- •Раздел 3. Построение математических моделей по экспериментальным данным
- •Оценивание параметров распределения
- •Свойства оценок
- •Методы оценивания
- •Метод сравнения (метод моментов)
- •Пример
- •Пример
- •Метод максимального правдоподобия
- •Пример
- •Байесовский метод
- •Процесс уточнения априорной информации
- •Априорное и апостериорное распределения
- •Априорное и апостериорное распределения
- •Лекция 8. Обработка результатов имитационного эксперимента
- •Обработка массива данных
- •Расчет статистических параметров: распределения
- •Влияние асимметрии и эксцесса
- •Подбор теоретического распределения и его параметров
- •Подбор вида распределения
- •Подбор вида распределения и его параметров
- •Критерии согласия
- •Регрессионные модели
- •Таблица эксперимента
- •Метод наименьших квадратов
- •Пример
- •Проверка адекватности модели
- •Проверка адекватности модели
- •Проверка адекватности модели
- •Проверка адекватности модели
- •Проверка адекватности модели
- •Лекция 9. Планирование экспериментов
- •Определение коэффициентов модели при ортогональных планах
- •Планирование активных экспериментов
- •Построение плана
- •Свойство ортогональности
- •Дробные факторные планы
Раздел 3. Построение математических моделей по экспериментальным данным
Лекция 7. Методы исследования математических моделей систем и процессов
Оценивание параметров распределения
При точечном оценивании
находят наилучшую оценку показателя
указывают погрешность оценки (дисперсию).
При интервальном оценивании
определяют интервал, который накроет истинное значение параметра с заданной (доверительной) вероятностью.
Свойства оценок
Несмещенность
Оценка является несмещенной, если ее
математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра
Состоятельность
Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к истинному значению, т.е. стремится к нему, когда объем выборки стремится к бесконечности
Эффективность
Оценка эффективна, если она имеет минимальную дисперсию из всех оценок
Методы оценивания
Метод сравнения
Метод максимального правдоподобия
Байесовский метод.
Метод сравнения (метод моментов)
Заключается в приравнивании опытных (выборочных) и теоретических величин, имеющих одинаковый физический смысл.
Приравнивание дает уравнение (или систему уравнений), а параметры определяются как решение этих уравнений.
Для случайной величины X теоретический начальный момент
x KK
Если x1 ,x2 …xN – реализация выборки, то выборочный |
1 |
||
начальный момент k-го порядка равен: |
v |
||
N |
|||
|
|
Теоретический центральный момент k-го порядка равен:
K M x M x K
Выборочный центральный момент k-го порядка равен:
K |
1 xi x K |
x |
1 xi |
||||
|
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 i 1 |
|
N i 1 |
N
xiK i 1
Пример
Закон распределения случайной величины X задан в виде ряда распределения
Значение X |
0 |
1 |
2 |
|
Вероятност |
0,1 |
0,4 |
0,4 |
|
ь |
||||
|
|
|
математическое ожидание и дисперсия:
M x 0 0,1 1 0,4 2 0,4 3 0,1 1,5
~ |
0,4 1 1,52 0,4 2 1,52 0,1 3 |
D x 0,1 0 1,52 |
|
~ |
|
3
0,1
1,5 2 0,65
Пример
Если распределение случайной величины неизвестно
В этом случае можно оценить дисперсию (определить приближенное значение – оценку), реализовав Х определенное число N раз (объем выборки)
В результате эксперимента (N = 2) получено реализации случайной величины:
х1 = 1; х2 = 2
х1,5Оценка математического ожидания
Оценка дисперсии |
D x |
1 |
|
2 1,5 2 |
1 1,5 2 |
0,5 |
|
2 1 |
|||||||
|
~ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Метод максимального правдоподобия
По методу максимального правдоподобия (ММП) оценки получаются из условия максимизации функции правдоподобия (вероятности или плотности результата эксперимента).
Функция правдоподобия
|
N |
, для дискретных СВ, |
|
П P xi |
|
|
i 1 |
|
L результат |
N |
, для непрерывных СВ. |
|
П f x |
i 1
Максимум функции правдоподобия можно найти, приравняв ее производную к нулюi
Пример
Требуется оценить вероятность наступления события m раз в N случаях.
Функция правдоподобия в соответствии с биномиальным законом распределения имеет вид:
L m,Р CNm Pm 1 P N m
Согласно методу максимального правдоподобия
получим искомую оценку |
|||||||||
n L m,P n CNm |
m n P N m n 1 P |
||||||||
|
L m,P |
m |
|
N m |
|
||||
|
|
P |
1 P |
||||||
|
|
|
P |
|
|||||
|
m |
|
N |
m |
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
P |
N |
||
|
P |
|
1 P |
|
|
Байесовский метод
Исходной информацией для получения байесовской
оценки являются:
априорное распределение исследуемого параметра;результаты испытаний;функция потерь.
Основой процесса перехода от дополнительной
(априорной) информации (АИ), представленной в виде априорного распределения, к апостериорной информации путем добавления экспериментальных
данных является теорема Байеса
f ( р) 1 f A ( р) вер( рез / р)f A ( р) вер( рез / )dр
0