моделирование инфоком / Полный Курс лекций по Моделирование ИнфКом Систем

моделируемой системы, конечное решение всегда можно (и должно) найти в виде некоторого значения на предварительно обозначенной шкале одного целевого критерия –

вэтом и состоит принцип одномерности конечного решения.

8.Принцип одномерности конечного решения тесно связан с принципом рекуррентного объяснения [Флейшман, 1982; Розенберг с соавт.,1999], который отражает иерархическую организацию моделей систем: свойства и решения, получаемые для подсистем каждого уровня, выводятся (объясняются), исходя из постулируемых свойств элементов нижестоящего уровня иерархии.

Многокритериальные задачи не имеют однозначного общего решения. Поэтому предлагается много способов придать многокритериальной задаче частный вид, допускающий единственное общее решение. Эти методы связаны, как правило, с условной максимизацией или сведением многокритериальной задачи к однокритериальной путем ввода суперкритерия.

Введем, например, суперкритерий q0(x), как скалярную функцию векторного аргумента в пространстве решений:

q0(x)= q0((q1(x), q2(x), …, qn(x)) .

Суперкритерий позволяет упорядочить частные решения по величине q0, выделив тем самым наилучшие из них (в смысле этого критерия). Вид функции q0 определяется тем, как конкретно мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно используют аддитивные и мультипликативные функции:

.

Естественно, что для разных способов эти решения являются в общем случае различными. Поэтому едва ли не главное в решении многокритериальной задачи – обоснование данного вида ее постановки, которое делается чаще всего неформальными экспертными методами.

Альтернативой единственному обобщенному показателю является математический аппарат типа многокритериальной оптимизации – множества Парето и т.д.

Классификация моделей

Вопросам моделирования (в первую очередь, математического) посвящена обширная литература, однако составить строгую единую классификацию математических моделей, различающихся по назначению, используемой информации, технологии конструирования и т.п., достаточно сложно, хотя версии таких классификаций существуют.

Например, В.В.Налимов [1971] делит математические модели на два класса –

теоретические (априорные) и описательные (апостериорные).

Можно перечислить и другие основания для классификации моделей:

природа моделируемого объекта и уровень его детализации;

21

используемый логический метод: дедукция (от общего к частному) или индукция (от частных, отдельных факторов к обобщающим);

статический подход или анализ динамики временных рядов (последний, в свою очередь, может быть ретроспективным или носить прогнозный характер);

используемая математическая парадигма (детерминированная и стохастическая).

Наконец, по целям исследования, технологии построения, характеру используемой информации и просто для удобства последующего изложения все методы математического моделирования можно разделить на четыре класса:

аналитические (априорные);

имитационные (априорно-апостериорные) модели;

эмпирико-статистические (апостериорные) модели;

модели, в которых в той или иной форме представлены идеи искусственного интеллекта (самоорганизация, эволюция, нейросетевые конструкции и т.д.).

Обобщим классификацию моделей.

Классификацию моделей проведем по следующим признакам. 1. По цели использования:

-дескриптивные (описательные);

-оптимизационные.

Примеры дескриптивных и оптимизационных моделей будут рассмотрены ниже. 2. По природе моделей:

-предметные (материальные):

-физические (копии), например, макет самолета;

-аналоговые (аналоги), например, маятник как аналог колебательного контура;

-символьные (знаковые):

-концептуальные (словесные);

-схемографические;

-математические;

-компьютерные.

3. По возможности представления работы системы во времени:

-статические;

-динамические.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.

Пример. Закон Ньютона F = a∙m - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

22

Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример. Модель S = g∙t2/2 - динамическая модель пути при свободном падении тела. 4. В зависимости от времени:

-дискретные;

-непрерывные.

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример. Если рассматривать только t = 0, 1, 2, ..., 10 (сек), то модель St = g∙t2/2 или числовая последовательность S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, …, S10=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени.

Пример. Модель S = g∙t2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0…100).

5.По учѐту случайностей:

-детерминированные,

-стохастические.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров, в противном случае - модель недетерминированная, т.е. стохастическая (вероятностная).

Пример. Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели S = g∙t2/2, мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела, например, так: S(p) = g(p)t2/2, то получили бы стохастическую модель.

6. По целям исследования, технологии построения, характеру используемой информации:

-аналитические;

-имитационные;

-статистические;

-модели, в которых в той или иной форме представлены идеи искусственного интеллекта (самоорганизация, эволюция, нейросетевые конструкции и т.д.).

Аналитические модели – один из классов математического моделирования. При построении таких моделей исследователь сознательно отказывается от детального описания системы, оставляя лишь наиболее существенные, с его точки зрения, компоненты и связи между ними, и использует достаточно малое число правдоподобных гипотез о характере взаимодействия компонентов и структуры системы.

Аналитические модели служат, в основном, целям выявления, математического описания, анализа и объяснения свойств, присущих максимально широкому кругу систем.

23

Имитационные модели – также один из основных классов математического моделирования. Целью построения имитаций является максимальное приближение модели к конкретному техническому объекту и достижение максимальной точности его описания. Имитационные модели претендуют на выполнение как объяснительных, так и прогнозных функций, хотя выполнение первых для больших и сложных имитаций проблематично (для удачных имитационных моделей можно говорить лишь о косвенном подтверждении непротиворечивости положенных в их основу гипотез).

Имитационные модели реализуются на ЭВМ с использованием блочного принципа, позволяющего всю моделируемую систему разбить на ряд подсистем, связанных между собой незначительным числом обобщенных взаимодействий и допускающих самостоятельное моделирование с использованием своего собственного математического аппарата. Такой подход позволяет также достаточно просто конструировать, путем замены отдельных блоков, новые имитационные модели.

Статистические модели объединяют в себе практически все методы первичной обработки экспериментальной информации. Основная цель построения этих моделей состоит в следующем:

-упорядочение или агрегирование информации;

-поиск, количественная оценка и содержательная интерпретация причинноследственных отношений между переменными системы;

-оценка достоверности и продуктивности различных гипотез о взаимном влиянии наблюдаемых явлений и воздействующих факторов;

-идентификация параметров расчетных уравнений различного назначения.

Часто статистические модели являются обоснованием подходов к построению моделей других типов (в первую очередь, имитационных).

Важным методологическим вопросом является определение характера зависимости между факторами и результативными показателями: функциональная она или стохастическая, прямая или обратная, линейная или нелинейная и т.д. Здесь используются теоретико-статистические критерии, практический опыт, а также способы сравнения параллельных и динамичных рядов, аналитических группировок исходной информации, графические методы и др.

Детерминированный анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит явно выраженный функциональный характер, т.е. когда результативный показатель представляется в виде произведения, частного или алгебраической суммы исходных факторов. В этих случаях исследователь сам берет на себя ответственность в том, что:

-причинно-следственная связь между изучаемыми явлениями действительно существует;

-эта связь носит именно постулируемый функциональный характер (аддитивный, мультипликативный, кратный или смешанный с заранее подобранными коэффициентами, отражающими субъективный опыт разработчика).

24

Стохастический анализ представляет собой обширный класс методов, опирающихся на теоретико-вероятностные представления, теоремы, критерии и методы параметрической и непараметрической статистики. Исходный объект в любой системе обработки данных – это эмпирический ряд наблюдений или выборка. Выборки, описывающие явления и процессы в системе, находятся во взаимосвязи, взаимозависимости и обусловленности. При этом каждое явление можно рассматривать и как причину, и как следствие. Одни выборки могут быть непосредственно связаны между собой, образуя подмножества сопряженных данных, другие могут соотноситься друг с другом косвенно.

На основе приведенной классификации можно выделить следующие виды моделирования:

-аналитическое;

-имитационное;

-статистическое.

Аналитическое моделирование связано с получением явных или неявных зависимостей между интересующими параметрами и расчетами по этим зависимостям.

Имитационное моделирование (поведенческое) – имитация работы объекта, т.е. развертывание его во времени.

Статистическое моделирование – многократное повторяющаяся имитация работы, с последующим определением усредненных значений параметров.

Покажем разницу между аналитическим, имитационным и статическим моделированием.

Предположим, что поставлена задача – оценить среднее время безотказной работы. Эксперимент заключается в том, что на испытание ставятся N объектов и испытания продолжаются время Т.

Если было бы известна плотность распределения оценки, то процесс моделирования сводился бы к расчету числовых значений. Это было бы аналитическое моделирование.

Обычно такой информации нет, и их приходится получать с помощью имитационного и статистического моделирования.

Моделируется процесс испытаний, например, факт появления отказа объекта (имитационное моделирование) и далее этот процесс многократно повторяется (статистическое моделирование).

При каждом повторе определяется оценка, квадрат отклонения этой оценки от истинного значения, статистические среднее время безотказной работы и среднеквадратическое отклонение.

При правильном применении, математический подход не отличается существенно от подхода, основанного на "традиционном здравом смысле". Математические методы просто более точны и в них используются более четкие формулировки и более широкий набор понятий. В конечном счете, они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями, хотя, вероятно, идут дальше их. В тех случаях, когда

25

установлено постоянное и удовлетворительно точное согласие между математической моделью и опытом, такая модель приобретает практическую ценность. Эта ценность может быть достаточно велика, вне зависимости от того, представляет ли сама модель чисто математический интерес.

Формализация процесса функционирования системы

Наибольшие затруднения и наиболее серьезные ошибки при моделировании возникают при переходе от содержательного к формальному описанию объектов исследования, что объясняется участием в этом творческом процессе коллективов разных специальностей: специалистов в области систем, (заказчиков), и специалистов в области машинного моделирования (исполнителей).

Эффективным средством для нахождения взаимопонимания между этими группами специалистов является язык математических схем, позволяющий во главу угла поставить вопрос об адекватности перехода от содержательного описания системы к ее математической схеме, а лишь затем решать вопрос о конкретном методе получения результатов с использованием ЭВМ.

Впроцессе разработки модели можно выделить три этапа:

концептуальный,

математический

и программный (экспериментальный).

Разработка концептуальной модели

Концептуальная модель (КМ) (содержательная) - это абстрактная модель, определяющая состав и структуру системы, свойства элементов и причинноследственные связи, присущие исследуемой системе и существенные для достижения цели моделирования.

На этапе создания концептуальной модели обосновывается не только то, что должно войти в модель, но и то, что может быть отброшено без существенных искажений результатов моделирования.

Основная проблема при этом заключается в нахождении компромисса между простотой модели и ее адекватностью с исследуемой системой. Процесс создания КМ, очевидно, никогда не может быть полностью формализован. Это не только наука, но и искусство.

Выделяют следующие этапы построения КМ.

1. Уточнение множества полезных и возмущающих внешних воздействий.

При создании КМ выявляются качественные и количественные параметры системы

ивнешних воздействий.

2.Выбор уровня детализации модели.

Любая система состоит из совокупности элементов, которые в свою очередь могут быть расчленены на элементы. С учетом этого проблема выбора уровня детализации может быть разрешена путем построения иерархической последовательности моделей.

26

Система представляется семейством моделей, каждая из которых отображает ее поведение на различных уровнях детализации.

Уровни детализации называют стратами. Выбор страт определяется целями моделирования и степенью предварительного знания свойств элементов.

При построении стратифицированной КМ необходимо руководствоваться следующим.

В модель должны войти все параметры системы и, в первую очередь, параметры, допускающие варьирование в процессе моделирования, которые обеспечивают определение интересующих характеристик при конкретных внешних воздействиях на заданном временном интервале функционирования системы. Остальные параметры должны быть по возможности исключены из модели.

Детализация производится до такого уровня, чтобы для каждого элемента были известны или могли быть получены зависимости параметров выходных воздействий элемента и определены выходные характеристики системы от параметров воздействий, которые являются входными для этого элемента.

3.Локализация КМ, которая осуществляется путем представления внешней среды

ввиде генераторов внешних воздействий, включаемых в состав модели в качестве элементов. При необходимости они дифференцируются на генераторы рабочей нагрузки, поставляющих данные в систему; генераторы дополнительных обеспечивающих объектов, генераторы управляющих и возмущающих воздействий.

4.Завершение построения структуры модели указанием связей между элементами. Связи делятся на вещественные и информационные.

Вещественные отражают возможные пути перемещения продукта преобразования, информационные - обеспечивают передачу между элементами управляющих воздействий и информации о состоянии.

Если можно в модели обойтись без информационных связей (они дублируются) как, например, в однофункциональных элементах, то управление процессом в таких системах определяются структурой, т.е. реализован принцип структурного управления.

Многофункциональные элементы при управлении или реализуют принцип программного или алгоритмического управления, которые обеспечивают параллельное выполнение нескольких процессов.

5. Описание динамики системы. Для описания динамики системы нужно модель дополнить описанием работы системы, как выполнением технологического процесса. Он задается отображением алгоритма. Алгоритм однозначно определяет, какие ресурсы системы, в какой последовательности и какие операции должен выполнить для достижения некоторой цели. Также имеются еще алгоритмы управления совокупностью процессов, основное их назначение - разрешение конфликтных ситуаций, возникающих, когда два или более процесса претендуют на один и тот же ресурс.

Совокупность алгоритмов управления совместно с параметрами внешних воздействий и элементов отражает динамику функционирования.

27

Алгоритмы преобразовываются к виду, удобному для моделирования. Созданная КМ должна быть проверена на адекватность исследуемому объекту.

Разработка математической модели (ММ)

Математические схемы

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S.

Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Введение понятия «математическая схема» позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной).

При пользовании математической схемой исследователя системы S в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Например, представление процесса функционирования информационновычислительной системы коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка

«описательная модель → математическая схема → математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы «система S — среда Е». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели

28

моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта

Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

совокупность входных воздействий на систему

xi X , i 1, nX ;

совокупность воздействий внешней среды

vl V , l 1, nV ;

совокупность внутренних (собственных) параметров системы hk H , k 1, nH ;

совокупность выходных характеристик системы y j Y , j 1, nY .

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

В общем случае xi , vl , hk , y j являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид

	t x1	t , x2	t , ..., xnX	t , ;
x
				t , ;
v t v1 t , v2 t , ...,vnV
	t h1	t , h2	t , ...,hnH	t , ;
h

а выходные характеристики системы являются зависимыми переменными и в векторной

		t , y2	t , ..., ynY	t , . .
форме имеют вид	y t y1

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором Fs, который в общем случае преобразует независимые переменные в зависимые в соответствии с соотношениями вида

y t FS x, v, h, t .				(2.1)
Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени yj(t) для
	j 1, nY называется выходной траекторией
всех видов					y t .

Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы S и обозначается

Fs.

29

В общем случае закон функционирования системы Fs может быт задан в виде: функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования As, под которым понимается метод получения выходных

характеристик с учетом входных воздействий				t , воздействий внешней среды		t и
			x		v
собственных параметров системы		t .
	h

Очевидно, что один и тот же закон функционирования Fs системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования As.

Соотношения (2.1) являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени t, т. е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

Таким образом, под математической			моделью объекта (реальной			системы)
					t , h t вместе с математическими
понимают конечное подмножество переменных x t , v
связями между ними и характеристиками y t .
Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов
случайности или они не учитываются, т. е.			если можно считать, что в этом случае
стохастические воздействия внешней среды v t и стохастические внутренние параметры
h t отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что
характеристики	однозначно	определяются		детерминированными		входными
воздействиями		y t f x, t .

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Таким образом, создание ММ преследует две основные цели:

дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы для однозначности их понимания;

представить процесс функционирования в виде, допускающим аналитическое исследование системы.

Для определенных классов систем разработаны формализованные схемы и математические методы, которые позволяют описать функционирование системы, а в некоторых случаях - выполнить аналитическое исследование.

Схемами могут быть агрегативные системы и, стохастические сети, автоматы, сети Петри.

Таким образом, построение ММ предусматривает анализ КМ и исходных данных с целью выбора одной из подходящих формализованных схем.

30