ОиАСУ / Лабораторная работа 4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

Поведение решений дифференциальных уравнений 2-го порядка в окрестности особых точек

Рассмотрим автономную систему второго порядка: Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx₁ /dt и dx₂ /dt зависят только от x₁ и x₂ и не зависят от t.

Обозначим и  . Пусть — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения задают в параметрической форме кривую на плоскости . Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы.Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы.

Точка , в которой правая часть системы обращается в нуль, , называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

Точка покоя называется устойчивой по Ляпунову, если: 1) существует такое , что для при существует решение задачи Коши с начальным условиям  ; 2) для всякого существует такое , что если и , то при всех . Устойчивая точка покоя называется асимптотически устойчивой, если при достаточно малых .

Очевидно, что линейная автономная система имеет единственную точку покоя: x₁(t) = 0, x₂(t) = 0, при всех . При этом характер точки покоя (0, 0) (ее устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по значениям собственных чисел l₁ и l₂ матрицы системы. А именно, пусть l₁ и l₂ — собственные значения матрицы A исследуемой системы:

• если l₁ и l₂— действительные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называется устойчивым узлом (пример 1);

• если l₁ и l₂ — действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом (пример 2);

• если l₁ и l₂ — действительные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и называется седлом (пример 3);

• если l₁ и l₂ — комплексные числа, l_1,2 =Rell ± Imll и Rel не превышает нуля, то точка покоя устойчива, точнее, при Rel =0 точка устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром (пример 4), при Rel< 0 она асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусом (пример 5), а если Rel>0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом (пример 6);

• если l₁ = l₂ - отличные от нуля  действительные числа, то точка покоя — узел специального вида, называемый диакритическим, устойчивым при отрицательных l₁ = l₂ и неустойчивым при положительных l₁ = l₂ (пример 7);

• если l₁ = 0 и l₂ № 0, то существует прямая, проходящая через начало координат, все точки которой являются точками покоя (пример 8);

• если l₁ = l₂ = 0, то все точки плоскости являются точками покоя.

Задание. Автономная система:

Коэффициенты уравнений системы заданы в таблице. Построить фазовые кривые в окрестности особых точек.

Вариант 1.

№ задания
1.	3	0	1	-1
2.	2	1	1	2
3.	-1	4	1	-1
4.	1	5	-1	-1
5.	1	-2	4	-3
6.	1	4	-4	1
7.	-2	0	0	-2
8.	1	2	2	4

Вариант 2.

№ задания
1.	-1	-2	1	-4
2.	4	3	-2	-1
3.	-1	1	4	-1
4.	-1	1	-5	1
5.	-3	-4	2	1
6.	1	-4	1	1
7.	1	0	0	1
8.	2	-1	4	-2

Вариант 3.

№ задания
1.	-2	1	1	-2
2.	4	-2	3	-1
3.	1	4	1	1
4.	-1	5	-1	1
5.	-1	-2	4	3
6.	1	-1	4	1
7.	2	0	0	2
8.	-1	2	-2	4

Вариант 4.

№ задания
1.	-1	1	-2	-4
2.	-1	-2	3	4
3.	2	0	2	-1
4.	1	1	-5	-1
5.	-3	4	-2	1
6.	1	4	-1	1
7.	3	0	0	3
8.	2	-1	4	-2

Вариант 5.

№ задания
1.	-4	2	-1	-1
2.	-1	-2	3	4
3.	1	1	4	1
4.	-1	-5	1	1
5.	3	2	-4	-1
6.	1	1	-4	1
7.	-3	0	0	-3
8.	1	-2	-2	4

Пример 1: Поведение решений в окрестности устойчивого узла.

Рассмотрим автономную систему

ее собственные значения и – отрицательные действительные числа. Следовательно, точка покоя (0,0) – устойчивый узел.

Решение: Исследуем характер точки покоя линейной автономной системы.

Определим номер первой компоненты вектора равным 1 (а не 0, как положено по умолчанию):

Такая запись приведена только для удобства восприятия. Условия задачи будут записаны ниже.

Определим матрицу системы и найдем ее собственные значения:

Для того чтобы ввести матрицу системы, щелкните по символу матрицы в панели Matrix, определите в окне размерности число строк (2) и число столбцов (2), а затем введите в помеченных позициях элементы матрицы Функция eigenvals вычисляет собственные значения матрицы, указанной в качестве аргумента

Собственные значения - отрицательные действительные числа. Точка покоя - устойчивый узел.

Построим векторное поле системы.

Определим правые части системы.

Определим на прямоугольнике [-1,1][-1,1] квадратную сетку и вычислим правые части в узлах этой сетки:

Для того чтобы поставить знак продолжения значений индекса <..>, щелкните по соответствующему символу в панели Calculator.

Для того чтобы построить векторное поле, щелкните в панели Graph по пиктограмме векторного поля (Vector Field Plot) и введите в помеченной позиции имена матриц, содержащих компоненты векторного поля.

Построим фазовый портрет - семейство фазовых кривых. Для этого решим задачу Коши с различными начальными условиями, построим фазовые кривые, отвечающие вычисленным приближенным решениям. Для решения задачи методом Рунге-Кутты воспользуемся функцией rkfixed.

Определим правую часть системы D(t,Y).	Для того чтобы ввести правые части системы в векторной форме, щелкните по символу матрицы в панели Matrix, определите в окне размерности число строк (2) и число столбцов (1), а затем введите в помеченных позициях выражения для вычисления правых частей.

Вычислим приближенное решение, выполнив методом Рунге-Кутты 4-го порядка 100 одинаковых шагов; обозначим приближенное решение Y1:

В первом столбце матрицы Y1 хранятся значения значения t в узлах сетки, во втором столбце - соответствующие значения решения, в третьем - значения производной решения.

Определим несколько начальных условий, решим соответствующие задачи Коши и построим фазовые траектории:

Для того чтобы построить фазовую кривую, щелкните в панели Graph по пиктограмме двумерного декартова графика (X-Y Plot) и введите в помеченной позиции возле оси абсцисс имя второго столбца, а возле оси ординат - имя третьего столбца матрицы, содержащей приближенное решение.

Для того чтобы ввести номер столбца, щелкните по символу столбца в панели Matrix и введите номер столбца в помеченной позиции в угловых скобках.

Пример 2. Поведение решений в окрестности неустойчивого узла

Рассмотрим автономную систему:

ее собственные значения и – положительные действительные числа. Следовательно, точка покоя (0,0) – неустойчивый узел.

Решение: Исследуем характер точки покоя линейной автономной системы.

Определим номер первой компоненты вектора равным 1 (а не 0, как положено по умолчанию):

Такая запись приведена только для удобства восприятия. Условия задачи будут записаны ниже.

Определим матрицу системы и найдем ее собственные значения:

Для того чтобы ввести матрицу системы, щелкните по символу матрицы в панели Matrix, определите в окне размерности число строк (2) и число столбцов (2), а затем введите в помеченных позициях элементы матрицы Функция eigenvals вычисляет собственные значения матрицы, указанной в качестве аргумента

Собственные значения - положительные действительные числа. Точка покоя - неустойчивый узел.

Построим векторное поле системы.

Определим правые части системы:

Определим на прямоугольнике [-1,1][-1,1] квадратную сетку и вычислим правые части в узлах этой сетки:

Для того чтобы поставить знак продолжения значений индекса <..>, щелкните по соответствующему символу в панели Calculator.

Для того чтобы построить векторное поле, щелкните в панели Graph по пиктограмме векторного поля (Vector Field Plot) и введите в помеченной позиции имена матриц, содержащих компоненты векторного поля.

Построим фазовый портрет - семейство фазовых кривых. Для этого решим задачу Коши с различными начальными условиями, построим фазовые кривые, отвечающие вычисленным приближенным решениям. Для решения задачи методом Рунге-Кутты воспользуемся функцией rkfixed.