Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
моделирование инфоком / Моделирование инфокоммуникационных систем_Л4(Раздел 3).pptx
Скачиваний:
82
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
404.74 Кб
Скачать

Раздел 3. Построение математических моделей по экспериментальным данным

Лекция 7. Методы исследования математических моделей систем и процессов

Оценивание параметров распределения

При точечном оценивании

находят наилучшую оценку показателя

указывают погрешность оценки (дисперсию).

При интервальном оценивании

определяют интервал, который накроет истинное значение параметра с заданной (доверительной) вероятностью.

Свойства оценок

Несмещенность

Оценка является несмещенной, если ее

математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра

Состоятельность

Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к истинному значению, т.е. стремится к нему, когда объем выборки стремится к бесконечности

Эффективность

Оценка эффективна, если она имеет минимальную дисперсию из всех оценок

Методы оценивания

Метод сравнения

Метод максимального правдоподобия

Байесовский метод.

Метод сравнения (метод моментов)

Заключается в приравнивании опытных (выборочных) и теоретических величин, имеющих одинаковый физический смысл.

Приравнивание дает уравнение (или систему уравнений), а параметры определяются как решение этих уравнений.

Для случайной величины X теоретический начальный момент

x KK

Если x1 ,x2 …xN – реализация выборки, то выборочный

1

начальный момент k-го порядка равен:

v

N

 

 

Теоретический центральный момент k-го порядка равен:

K M x M x K

Выборочный центральный момент k-го порядка равен:

K

1 xi x K

x

1 xi

 

 

 

 

N

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1 i 1

 

N i 1

N

xiK i 1

Пример

Закон распределения случайной величины X задан в виде ряда распределения

Значение X

0

1

2

Вероятност

0,1

0,4

0,4

ь

 

 

 

математическое ожидание и дисперсия:

M x 0 0,1 1 0,4 2 0,4 3 0,1 1,5

~

0,4 1 1,52 0,4 2 1,52 0,1 3

D x 0,1 0 1,52

~

 

3

0,1

1,5 2 0,65

Пример

Если распределение случайной величины неизвестно

В этом случае можно оценить дисперсию (определить приближенное значение – оценку), реализовав Х определенное число N раз (объем выборки)

В результате эксперимента (N = 2) получено реализации случайной величины:

х1 = 1; х2 = 2

х1,5Оценка математического ожидания

Оценка дисперсии

D x

1

 

2 1,5 2

1 1,5 2

0,5

2 1

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод максимального правдоподобия

По методу максимального правдоподобия (ММП) оценки получаются из условия максимизации функции правдоподобия (вероятности или плотности результата эксперимента).

Функция правдоподобия

 

N

, для дискретных СВ,

 

П P xi

 

i 1

 

L результат

N

, для непрерывных СВ.

 

П f x

i 1

Максимум функции правдоподобия можно найти, приравняв ее производную к нулюi

Пример

Требуется оценить вероятность наступления события m раз в N случаях.

Функция правдоподобия в соответствии с биномиальным законом распределения имеет вид:

L m,Р CNm Pm 1 P N m

Согласно методу максимального правдоподобия

получим искомую оценку

n L m,P n CNm

m n P N m n 1 P

 

L m,P

m

 

N m

 

 

 

P

1 P

 

 

 

P

 

 

m

 

N

m

 

m

 

 

 

 

 

 

P

N

 

P

 

1 P

 

 

Байесовский метод

Исходной информацией для получения байесовской

оценки являются:

априорное распределение исследуемого параметра;результаты испытаний;функция потерь.

Основой процесса перехода от дополнительной

(априорной) информации (АИ), представленной в виде априорного распределения, к апостериорной информации путем добавления экспериментальных

данных является теорема Байеса

f ( р) 1 f A ( р) вер( рез / р)f A ( р) вер( рез / )

0