35782

Тогда уравнение движения в декартовой системе координат приобретает вид

dp		∂	2	vx			∂	2	vx
	= μ					+					.
dx		∂y			2		∂z			2

В дальнейшем у скорости индекс х опустим, и запишем полученное уравнение в цилиндрической системе координат:

d 2v

1 dv

1

d

dv

1 dp

.

(5.20,а)

dr2

+

=

r

=

r dr

μ dx

r dr

dr

Запишем два граничных условия:

dv		= 0, v				= 0.
dr		r =0			r =R
Решение уравнения (5.20,a) имеет вид:
		v = −	1 dp			(R2 − r2 ).
			4μ dx

Найдём выражение для максимальной и средней скорости:

v r =0 = vmax ,

2π ∫R vrdr

v = 0R

2π ∫rdr

0

v

max

= −

1

dp R2

, v = v

max

(1−

r2

)

4μ dx

R2

=

2∫R vrdr

R2

R

2

2 .

0

R2

=

∫(1− R2 )rdr =

2vmax

r

vmax

0

(5.20,б)

(5.21)

(5.22)

(5.23,а)

Представим скорость v в разных формах:

	v = −		1 dp				(R2 − r2 ),
			4μ dx						(5.24,а)
	v = v			(1−			r2	),
		max
						R2

и найдем из них значение градиента давления dp / dx :

dp	= −	4μvmax	= −	8μ	v		.	(5.24,б)
dx
		R2		R2

Если градиент постоянный, то на длине L перепад составит p и dp / dx = p / L , что позволяет уравнение (5.24) представить в виде

− p =	8μ	v	L	.	(5.25)
	R2

Это уравнение известно как уравнение Гагена-Пуайзеля.

51

5.5. Течение Куэтта

Пусть одна из пластин неподвижна, а вторая движется со скоростью v; жидкость между двумя пластинами при этом приходит в движение (рис. 5.4, а).

Рис.5.4. Течение Куэтта

Определим профиль распределения скорости жидкости; такое течение носит название течения Куэтта. Движение такой жидкости описывается уравнением (5.12):

	1 dp		= d 2v	(5.26)
	μ dx
			dy2

С граничными условиями

v y =0 = 0, v y =h =U .

Интегрирование этих уравнений дает значения скорости:

v =	y	U −	h2 dp y				−	y
						1			.
	h
			2μ dx h					h

(5.27)

(5.28)

Распределение скоростей, даваемое решением (5.28) для различных значений перепада давления, изображены на рис. 5.5б

В частности, для нулевого перепада давления получается линейное распределение скоростей

v = ( y / h)U

Течение с таким распределением скоростей часто называют простым течением Куэтта или течением чистого сдвига. При наличии перепада давлений происходит наложение простого течения Куэтта и течения в канале. Форма кривой распределения скоростей при течении Куэтта определяется безразмерным градиентом давления

	h2			dp
P =			−	.
	2μU			dx

При падении давления в направлении движения верхней стенки (p>0), скорость положительна по всей ширине канала. При p<0 в некоторой части поперечного сечения возможны отрицательные скорости, т.е. возвратное течение.

52

5.6. Неизотермическое течение жидкости в круглой трубе при постоянной плотности теплового потока на стенке

Поле температур жидкости трубе будет описываться уравнением (5.4), которое при допущении (∂t / ∂τ = 0) для несжимаемой жидкости (div v = 0) в цилиндрической системе координат

2 =

∂2

+

1

∂

+

∂2

∂x2

r ∂r

∂r 2

примет вид

∂t

∂t

2

t

1 ∂t

2

t

v

x

+ v

r

= a

∂

+

+

∂

(5.29,а)

2

2

∂x

∂r

∂x

r ∂r ∂r

Рассмотрим течение жидкости на стабилизированном участке трубы, где составляющая скорости vr = 0 . Произведём оценку количества теплоты dQT , переносимого на расстояние dx теплопроводностью и конвекцией dQК. Известно, что

dQT =	∂		λ	∂t		, dQK =	∂	(ρcvxt),
							∂x
	∂x			∂x

и конвективный перенос dQК намного больше кондуктивного dQT , т.е.

∂		λ	∂t		<<	∂	(ρCvxt)	(5.29,б)
						∂x
∂x			∂x

преобразование последнего неравенства приводит к

a ∂2t << vx ∂t ∂x2 ∂x

Учитывая это неравенство, и указанное ранее условие vr уравнение (5.29,а) в виде

		∂t		∂	2	t		1 ∂t
v	x		= a				+
						2
		∂x		∂r
								r ∂r

= 0, запишем

(5.30)

Рис.5.5 Фрагмент трубы dx с поверхностным источником тепла с удельной плотностью потока q и средней скоростью жидкости v (а); б – стержневое течение жидкости

В уравнении (5.29,a) фигурируют переменные x и r, что затрудняет его интегрирование. Покажем прием, позволяющий представить (5.29,a) в приближенном виде, но содержащем одну переменную r. На рис.5.5 представлен фрагмент трубы, длиною dx, в который входит тепловой

53

поток, равныйπR2 vx ρCdt , а на поверхности фрагмента 2πR2dx выделяется согласно поставленной задаче поток 2πqRdx. Можно эти потоки приравнять и получить

	d	t		=	2q				(5.31)
	dx
					RρCv
Выразим теперь производную					∂ t /∂ x приближенно через				среднюю
температуру, то есть

dxdt ∂∂xt

примем во внимание выражение (5.24,а) для vx, что позволяет представить уравнение (5.30) в виде

∂

2

t

1

∂t

4q

r

2

(5.32)

+

=

−

2

2

∂

r

r

∂r

1

R

λR

Граничные условия рассматриваемой задачи

t		r=R = tw ,	∂t			= 0	(5.33)
			∂r		r =0

Решение системы уравнений (5.32) при граничных условиях имеет следующий вид:

− t(r) = qR

4r

2

r

4

(5.34)

ϑ = t

3

−

+

2

4

W

4λ

R

R

Перейдем теперь к определению локального коэффициента теплоотдачи

	α =		q			(5.35)
		tW	−t

где t с чертой - среднескоростная температура потока в сечении х. По определению t

=

∫vxtdA

dA = 2πrdr.

t

A

,

∫vx dA

A

Вычисляя значение среднерасходной температуры

tW −t =

11qR

(5.36)

24λ

и подставляя ее в формулу (5.35) получим

α =

q

=

24λ

(5.37)

11R

tW −t

Это выражение представим в безразмерном виде с помощью числа Нуссельта

	Nu =	αd	=	48	= 4,36	(5.38)
		λ		11

Решение аналогичной задачи для плоского канала шириной h приводит к

Nu = 4.12

54

Напомним, что эта задача решалась при допущении (5.29б). Оценим, при каких условиях это допущение выполняется. Для этого представим его приближенно в виде

	∂t	≈	t −t0	,	∂2t	≈	t −t0	,	(5.39)
	∂x		x		∂x2		x2

что приведет к ( vx x )/a >> 1 Введем критерий Пекле

Pe = Re·Pr = vd/a

и запишем последнее неравенство в виде

	vx	>>1,	vd x		>>1, x/d << 1/Pe	(5.40)
	a		a d

Для неметаллических жидкостей Pr меньше или равен 103 и неравенство (5.40) практически всегда выполняется. Для жидких металлов Pr находится в интервале между 0.605 и 0.05, и условие (5.40) выполняется редко, для газов же Pr приближенно равен 1, и условие (5.40) может не выполняться.

5.7. Стержневое течение

Если скорость на входе в канал равномерна, то в начале канала, когда пограничный слой еще тонок, можно считать, что скорость течения неизменна по сечению и равна v0, такое течение называют стержневым.

В уравнении (5.30) заменим vх на v0 и примем во внимание (5.31), тогда

∂2t + 1 ∂t = 4q

∂2 r r ∂r λR

Решение этого уравнения при граничных условиях (5.33) дает

	− t(r) = qR			r	2
ϑ = t		1	−
						2
W	4λ			R

Среднерасходные температуры равны

ϑ = tW − t = qR4λ ,

что приводит к коэффициенту теплоотдачи

	α = −	q			=	4λ	и	Nu =	αd	= 8	(5.41)
						R			λ
		tW −t

Итак, по всей длине трубы значение числа Nu равняется 4.36 и Nu = 8 при стержневом течении.

5.8.Теплообмен на начальном участке трубы

Вэтом разделе будут приведены без вывода окончательные результаты. Термический начальный участок. Заметим, что на критерий Nu

=αx/λ стремится с увеличением x к предельному значению. начальный

55

термический участок можно определить, задавая погрешность, с которой Nu приближается к Nu∞ например (рис.5.6),

Рис. 5.6. Изменение числа Нуссельта Nu по длине канала

Nu = 1.01 Nu∞ ,

(5.42)

при этом длину начального термического участка lн.т. определим по формуле [:::]

lн.т./d = 0.07*Pe, Pe = Vd/a,

(5.43)

а для плоского канала

lн.т./h = 0.079·Pe.

Коэффициент теплопередачи можно рассчитать по следующим аппроксимационным формулам

	−1/ 3		1 x
1,31k		,k =				< 0.037	(5.44)
			Pe d
Nu =
	= 4,36,k ≥ 0.037
Nu∞

Гидродинамический начальный участок. Ранее рассматривался теплообмен при гидродинамической стабилизации потока (раздел :). Этот пример типичен при значительном удалении от в входа в трубу обогреваемого участка. Рассмотрим случай, при котором вход жидкости совпадает с участком нагрева, то есть происходит одновременно формирование полей скоростей и температур (рис.5.7).

Рис. 5.7. Формирование ламинарного и термического пограничных слоёв нестабилизированного течения жидкости в трубе. Одновременное формирование этих слоёв (а); почти по всей длине начального термического участка профиль параболический (б); стержневое течение (в); совпадают оба слоя (г)

56

Можно показать, что cвязь начальных участков lн.т. соотношением [:::]

lн.т. ≈ Pr*lн.г.

которые позволяет определить режим течения:

и lн.г. дается

(5.45)

1)Pr >> 1: почти по всей длине начального термического участка профиль скорости имеет параболический характер (рис.5.7,б).

2)Pr << 1: по всей длине начального термического участка распределение скорости равномерное, и течение можно рассматривать как стержневое

(рис.5.7,в).

3)Pr >> 1: почти по всей длине начального термического участка профиль скорости имеет параболический характер (рис.5.7,б).

4)Pr ≈1: происходит одновременное формирование полей скорости и температуры (рис.7.3,г).

Глава 6. Ламинарное течение жидкости на начальном участке её движения

6.1. Математическая модель для начального участка (уравнения Прандтля)

Рассмотрим начальный участок с нестабилизированным течением, при котором пограничные слои меняют свою толщину (рис.6.1). Составим уравнение движения для пограничного слоя и произведем оценку отдельных членов этих уравнений с точки зрения порядка их величины.

Уравнения Навье-Стокса для стационарного течения ( ∂∂vτx = ∂∂vτy = 0 ) в

горизонтальном направлении x (массовые силы отсутствуют X=0) для несжимаемой жидкости ( div v = 0 ) могут быть получены из уравнения (2.37) для осей x и y в виде

	v	x	∂vx	+ v	y	∂vx
			∂x			∂y
	v	x	∂vy	+ v	y	∂vy
			∂x			∂y

1

∂p

μ

∂

2

∂

2

= −

+

vx +

vx

ρ ∂x

ρ

∂x

2

∂y

2

(6.1)

1 ∂p

μ

∂

2vy

∂2vy

= −

+

+

2

2

ρ ∂y

ρ

∂x

∂y

Рис.6.1. Течение в пограничном слое

57

Такое движение, характерное для больших чисел Рейнольдса Re = vLν

исследовал в 1904 г. немецкий физик Л.Прандтль. Он предложил метод упрощения уравнений (6.1) с помощью оценки порядка величины каждого из членов, входящих в эти уравнения. Для этого припишем к каждому параметру порядок 1 или δ (большая и малая величины). Составляющая скорости vx значительно больше vy , поэтому vx ~ 1, а vy ~ δ (знак ~

означает "имеют порядок"), геометрические размеры в направлении оси x ~ 1, а в направлении оси y ~ δ. Перепишем уравнение (6.1), указывая над каждым входящим в него членом порядок δ или 1:

1

1

1 ∂p

∂

2

1

∂

2

1

1 ∂vx

δ

∂vx

μ

vx

vx

vx

+ vy

= −

+

+

1

δ

ρ

1

ρ

1 2

δ 2 2

∂x

∂y

∂ x

∂x

∂ y

(6.2)

δ

δ

1 ∂p

∂

2

δ

∂

2

δ

1 ∂vy

δ

∂vy

μ

vy

vy

vx

1

+ vy

δ

= −

+

1 2

+

δ 2 2

ρ

δ

ρ

∂x

∂y

∂ y

∂x

∂ y

Порядок членов в уравнении (6.2) будет следующий:

1

∂p

μ

1

1+1

= -

∂x

+

1+

ρ

δ

ρ

2

δ +δ = -

1 ∂p

+

μ

+

1

δ

ρ ∂y

ρ

δ

Чтобы сохранить давление как причину движения, припишем члену ρ1 ∂∂py

порядок 1. Тот же порядок выберем и для μρ , тогда можно отбросить члены уравнения малого порядка и переписать уравнения (6.2) в виде

v	∂vx + v	∂vx	= −	1	∂p +	μ	∂2vx .	(6.3)
	x ∂x	y ∂y		ρ ∂y		ρ ∂y2

Второе уравнение (6.2) во внимание не принимается, т.к. почти вес его члены имеют малый порядок.

Рассмотрим условие несжимаемости

div v = 0

или на плоскости

1δ

∂v1x + ∂vδy = 0,

∂x ∂y

члены которого имеют порядок 1, т.е. уравнение остается

∂v	x	+	∂vy	= 0.	(6.4)
			∂y
∂x

58

Граничные условия: первое – прилипание жидкости к стенкам, а второе – совпадение скорости vx на внешнем крае пограничного слоя со скоростью v0 внешнего течения:

vx		y =0 = vy	y =0 = 0, vx	y =δ = v0.	(6.5)

Покажем, что уравнение (6.3) можно упростить. Для этого рассмотрим движение жидкости в свободном потоке, т.е. при y > δ за

	границей пограничного слоя. В этом случае	∂vx		y =δ = 0 , а значение vx
		∂y

становится равным скорости потока v0 , тогда уравнение (6.3) переходит в

уравнение свободного течения жидкости, при этом член с вязкостью тоже равен нулю:

	v	x	∂vx	= −	1 ∂p		,
			∂x		ρ ∂y

интегрирование которого дает

ρvx

2

+ p = const,

(6.6)

т.е. уравнение Бернулли.

2

Заметим, что при постоянной величине скорости ( vx = v0 ) давление p,

как следует из (6.6), будет постоянным и ∂p

= 0 . Следовательно, структуры

∂x

уравнения (6.3) для постоянной

скорости ( v0 =const)

станут более

простыми:

v

x

∂vx

+ v

∂vx

=

ν

∂2vx

.

(6.7)

∂x

y ∂y

∂y2

Систему выражений (6.5) и (6.7) иногда называют системой уравнений Прандтля.

6.2. Преобразование математической модели введением функций тока

Приступим к интегрированию уравнения (6.7), для чего используем новый прием, нашедший широкое распространение в работах по механике жидкостей и газов. Введем так называемые функции тока ψ. Последние связаны со скоростями vx и vy зависимостями

vx =	∂ψ	, vy = −	∂ψ	.	(6.8)
	∂y
			∂x

Функции тока были определены таким образом, чтобы при подстановке их в уравнение неразрывности (6.4) последнее тождественно обращалось в нуль. Действительно, подстановка (6.8) в (6.4) дает

∂2ψ − ∂2ψ = 0. ∂x∂y ∂y∂x

59

Остановимся на физическом смысле этих странных, на первый взгляд функций. Общепринято графическое представление течения при помощи линий тока. Математически линию тока можно представить как линию равных значений ψ. Можно связать компоненты скорости vx и vy с

направлением линий тока и показать, что скорость направлена по линии тока. Например, на рис.6.2 показано расположение линий тока при движении жидкости через сопло.

Рис.6.2. Линии тока при движении через сопло

Подставим в уравнение (6.7) значения скоростей vx и vy из (6.8). Это

дает

	∂ψ ∂2ψ		+	∂ψ ∂2ψ	=ν	∂3ψ .	(6.9)
				∂x ∂y2
	∂y ∂x∂y
						∂y3

Это нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных для функции ψ, оно должно решаться при указанных выше граничных условиях (6.5), которые примут вид

∂ψ			= 0,	∂ψ			(6.10)
						= 0.
∂y		y =0		∂x		x=0

Решение дифференциального уравнения вида (6.9) нельзя получить с помощью аналитических приемов. Оно требует подбора, основанного на значительной физической и математической интуиции. Не останавливаясь на методе замены переменных x и y, введем новые переменные – безразмерные координаты η и f:

η = y	v0	,	f =	ψ	.	(6.11)
	νx
				xνv0

Перепишем с учетом (6.11) дифференциальные уравнения (6.9) в следующем виде:

f (η)	∂2ψ	+ 2	∂3ψ	= 0,
	∂η2		∂η3
или				(6.12)
ff ′′+ 2 f ′′′ = 0,

в итоге получим обыкновенное дифференциальное уравнение.

Выразим через функции η и f граничные условия, для этого проведем следующие преобразования:

60