Elektronika_i_skhemotekhnika

Итак, суммарная чувствительность передаточной функции к изменению параметров всех пассивных элементов равна нулю.

Для суммарной чувствительности этого же типа цепей имеется второе важное соотношение[Активные RC фильтры]

	nc			s		K( s ) S K
	S K							(12)
	k 1	Ck		K( s )		s	s
	Так как чувствительность SsK							не зависит от схемы и параметров ее
	элементов, то суммарные функции относительной чувствительности
	ng					n
	S K					c
				S K				(13)
	k 1	gk		k 1			Ck

зависят только от значений коэффициентов b j и a j, задающих нужный вид временных и частотных характеристик.

Выполняя проектирование на структурном аспекте этапа аппроксимации, с помощью дробно-линейных функций синтезируют математическую модель желаемых ("идеальных") временных или частотных характеристик. Для таких функций имеется развитый математический аппарат [в пакете программ МАTLAB]. В результате определяют порядок передаточных функций и значения параметров полюсов и нулей соответственно знаменателя и числителя функций. Затем, компонуя их между собой так, чтобы получить максимальный динамический диапазон сигналов переходят к передаточным функциям компонентов, соединѐнных согласно выбранному принципу построения (например, последовательному или параллельному, или с обратными связямии т.д.)

		m 1
		ζ j s j 1
	D s	j 1		,	(14)
		n 1
			ζisi 1

i 1

где коэффициенты ζ i – действительные числа, s – оператор Лапласа.

Функции D(s) и K(s) описывают один и тот же объект, но в выражении (14) коэффициенты числа, а в выражении (5) коэффициенты символы параметров элементов будущей схемы, построенной по одному из выбранных

принципов или комбинации их. После того как будет синтезирована схема, коэффициенты при одинаковых степенях операторов Лапласа в функциях D(s) и K(s) должны быть сделаны равными, т.е.

j	bj , i	ai	, j 0,m; i 0,n.					(15)

с учѐтом ограничений, накладываемых на параметры элементов выбранным принципом и способом построения, технологией, требованиями качества, экономики производства и потребителей изделия.

Задачу решения уравнений (15) называют параметрическим синтезом, так как они предназначены для расчѐта параметров элементов. При безразмерной функции (14) размерности коэффициентов b j и ai будут одинаковыми и равными n. Поэтому решение системы уравнений (15) осуществляют с учѐтом ограничений с помощью методов оптимизации [Черноруцкий]. и критериев структурной устойчивости систем [Лыпарь]

Таким образом, качество изделия в значительной степени определяется на структурном аспекте при синтезе принципов построения и синтезе математической модели, аппроксимирующей желаемые частотные или временные характеристики изделия.В частотную область уравнение (12) переводят с помощью преобразования Фурье формально заменяя оператор s на j ω

nc		d D1(ω)
Re SCD ω						(16)
		d ω
k 1	k
где D1( ) + jD2( )=l g D(j );				n c	D	— действительная часть суммарной
				Re S
				C

k 1 k

чувствительности.

Уравнения (12) и (16) являются важнейшими при проектировании линейных активных RC-цепей. В самом деле, из уравнения (16) следует, что функция относительной чувствительности зависит от скорости изменения частотной характеристики. Ее гладкость на высоких частотах особенно важна для уменьшения чувствительности.

Следовательно, для повышения стабильности АЧХ цепи желательно на этапе аппроксимации этой характеристики конструировать функции, дающие гладкие АЧХ.

На практике при аппроксимации АЧХ и ФЧХ наиболее широко

применяют полиномы Чебышѐва, Баттерворта, Бесселя1. (см.). Для этих полиномов известен аналитический способ нахождения корней уравнений n-го порядка []. Аппроксимация АЧХ полиномами Баттерворта приводит к бóльшему порядку полиномов n, чем полиномами Чебышѐва, но обеспечивает бóльшую гладкость частотных характеристик. При аппроксимации по Бесселю получают полиномы более высокого порядка, чем в предыдущих методах, но за то реализуют максимально гладкую переходную характеристику.

Увеличение порядка n сопровождается ростом числа элементов. Например, для RC-цепи, чтобы еѐ определитель имел порядок n, необходимо иметь не меньше n конденсаторов с операторной проводимостью s C k. Их произведение сформирует коэффициент an. Для формирования коэффициента a0 аналогично необходимо иметь не менее n резисторов с проводимостями g k. Следовательно, увеличение порядка определителя A(s) n на единицу приводит к увеличению числа элементов на два, если сохраняется полный полином A(s).

Заметьте, точно так же из (11) следует желательность увеличения числа элементов ψ для понижений чувствительности схемной функции к изменению параметров отдельного элемента.

Итак, оба фактора уменьшения чувствительности системы требуют возрастания числа элементов. Очевидно, что это требований вступает в противоречие со стоимостью системы. Поэтому в процессе проектирования всегда ищется компромисс между повышением стоимости и снижением качества проектируемого изделия.

3.4.1. Качество системи их принципы построения

Проанализируем качество наиболее часто применяемых трѐх принципов построения: последовательный (его часто называют ещѐ каскадным), параллельный и с обратной связью.

Пусть, например, усилитель, построенный по последовательному принципу

(рис. 1,а-26, а), содержит два каскада с коэффициентами усиления Ku1 и Ku2 и общим усилением, найденным по графу рис.1,б

	Ku s	Uвых s		Uвых1	s		Uвых s	Ku1	s Ku2	s
		Uc s		Uc s			Uвых1 s
										(17)

Подставив в выражение (7) значения многочленов из (17):

1Более подробно аппроксимация отражена в разделе "Фильтрация"стр.200.

A(s) = 1; A2(s) = 0; В(s) =Ku1Ku2; B2(s) = Ku2, χ k = Ku1,

найдем, что

S K 1,	χk Ku1, Ku2	(18)
χk

Следовательно, относительная чувствительность передаточной функции последовательно соединенных элементов к изменению параметров любого из элементов равна единице.

	а)
	1	0 Uвых1(s)		0 3
	0	0	0	0
Uс(s)	+	2		Uвых(s)
	0 Ku1
		0	0	Ku2 0

б)
1	-Ku1	2	-Ku2	3
					Uвых(s)
Uс(s)

Рис.1

Таким образом, для получения высококачественного изделия при последовательном построении необходимо использовать высококачественные отдельные каскады. Отказ любого из усилителей или изменение его параметров приведѐт к отказу всего компонента или изменению коэффициента усиления компонента. Уровень изменения K к тому же зависит от места положения каскада.

При последовательном принципе построения наиболее высокие требования по всем параметрам качества предъявляется к первому каскаду, так как все отклонения его параметров (уровень собственного шума, нелинейных искажений и т.п.) от номинального значения будут усиливаться последующими каскадами.

Этот недостаток естественно ставит вопрос о целесообразности его применения вообще. Тем не менее, последовательный принцип находит пока ещѐ широкое применение (в схемотехнике компьютеров, программировании, радиотехнике, системах управления и т.д.) из-за небольшого числа каскадов, с помощью которых достигается конечный результат благодаря перемножению коэффициентов передачи отдельных каскадов. Стоимостные соображения здесь играют первостепенную роль.

Усилитель, построенный по параллельному принципу (рис.2,а), содержит значительно большее число каскадов, чем при последовательном соединении

компонент. Это связано с тем, что общий коэффициент усиления при параллельном соединении равен сумме коэффициентов усиления отдельных компонент

К=(K1+K2+ Kn ) = Kм		,	(19)
где коэффициент KM - отражает передаточную функцию сумматора.
например, пусть	в предыдущем		примере коэффициенты K1=K2=20. тогда
K K1 K2 400 .	При	параллельном соединении усилителей, каждый из
которых имеет также		коэффициент усиления равный 20, потребуется 20

усилителей и сумматор, который объединит выходные сигналы отдельных усилителей. Для того чтобы коэффициент передачи сумматора не очень сильно влиял на конечный результат, его коэффициент масштабирования KM обычно делают равным единице. Такой затратный принцип построения должен создавать у изделия более высокое качество, по сравнению с последовательным принципом. Из графа рис.2,б находим в соответствии с уравнением (7)

l

Kk B s ; K м = 1, A(s)=1, A2(s)=0 .

k 1

Чувствительность общего коэффициента усиления к изменениям одного из них (K k) из-за того, что A2(s) = 0, будет равна

S K

Kk

l

K1 K3 K4 K l Ki K2

K

Kk

i 1

(20)

а)

0

0

Ku1

∑

0

0

0

0

Ku2

KM

Uвых

0

0

+

Uс Kul

б)
-Ku1	KM
-Ku2	∑
Uс	Uвых
-Kun

Рис.2. Параллельный принцип построения усилителей (а) и их граф (б).

Следовательно, чувствительность передаточной функции параллельно соединенных элементов к изменениям параметров одного из них всегда меньше единицы и равна отношению передаточной функции изменяемого элемента к передаточной функции компонента или системы.

Отказ одного из элементов приводит к частичному изменению его частотной или временной характеристики, но сохранит работоспособность компонента. Таким образом, повышение качества системы, реализующей параллельный принцип построения, достигается за счѐт большего числа компонент в системе, чем при последовательном принципе.

в бытовых изделиях последовательный принцип ещѐ будет, вероятно, широко использоваться, а в промышленных электронных изделиях, скорее всего он будет постепенно использоваться всѐ реже и заменяться на параллельный принцип построения.

Напомним, полупроводниковый чип уже в 2008 г. содержал более 109 транзисторов и с уменьшением базового размера транзисторов до 30 нм их число ещѐ больше возрастѐт, а стоимость одного элемента будет падать.

Итак, параллельный принцип построения, обладающий более высокими показателями качества и менее жѐсткими требованиями к отдельным компонентам системы, постепенно займѐт доминирующее положение в системах обработки и выявления информации. Такие системы будут всѐ больше напоминать системы живых организмов.

Теперь рассмотрим влияние обратной связи на чувствительность на примере цепи рис.3,а -26,в, содержащей усилитель с коэффициентом усиления –K1 и

пассивную RLC-цепь, образующую путь от входного узла 1 к узлу 2 усилителя и контур обратной связи. На обобщенном графе этой цепи (рис. 3,б-26, г) показаны веса: B2 (s) – пути P12, A1 (s) – вершины 2 и A2 (s) – дуги (3, 2), образующей с дугой (2, 3) контур обратной связи. Поэтому передаточная функция будет равна

K s		K1B2 s
					.	(20)
	A	s K A		s
1		1	2

Обратную связь, вес контура которой отрицателен, называют отрицательной обратной связью (контур должен содержать нечетное число дуг с отрицательным весом), а при положительном весе контура – положительной (в контуре должно быть четное число дуг с отрицательным весом и (или) все дуги должны иметь положительный вес).

Обратите внимание, согласно правилу нахождения определителя графа A(s) слагаемое, образованное весом контура берѐтся с противоположным знаком. Это означает, что веса контуров отрицательной обратной связи войдут в полином A(s) с положительными знаками. И наоборот, веса контуров

положительной обратной связи войдут в полином A(s) с отрицательными знаками.

В соответствии с выражением (1-44), учитывая противоположные знаки весов пути и контура, имеем

S K	1	K1A2 (s)	.
				(21)
K1		A1(s) K1A2 (s)

В уравнении (21) верхние знаки соответствуют отрицательной обратной связи, а нижние – относятся к схеме, использующей не инвертирующий усилитель с коэффициентом усиления K1 (контур положительной обратной связи).

Оценим возможные значения чувствительности. Если |A1(jω)| » |K1A2(jω)| для любых ω, что соответствует весьма малому влиянию отрицательной обратной связи, то чувствительность будет равна 1.

При глубокой отрицательной обратной связи при любых ω выполняется неравенство |A1(jω)|«|K1A2(jω)|, то чувствительность SK-K1→0 и усилитель, активно участвуя в реализации передаточной функции К(s), своими параметрами оказывает лишь незначительное влияние на ее коэффициенты.

Этот эффект широко применяется при использовании операционных усилителей, имеющих коэффициент усиления более 104. Своѐ название этот усилитель получил в связи с построением первой аналоговой вычислительной машины, предназначенной для наведения зенитных орудий, защищавших Лондон во время второй мировой войны. На таких усилителях были построены компоненты, выполнявшие операции интегрирования, масштабирования, умножения и т.д.

При положительной обратной связи и выполнении условия |A1(jω)| = =|K1A2(jω)| чувствительность SKK1→ ∞. Отметим, что эти же условия соответствуют возникновению в цепи самовозбуждения.

Таким образом, обратная связь является средством изменения чувствительности. Для повышения стабильности характеристик цепи, содержащей элемент с нестабильными параметрами (K1), необходимо охватить последний отрицательной обратной связью, реализованной на элементах со стабильными параметрами (у них SKA1≤ -1). Тогда, при вышеприведенных условиях, чувствительность функции цепи к изменениям нестабильного элемента можно существенно уменьшить.

Значительно реже (в цепях с управляемыми характеристиками) применяют увеличение чувствительности к изменениям какого-либо элемента. Это связано с тем, что при положительной обратной связи в цепи легко могут возникнуть автоколебания.

3.4.2.Связь функции относительной чувствительности с

запасом устойчивости систем

Широкому применению функций относительной чувствительности мешала невозможность еѐ оценки до того как будет полностью спроектирована система, т.е. еѐ можно было использовать только в оценке качества готового изделия. Чтобы этот универсальный критерий качества системы можно было использовать на ранних этапах проектирования, автор воспользовался [Избирате] известным приѐмом переноса задачи из области, в которой нет методов еѐ решения в другую область, имеющие необходимые методы или возможность еѐ решения. При таком преобразовании, конечно, необходимо сохранить в новой области отношения эквивалентности между сравниваемыми объектами.

Сначала рассмотрим пример, с которым каждый читатель, так или иначе, сталкивался или непосредственно, или при прямых передачах в эфир на радио и телевидении. Это возникновение «завывания» звука при близком поднесении микрофона ко рту говорящего. Оно возникает из-за существующей в таких системах акустической положительной обратной связи. Когда микрофон близок к источнику звука, уровень обратной связи становится большим и звуковое давление от громкоговорителей, стоящих в помещении, оказывает на микрофон давление не меньшее, чем говорящий. Поэтому суммарный сигнал с микрофона становится очень большим и подаѐтся на усилитель, который усиливает его так же, как слабый. В результате на выходе громкоговорителя уровень звука ещѐ больше увеличивается.

Так возникает самовозбуждение этой электронно-механической системы. Снимают его достаточно просто: микрофон удаляется от источника звука на некоторое расстояние, после которого самовозбуждение пропадает.

В теории систем управления разработаны различные формальные методы обеспечения устойчивого состояния систем. Воспользуемся методом, в котором с одной стороны устойчивость напрямую связана с функцией относительной чувствительности, а с другой – механизм обеспечения устойчивости подобен, описанному в примере.

Для оценки удаленности системы от состояния самовозбуждения применяют понятие запаса устойчивости по параметру элемента – допустимого относительного изменения какого-либо параметра χ системы, которое не приводит к потере устойчивости (в примере в первом приближении это расстояние между источниками звука и микрофоном).

В линейных системах запас устойчивости по параметру χ элемента определяют в зависимости от места включения элемента по формуле [30]

		1	,	(3.19)
0		S H (ω) ωкр,χ0 1
		χ0

если элемент χ входит в числитель функции H(ω), а если элемент входит в знаменатель, то по формуле

χ		1			,				(3.20)
χ0 =
	S H (ω) ωкр ,χ0
		χ0
причем в формулах (3.19) и (3.20) обозначено
H( )		кр , 0	=	H ωкр ,χ				χ0
S 0					χ			H ωкр ,χ0	,
							χ=χ0

где ωкр – критическая частота, т. е. частота, на которой система возбуждается; H(ω)—амплитудно-частотная характеристика, полученная из функции системы K(s) после перехода от неѐ с помощью преобразования Фурье (формальной

заменой оператора Лапласа s j	оператором Фурье s jω ) и
нахождения модуля

K jω B jω A jω H ω

Из (3.19) и (3.20) несложно перейти к чувствительности

	S H (ω) ωкр	,χ0	χ0		1;	S H (ω) ωк р,χ 0		χ0		(3.21)
			χ					χ
	χ 0					χ 0
	Из выражений (3.21) видно, что для того чтобы функции относительной
	чувствительности	S H ω на любых частотах изменялись в пределах от 0 до 1,
		χ0
	необходимо синтезировать				систему, в которой		,			т.е. запас устой-

чивости по параметру χ равен бесконечности. Если соотношения (3.21) выполняются для всех элементов линейной системы, то она имеет бесконечный запас устойчивости по всем элементам без каких дополнительных условий.

Следовательно, система с бесконечным запасом устойчивости по всем элементам, имеет функцию относительной чувствительности к вариациям параметров всех элементов, лежащую в интервале от 0 до 1 на всех частотах.

Конечно, функция относительной чувствительности равная нулю к вариациям параметров какого-либо элемента не возможна, так как это достигается только в двух случаях. В первом – элемент не входит в функцию H(ω) и тогда он не нужен, во втором – он входит во все коэффициенты H(ω) и сокращается как общий множитель числителя и знаменателя этой функции.

Второй случай практически часто реализуется приближѐнно при использовании операционных усилителей в электронных устройствах. При этом выражение для H(ω) является первым приближением точного описания H(ω) (обычно с погрешностью, не превышающей долей процента). Линейные системы, в которых параметры элементов могут принимать любые значения, не изменяющие вид K(s), в работе [32] названы безусловно устойчивыми , но в настоящей работе мне кажется более целесообразно называть такие системы структурно устойчивыми. Тем более, что

Таким образом, при проектировании высококачественных систем необходимо обеспечивать структурным путем относительную чувствительность еѐ характеристик не выше единицы при изменении параметров всех элементов в рамках технологических и эксплуатационных ограничений.

3.5. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА СИСТЕМ

Такую чувствительность можно реализовать в сложных системах прежде всего, в классе систем без обратных связей. Такой же чувствительностью будут

обладать последовательное или параллельное соединение	безусловно
устойчивых блоков, в каждом из которых могут быть обратные связи.
Известные критерии устойчивости систем не дают	критериев

безусловной устойчивости для ещѐ не спроектированных систем. Такие критерии ориентированы на анализ устойчивости уже существующих систем.

Поставленная проблема решается в два шага. На первом шаге в результате решения задачи аппроксимации A характеристик будущей системы находится еѐ математическая модель D(Z,s), удовлетворяющая критериям

устойчивости. Поэтому согласно (2.6) на следующих двух этапах

структурного аспекта проектирования используется модель K(s), в которой вместо численных коэффициентов zi, используются символьные коэффициенты ai иbj. Из всех критериев устойчивости только критерии Гурвицаоперируютс символьными коэффициентами знаменателя функции K(s). Модернизируем критерии Гурвица [1] для построения критериев безусловной устойчивости.