б. Для этого процесса

(11.75)

Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корню квадратному из полосы частот:

(11.76)

Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (11.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, использовать выражение

(11.77)

где	— коэффициент,	определяющий ширину полосы частот.
График спектральной плотности, соответствующий этому выражению, построен на рис.
11.21, в. Для частот		процесс приближается к белому шуму, так как для этих частот

Интегрирование (11.77) по всем частотам дает возможность определить дисперсию:

Поэтому спектральная плотность (11.77) может быть записана в другом виде:

(11.78)

Корреляционная функция для этого процесса

(11.79)'

Корреляционная функция также изображена на рис. 11.21,

2. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала для следящей системы часто принимают график изменения угловой скорости на входе в соответствии с рис. 11.22. Скорость сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени

Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона (11.4).

В соответствии со сказанным выше будем считать, что математическое ожидание , а

среднеквадратичное значение скорости равно дисперсии, т. е. . График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении

радиолокатором за движущейся целью. Постоянное значение скорости соответствует движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.

Обозначим µ среднее число перемен скорости за одну секунду. Тогда Т будет средним значением интервала времени, в течение которого угловая скорость сохраняет постоянное значение. Применительно к радиолокатору это значение будет средним временем движения цели по прямой.

Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения

При нахождении этого произведения могут быть два случая.

1. Моменты времени относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии: