Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Uch_pos_po_TAU.doc
Скачиваний:
89
Добавлен:
22.03.2016
Размер:
5.07 Mб
Скачать

115

Федеральное агенство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт – Петербургский государственный университет технологии и дизайна»

В.Я.Энтин

Основы теории автоматического управления

(Линейные системы автоматического регулирования, часть 1)

Учебное пособие

Рекомендуется для подготовки бакалавров по направлению

220700.62 Автоматизация технологических процессов и производств.

Профиль подготовки: Автоматизация и управление

Утверждено Редакционно-издательским Советом

Университета в качестве учебного пособия

Санкт - Петербург

2013

1. Основные сведения об автоматизации и управлении

1.1. Основные понятия и определения

Все рабочие процессы, выполняемые человеком для получения продукции, представляют собой направленную совокупность действий – операций, которые условно можно разделить на два вида: рабочие операции и операции управления.

К рабочим операциям относятся действия непосредственно необходимые для выполнения рабочего процесса. Замена труда человека в рабочих операциях работой механизмов называется механизацией.

В

механизированном производственном процессе человек продолжает принимать участие. Это участие сводится к выполнению операций управления. К операциям управления относятся действия, посредством которых обеспечивается в нужные моменты времени начало, порядок следования и прекращение рабочих операций, а также назначаются необходимые скорости и ускорения рабочим инструментам. С помощью операций управления выделяются энергетические ресурсы, необходимые для выполнения рабочего процесса.

Замена труда человека в операциях управления работой технических устройств называется автоматизацией.

Технические устройства, выполняющие операции управления называются автоматическими устройствами.

Совокупность технических устройств ( машин, орудий труда, средств механизации), выполняющих рабочий процесс, с точки зрения управления является объектом управления.

Совокупность автоматических устройств и объекта управления образует систему управления.

Система, в которой все управляющие операции выполняются автоматическими устройствами (без участия человека) называется автоматической системой управления (САУ). Если задачей САУ является только поддержание некоторого параметра (регулируемой величины) на заданном постоянном уровне или изменение его по заданному закону, то такая автоматическая система называется системой автоматического регулирования (САР).

Система, в которой автоматизирована только часть операций управления, а другая часть операций (как правило, наиболее ответственная) выполняется человеком, называется автоматизированной системой управления.

Теория автоматического управления является теоретическим обоснованием автоматизации. Отрасль науки и техники, занимающаяся разработкой систем автоматического управления, называется автоматикой.

Первым в мире автоматическим устройством стал автоматический регулятор, изобретенный в 1765г. русским механиком Ползуновым И.И. [1]. Этот регулятор по составу элементов и принципу работы фактически стал первой в мире системой автоматического регулирования. Система предназначалась для регулирования уровня воды в котле паровой машины Ползунова. Принципиальная и структурная схемы системы представлены на рис.1.1 и рис.1.2. В системе объектом управления ОУ я

вляется котел с водой, регулируемой величиной – высота уровня Н. Заданная величина уровня НЗАД устанавливается регулировкой длины стержня, соединяющего двуплечий рычаг с поплавком. Поплавок в системе является чувствительным элементом ЧЭ. Чувствительный элемент измеряет текущее значение уровня - Н и определяет величину отклонения уровня воды в котле ΔН = НЗАД – Н. Функцию регулирующего органа РО выполняет установленная на рычаге заслонка, которая прикрывает доступ воды в котел через патрубок при нежелательном повышении уровня и открывает доступ воды в противном случае. Внешним возмущающим воздействием f, приводящим к снижению уровня в котле, является потребление пара из котла. Обратная связь в регуляторе образована связью между текущим положением уровня жидкости в котле и положением чувствительного элемента. В настоящее время принцип построения систем автоматического регулирования, основанный на измерении отклонения регулируемой величины, называется принципом Ползунова.

Все системы автоматического регулирования САР разделяются на системы прямого и непрямого действия.

Системой автоматического регулирования прямого действия называется такая система, в которой воздействие чувствительного элемента на регулирующий орган осуществляется без привлечения дополнительного источника энергии. Только что рассмотренная система регулирования уровня является системой регулирования прямого действия, так как в системе для регулирования используется только энергия чувствительного элемента – поплавка, который при изменении уровня перемещается вверх или в низ.

С

истемой регулирования прямого действия является также и система (рис.1.3) автоматического регулирования частоты вращениявала тепловой машины 1. Основу этой системы составляет центробежный регулятор Д . Уатта. Регулирующим органом регулятора является задвижка 6, которая получает перемещение от чувствительного элемента. Чувствительный элемент представляет собой центробежный механизм, состоящий из вращающихся грузов 2, соединенных шарнирными тягами 3 с подвижной втулкой 4. На подвижную втулку с верху в направлении оси У действует сила предварительного сжатия пружины -Fпр. В противоположном направлении действует центробежная сила -Fцб, обусловленная вращением подвижных грузов. Регулируемой величиной является частота (скорость) вращения вала тепловой машины ω. Заданная величина ωзад в регуляторе устанавливается предварительным поджатием пружины 5. В результате влияния возмущений f(t) регулируемая величина может отличаться от заданной. В этих случаях под действием разности сил ΔF=Fпр -Fцб подвижная втулка 4 переместится в сторону, соответствующую знаку разности и задвижка 6 также изменит свое положение. В результате изменится количество топлива, поступающего в двигатель.

Из материала следует, что регулирующий орган в этой системе, как и в предыдущей системе, приводится в действие энергией чувствительного элемента. Очевидно, что для регулирования чувствительный элемент должен быть достаточно мощным устройством. Если мощности у чувствительного элемента недостаточно, то уменьшается точность регулирования. Например, точность регулирования в рассмотренной системе достигается лишь в том случае, когда чувствительный элемент способен создавать усилия, достаточные для перемещения заслонки 3 и преодоления сил трения, возникающих в подвижных соединениях . Однако во многих случаях мощности чувствительного элемента оказывается недостаточно. В таких случаях между чувствительным элементом и регулирующим органом встраивается усилитель, в результате чего получается система непрямого регулирования.

Системой автоматического регулирования непрямого действия называется такая система, в которой чувствительный элемент воздействует на регулирующий орган не непосредственно, а через специальные усиливающие и преобразующие элементы, питаемые добавочным источником питания.

Примером такой системы может служить система регулирования скорости тепловой машины. На рис.1.4 изображена схема усилительного устройства, которым дополняется предыдущая система прямого действия, изображенная на рис.1.3. В состав устройства входят: гидравлический цилиндр с поршнем 1; управляющий золотник 2; подвижный шток золотника 3.

То

В качестве дополнительного источника энергии используется гидравлическая насосная станция с давлением рабочей жидкости Рн. Перемещения штока золотника (У) осуществляются в результате движения подвижной втулки 4 центробежного измерителя скорости (рис.1.3). Вследствие малых размеров управляющего золотника, требуются небольшие усилия для перемещения подвижного штока золотника. Сила же давления штока гидравлического усилителя на рычаг заслонки 4 (например, при его движении в низ). определяется величиной рабочего давления Рн и площадью поршня 1 и поэтому может быть достаточной для перемещения заслонки даже с учетом возможных сил трения.

На рис.1.5 изображена структурная схема рассматриваемой САР. Видно, что в отличие от структурной схемы на рис.1.2 в данную схему системы между чувствительным элементом и регулирующим органом введен дополнительный элемент – усилитель (рис.1.5а).

Обратная связь в системе образована функциональной связью между текущей скоростью вращения с положением подвижной втулки 4, взаимодействующей с пружиной 5. Чувствительным элементом в регуляторе Д.Уатта являются вращающиеся грузы 2 (рис.1.3).

Системы автоматического регулирования разделяют на две группы: системы статические и системы астатические.

Статические системы. Система автоматического регулирования называется статической по отношению к возмущающему воздействию f, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому постоянному значению, отклонение регулируемой величины также стремится к постоянному значению, зависящему от величины возмущения.

На рис.1.6,а изображена кривая 1, показывающая изменение отклонения регулируемой величины, после приложения к системе в момент времени t = 0 возмущения f = f1. На этом же рисунке изображена кривая 2, соответствующая случаю, когда f =f2. Видно, что величина статической ошибки хст зависит от действующего возмущения. На рис.1.6,б приведен пример простейшей системы автоматического регулирования уровня жидкости в емкости. Объектом регулирования в системе является резервуар с жидкостью. Устройство регулирования (регулятор)состоит из поплавка, рычага и задвижки.

Через трубу Т1 жидкость вливается в емкость, через трубу Т2 жидкость выливается из емкости. Расход жидкости через трубу Т2 зависит от потребителя. При равенстве расходов жидкости через трубы Т1 и Т2 уровень жидкости в емкости (Н) остается постоянным, что соответствует установившемуся состоянию системы.

В качестве возмущающего и регулирующего воздействий можно рассматривать соответственно расходы жидкости через трубы Т2 и Т1.

При увеличении расхода жидкости через трубу Т2 (появилось возмущение) уровень жидкости в емкости понижается, поплавок опускается и переставляет задвижку, увеличивая степень ее открытия. Количество жидкости, поступающей через трубу Т1 увеличивается и уровень жидкости повышается. Установившееся состояние наступит при равенстве расходов жидкости через обе трубы – Т1 и Т2. Однако, этому установившемуся состоянию будет соответствовать другой, пониженный уровень жидкости в емкости - Н0. Чем больше расход жидкости через трубы Т1 и Т2, тем больше открыта задвижка и, следовательно, тем ниже в установившемся состоянии будет уровень жидкости в емкости.

Таким образом, в подобных системах установившееся состояние наступает при различных значениях регулируемой величины, зависящих от действующих возмущений.

Астатические системы. Система автоматического регулирования называется астатической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому постоянному значению, отклонение регулируемой величины стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия.

На рис.1.7,а изображена кривая, показывающая изменение отклонения регулируемой величины после приложения к системе в момент времени t = 0 возмущения f = f1. Видно, что с течением времени величина отклонения стремится к нулю.

На рис.1.7,б изображена схема астатической системы регулирования уровня жидкости в емкости. При увеличении или уменьшении расхода жидкости поплавок опускается или поднимается относительно регулируемого уровня - . Но в отличие от предыдущей системы рычаг, связанный с поплавком воздействует не на заслонку, а замыкает верхний -1 или нижний -2 контакт обмоток возбуждения. При этом двигательначинает вращаться в таком направлении, чтобы выполнить необходимое перемещение задвижки.

Очевидно, что в этой схеме установившееся состояние в системе при любой величине возмущения (изменении расхода через трубу Т2) может иметь место только при одном определенном значении регулируемой величины, соответствующей нейтральному положению среднего контакта, расположенного на левом конце рычага. При достаточно малом расстоянии между контактами 1 и 2 статическая ошибка в системе будет близка к нулю.

1.2. Принципы управления и определение САР

Существует три основных принципа построения САР, обеспечивающих выполнение требуемого закона изменения регулируемой величины: по разомкнутому циклу, замкнутому циклу и управление по возмущению (принцип компенсации).

Принцип разомкнутого управления. Принцип состоит в том, что алгоритм управления строится только на основе заданного алгоритма функционирования объекта и не контролируется по фактическому значению управляемой величины. Примером реализации данного принципа может служить система управления частотой вращения вала двигателя постоянного тока независимого возбуждения (рис.1.8). При перемещении движка 2 потенциометра 1 изменяется величина напряжения (Un) на входе в усилитель 3. В результате изменяется напряжение в обмотке возбуждения 4 генератора 5, величины тока в якорной обмотке двигателя 6 и частоты вращения вала двигателя ω. Частота вращения ротора двигателя измеряется с помощью тахогенератора 7 и показывающего прибора 8. Управляющей величиной в данной системе является перемещение движка потенциометраg. Регулируемой величиной является частота вращения вала двигателя. Из схемы следует, что в системе нет замкнутых путей, по которым бы проходил управляющий сигнал. Поэтому система является разомкнутой.

--

Для нормального функционирования систем построенных по принципу разомкнутого цикла необходимо, чтобы они были тщательно отградуированы. Сохранение градуировки обеспечивается жесткостью характеристик элементов, образующих систему. Однако известно, что с течением времени элементы системы изнашиваются, характеристики элементов меняются, и в итоге нарушается градуировка системы. В результате не достигается необходимая точность функционирования объекта и поэтому следует применять другие принципы управления.

Принцип управления по замкнутому циклу (принцип обратной связи). Принцип основан на измерении отклонения регулируемой величины от предписанного управлением значения с помощью применения обратной связи и элемента сравнения. Образующийся в результате сравнения сигнал отклонения (ошибки регулирования) используется для управления. За счет этого обеспечивается в замкнутых системах требуемый закон изменения регулируемой величины. Примером реализации данного принципа управления может служить система регулирования скорости вращения вала двигателя, изображенная на рис.1.9. Данная система отличается от предыдущей ( рис.1.8) тем, что в ней напряжение, вырабатываемое тахогенератором 7 не направляется на показывающий прибор 8 (рис.1.8), а по обратной связи подается на вход системы (рис.1.9), где сравнивается с напряжением потенциометра Un. В результате сравнения определяется отклонение регулируемой величины Δu = Un – Uтг. Далее сигнал ошибки регулирования Δu используется для формирования управления. На рис.1.10 представлена структурная схема системы. В схему вошли: измеритель И1; усилитель (У); исполнительный элемент (ИЭ), в составе генератора с обмоткой возбуждения; объект управления (ОУ) – это двигатель и измеритель (И2). Кроме указанных элементов в схему вошли устройство сравнения сигналов Un и Uтг и обратная связь.

Измеритель И1, измеряет величину управляющего воздействия g (величину перемещения движка потенциометра) и преобразует его в сигнал напряжения Un (управляющая величина). Измеритель И2, измеряет скорость вращения вала двигателя (регулируемую величину) и преобразует результат измерения также в сигнал напряжения Uтг.

Создание систем управления с разомкнутым принципом работы представляет собой обычно более легкую задачу, чем создание систем с замкнутым циклом работы. Однако, последние обладают рядом несомненных преимуществ. Благодаря своему принципу действия, основанному на измерении ошибки регулирования, системы с замкнутым циклом не требуют точной градуировки и в значительной мере сохраняют свою точность даже и в том случае, когда параметры элементов испытывают существенные изменения во время их работы.

В настоящее время оба принципа управления достаточно широко применяются. Однако, в дальнейшем будет рассматриваться лишь системы , работающие по замкнутому циклу. Такие системы обычно называют системами автоматического регулирования и им можно дать следующее определение:

Системой автоматического регулирования называется система, обладающая свойством сохранять требуемую функциональную связь между управляющими и регулируемыми величинами при помощи их сравнении и использования получающихся при этом разностей для управления.

В случае схемы системы, изображенной на рис.1.9 величинами между которыми необходимо сохранять требуемую функциональную связь являются сигналы Un и Uтг.

Изменения регулируемых величин вызываются не только управляющими , но и возмущающими воздействиями, приложенными к системе автоматического регулирования

Возмущающим называется всякое воздействие, которое стремится нарушить требуемую функциональную связь между управляющим воздействием и регулируемой переменной.

В случае рассмотренной системы регулирования возмущающим воздействием может быть изменение момента нагрузки, приложенного к валу двигателя, нарушение температурного режима работы обмоток двигателя и др.

Очевидно, что система регулирования по-разному должна вести себя в отношении к указанным двум типам воздействий. Управляющие воздействия должны определять изменения регулируемых переменных, возмущающие же воздействия ,наоборот, должны оказывать как можно меньшее влияние на изменения регулируемых переменных. Указанные воздействия отличаются также и местами их приложения к системе. Если управляющее воздействие может быть приложено к системе только через ее вход (через измеритель), то возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы.

Управление по возмущению (принцип компенсации). Так как отклонение регулируемой величины зависит не только от управления, но и от возмущающего воздействияf (рис.1.11), то закон управления целесообразно строить так, чтобы в установившемся режиме отклонение . Функциональная схема системы регулирования по возмущению представлена на рис.1.11, где: УУ - управляющее устройство, формирует составляющую управленияUg = F1(); РВ – регулятор по возмущению, формирует составляющую управленияUf = F2(f,); РО – регулирующий орган; ОУ – объект управления.

Для работы регулятора по возмущению необходимо иметь возможность для измерения возмущений, что не всегда оказывается возможным, так как в настоящее время практически отсутствуют такие измерители. Применение вычислительных устройств расширяет возможности для применения регуляторов и выводит этот принцип управления в число перспективных.

в

1.3. Основные элементы и классификация САР.

Любая САР состоит из объекта регулирования и регулятора. Автоматические регуляторы являются достаточно сложными устройствами. Однако, при всей их сложности, регуляторы всегда можно представить устройствами, состоящими из следующих основных элементов, рис.1.12:

1 - измерительный элемент, предназначен для измерения и преобразования управляющего воздействия в управляющую величину;

2 – устройство сравнения, установленное на входе системы выполняет операцию вычитания из входного сигнала, сигнала обратной связи с целью определения сигнала, соответствующего ошибке регулирования;

3 – последовательно включенный корректирующий элемент, служит для преобразования сигнала ошибки регулирования с целью придания системе требуемых динамических свойств;

4 – усилительный элемент, усиливает сигнал управления;

5 – исполнительный механизм, вырабатывает регулирующее воздействие, прикладываемое к объекту управления. Механизм содержит исполнительный элемент ( как правило, двигатель), промежуточное устройство (редуктор или др. преобразователь) и регулирующий орган непосредственно воздействующий на объект управления;

6 – параллельно включенный корректирующий элемент – для придания системе требуемых динамических свойств;

7 - объект управления;

8 – измерительный элемент, предназначен для измерения и преобразования регулируемой величины в сигнал главной обратной связи, совпадающий по виду энергии с входным сигналом;

9 – дополнительная обратная связь. Может быть гибкой, если корректирующий элемент 6 дифференцирует входной сигнал и жесткой в других случаях;

10 – главная (основная) обратная связь, для организации управления по замкнутому циклу.

П

Рис. 1.13. Упрощенный вариант изображения структурной схемы САР

ри изучении теории управления принято использовать также и упрощенные структурные схемы. Например, на схемах можно не изображать измерительные элементы, если рассматриваемый материал не относится к этим элементам. Более того, на схемах часто регулятор представляется в виде одного звена, если рассматриваемый материал не требует его поэлементного рассмотрения. После упрощений структурная схема САР принимает следующий вид Приведенные на схеме обозначения сигналов (рис.1.13) в дальнейшем изменяться не будут:

g – управляющее воздействие;

х – отклонение регулируемой величины (ошибка регулирования), определяется с помощью уравнения замыкания х = g – у, которое одновременно является уравнением сравнивающего устройства;

у – регулируемая величина;

u – сигнал управления от регулятора;

f – возмущающее воздействие;

u1 – сигнал управления, u1=f – y.

Следует указать, что все приведенные сигналы в общем случае являются функциями времени. В совокупности эти сигналы могут также называться переменными или координатами системы.

Если из схемы системы исключить сигнал управляющего воздействия , то ее назначение сведется только к парированию вредного влияния действующего возмущения. Подобного рода системы принято называтьсистемами автоматической стабилизации, отрабатывающими сигнал возмущения. Если управляющее воздействие постоянно (g=g0), то такие системы называют системами автоматического регулирования (САР). Если управляющее воздействие непрерывно изменяется, то системы относят к программным (если закон изменения воздействия соответствует некоторой известной программе) или к следящим системам, если этот закон является произвольным.

1.4. Требования к САР

При определении САР указывалось, что эти системы должны иметь свойство сохранять требуемую функциональную зависимость между изменениями управляющего воздействия и изменениями регулируемой величины. Однако, чем точнее поддерживается функциональная связь, тем дороже система. Поэтому очень важно правильно сформулировать требования к САР, которые отличают реальную систему от идеальной системы.

Если на вход системы автоматического регулирования подать управляющий сигнал g(t) = g0 (рис.1.14,а) и принять f(t) = 0, то на выходе системы возможны следующие виды процессов изменения регулируемой величины у(t):

1. Не колебательный процесс (рис.14,б). Кривая у(t) ограничена по величине и соответствует форме сигнала управляющего воздействия (рис.14,а) после прохождения некоторого отрезка времени, называемого временем переходного процесса. Такого типа процессы соответствуют устойчивым системам;

2. Колебательный процесс (рис.14,в). Кривая у(t) ограничена по величине, и после завершения колебаний соответствует форме сигнала управляющего воздействия. Процесс также соответствует устойчивой системе;

3. Не колебательный процесс (рис.1.14,г). Кривая у(t) не ограничена по величине и не стремится к форме сигнала управляющего воздействия. Процесс соответствует неустойчивой системе. Такие системы не работоспособны;

4. Колебательный процесс (рис.1.14,д). Кривая не ограничена по величине и не стремится к форме сигнала управляющего воздействия, Поэтому данный процесс также соответствует неустойчивой и неработоспособной системе.

Из представленного материала следует, что только устойчивые системы автоматического регулирования работоспособны. Неустойчивость систем обусловлена несовершенством регулятора. Следствием этого является нарушение энергетического баланса в системе. В результате этого по обратной связи на вход системы возвращается слишком много энергии, которая и раскачивает систему. Таким образом, главным требованием, предъявляемым к системам должно быть требование устойчивости САР.

Устойчивые системы обладают свойством, при котором отклонение регулируемой величины от требуемого закона изменения с течением времени стремится к нулю, т.е. х(t) = g(t) – y(t) = 0 (при t→∞). Свойство устойчивости САР обеспечивается подбором значений параметров элементов регулятора (моменты инерции вращающихся тел, постоянные времени корректирующих устройств, и т.д.). В процессе работы с течением времени значения параметров могут изменяться. Система же при этом не должна терять свойства устойчивости. Следовательно, САР должна обладать еще и некоторым запасом устойчивости. Чем он выше, тем больше гарантии устойчивой работы системы.

Не менее важными являются требования, предъявляемые к поведению системы в переходном процессе.

Переходный процесс в системе возникает всегда после приложения к ней внешнего воздействия. При исследовании систем в качестве такого воздействия применяется единичная ступенчатая функция (типовое воздействие – единичный скачек). Обозначается: g(t) = 1(t). Графически единичный скачок изображается так же, как и на рис.1.14,а, только величина воздействия g0 должна быть равна 1(t).

На рис.1.15 изображена кривая изменения регулируемой величины у(t), после приложения к системе типового воздействия. Часть кривой в интервале времени [0, tn] является переходным процессом. За переходным процессом располагается часть кривой, соответствующей установившемуся режиму в системе. Из рисунка следует, что на установившемся режиме кривая у(t) продолжает изменяться. Однако считается, что этими изменениями можно пренебречь.

Переходный процесс характеризуется следующими показателями качества регулирования:

1.Максимальное отклонение регулируемой величины умах. Допустимое значение этого показателя устанавливается заказчиком ;

2. Перерегулирование – σ % = [ymax - y(∞)]*100 / y(∞), где у(∞) – установившееся значение регулируемой величины (при t →∞). Максимальная величина перерегулирования не должна превышать 30%;

3. Время переходного процесса tn, т.е. время, прошедшее от момента приложения воздействия (t = 0) до момента входа кривой у(t) в трубку переходного процесса размером 2Δ ( Δ =0.010.05) у(∞)). Допустимая величина времени tn устанавливается заказчиком системы;

4. Количество колебаний регулируемой величины за время переходного процесса. Форма переходного процесса задается – с колебаниями или без них. Если переходный процесс предполагается иметь с колебаниями, то количество колебаний должно быть не больше трех.

Считается, что система автоматического регулирования имеет удовлетворительные (или хорошие) динамические свойства, если ее переходный процесс отвечает перечисленным выше требованиям.

Употребив выражение «динамические свойства» уместно определить термин «динамика». В обучении, динамика – это раздел механики, занимающийся изучением движения тел под действием приложенных к ним сил. В управлении, слово «динамика» можно понимать как движение переменных (координат) системы под влиянием приложенных к ней внешних воздействий, а сочетание слов «динамические свойства» – как инструмент обобщенной оценки качества этого движения. Динамические свойства могут быть удовлетворительными и неудовлетворительными.

Другими важными требованиями к САР являются:

требование к величине ошибок систем автоматической стабилизации при нахождении их в установившемся состоянии (статическая точность) хст= g(t) – y(t)| t→∞;

требование к динамической точности, применяется для следящих систем и систем с программным управлением хдин(t) = g(t) – y(t). Уже известно, что в этих системах управляющее воздействие изменяется непрерывно в процессе всей работы. Поэтому статические ошибки для этих систем не характерны. Количественные характеристики требований зависят от типа разрабатываемых систем и указываются в технических заданияx.

1.5. Линейные законы регулирования

Законом регулирования называется зависимость между регулирующим воздействием и отклонением регулируемой величины от заданного значения.

Математически закон регулирования определяется уравнением автоматического регулятора. Для систем автоматического регулирования закон регулирования в простейшем случае записывается в виде

u(t) = f [x(t)].

В общем случае закон регулирования включает в описание не только ошибку регулирования, но и ее производные и интегралы

u(t) = f [, ,…].

На практике используются следующие законы регулирования:

1. Пропорциональный закон регулирования

u(t) = kp x(t), (1.1)

kp – параметр настройки регулятора.

Регулятор в этом случае называется П – регулятор.

Исследуем особенности этого закона регулирования. После дифференцирования получим

. (1.2)

Выясним, характерна ли системе с рассматриваемым законом регулирования статическая ошибка. Уже известно, что статическая ошибка хст характеризует точность системы автоматической стабилизации в установившемся режиме. Отметим, что на установившемся режиме сигнал управления от регулятора (рис.1.16) не изменяется, следовательно,=0. Из этого делаем вывод, что в выражении (1.2) скоростьтакже равна нулю. Однако при этом ошибка регулирования может быть отличной от нуля. Это означает, что системе с П – законом регулирования характерна статическая ошибка. Это является недостатком.

Преимуществом закона регулирования является то, что сигнал управления от регулятора возникает одновременно с появлением ошибки регулирования. При этом величина сигнала пропорциональна ошибке. Это способствует уменьшению времени регулирования.

2. Интегральный закон регулирования

= , (1.3)

Kи – параметр настройки регулятора.

Регулятор в этом случае называется И – регулятор.

Выполним дифференцирование выражения (1.3). В результате получим

(1.4)

На установившемся режиме . Из выражения (1.4) следует, что в этом случае и ошибка регулирования. Следовательно, системе регулирования с И – законом регулирования не характерна статическая ошибка. Это свойство повышает точность регулирования и является преимуществом закона регулирования. Однако из выражения (1.3) следует,

. (1.5)

Из выражения (1.5) следует, что в самом начале регулирования при t ≈ 0 и , хотя величина ошибки при этом может быть значительной. Это приводит к тому, что процесс регулирования в начальной фазе оказывает несущественное влияние на объект регулирования. При увеличении времени влияние на объект усиливается. Получается, что процесс регулирование как – бы отстает от процесса появления и изменения ошибки. В результате регулирование оказывается растянутым по времени. Процессу регулирования характерны колебания регулируемой величины.

3. Пропорционально – интегральный закон регулирования

u(t) = kp[x(t) + ], (1.6)

- параметр настройки регулятора, .

Регулятор в этом случае называется ПИ – регулятор.

Применение данного закона регулирования позволяет устранить недостатки и использовать преимущества рассмотренных первых двух законов. В результате получается не длительное регулирование и без статической ошибки на установившемся режиме.

4. Пропорционально – дифференциальный закон регулирования

u(t) = kp[+ , (1.7)

- параметр настройки регулятора, .

Регулятор в этом случае называется ПD – регулятор.

Наличие производной в законе позволяет ввести в процесс регулирования эффект опережения, в результате чего регулятор вступает в работу уже в тот момент времени, когда ошибка регулирования еще равна нулю, т. е. при регулировании улавливается скорость изменения ошибки. Использование этого эффекта позволяет уменьшить время регулирования. Это является преимуществом данного закона регулирования.

5. Пропорционально – интегрально- дифференциальный закон регулирования

u(t) = kp(x(t) + . (1.8)

Наличие в законе трех составляющих позволяет добиться высокого качества, как в переходных процессах, так и на установившихся режимах регулирования.

2. Уравнения элементов САР. Получение уравнений

Для получения описаний уравнений элементов используются физические законы, определяющие их поведение в системе. Обычно такими законами являются:

второй закон Ньютона в виде

для описания прямолинейного движения тела (m – масса, F – движущая сила, - линейная скорость движения ), а также для описания вращательного движения тела в виде (- момент инерции вращающейся массы,- вращающий момент,- угловая скорость);

закон сохранения энергии в виде

- для описания изменения температуры тела c массой и удельной теплоемкостьюпод действием приложенного теплового потока;

уравнение состояние газа в виде - для установления математической связи давления газа, его температурыи объемафизически однородной системы в состоянии термодинамического равновесия (R – газовая постоянная, - масса газа).

Кроме указанных применяются и другие законы физики, например, устанавливающие связь между электрическими переменными и параметрами различных электромеханических устройств, применяемых в системах управления и т. д.

Математическое выражение физического закона, который описывает процесс, протекающий в данном элементе, является исходным уравнением. Это уравнение может быть дополнено другими зависимостями, определяющими его функциональные связи с другими элементами системы. Эти зависимости в отдельных случаях могут быть нелинейными. Поэтому в общем случае получаемое уравнение элемента также может быть нелинейным.

В ряде случаев нелинейные описания могут быть линеаризованы, т. е. представлены приближенными линейными уравнениями. Если нелинейности мало отличаются от их линеаризованных представлений, то погрешности от линеаризации для практики оказываются несущественными.

Рассмотрим пример. Пусть требуется получить уравнение для емкости с газом, рис.1.17. При этом емкость будем рассматривать как объект, в котором требуется регулировать давление газа. Обозначим через Рг, Тг и Vг соответственно давление, температуру и объем газа в емкости. Массовые расходы газа в емкость и из емкости обозначим соответственно символами GП и GB.

Исходным уравнением, отражающим термодинамическое равновесное состояние газа в емкости, служит уравнение состояния

. (1.9)

Дополняющими уравнениями являются зависимости, определяющие расходные характеристики :

GП = fП (ς , Р.г):

GB = fВг, Тг, r),

где параметр ς определяет режим работы компрессора, подающего газ в емкость, а параметр регулирует количество газа, выходящего из емкости.

Можно упростить, считая, что Tг = соnst и ς = сonst. В этом варианте можем записать, что :

GП = fП ( Р.г); (1.10)

GВ = fВг , r).

Расходные характеристики часто задаются в виде экспериментальных зависимостей. В данном случае эти характеристики являются нелинейными и имеют вид некоторых условных кривых, представленных на рис.1.18.

Для составления уравнения емкости запишем уравнение состояния в вид

= . Далее можно записать . Последнее выражение также соответствует записи. Приравнивая правые части двух равенств , получим искомое уравнение

(1.11)

Так как зависимости GB и GП нелинейные (рис.1.18), то и полученное уравнение является нелинейным. Уравнение (1.11) можно записать в символическом виде

F ( ) = 0. (1.12)

Видно, что в данном уравнении две переменные: и.Так как емкость рассматривается как объект регулирования, то можно утверждать, что давление газав емкости является регулируемой величиной, а перемещение заслонки- регулирующим воздействием.

2.1.Линеаризация нелинейных уравнений элементов САР

Линеаризацией называется операция замены действительного нелинейного уравнения элемента приближенным линейным. Линеаризация оказывается возможной, если выполняется исходная предпосылка.

Содержание предпосылки: в процессе функционирования элемента, уравнение которого линеаризуется, принадлежащие ему переменные должны изменяться так, чтобы их отклонения от значений, соответствующих установившемуся режиму оставались все время достаточно малыми.

Например, в нелинейном уравнении (8) переменными являются и. На установившемся режиме:и. В соответствии с предпосылкой в окрестности установившегося режима отклонение Δдолжно быть мало. Также должно быть мало и отклонение Δ, (- положение заслонки в установившемся режиме).

Пусть в общем случае нелинейное уравнение элемента имеет вид

= 0, (1.13)

где и- входная и выходная переменные элемента (рис.1.19),f1 – возмущение.

Для линеаризации уравнение (1.13) представляется разложением в усеченный ряд Тейлора:

F() = F0(0, 0, x0вых, 0, хвх, f01) + +Δ+++ ++Ч В П М = 0. (1.14)

В разложении индекс ‘0’ при частных производных означает, что после взятия частных производных в их выражения необходимо подставить численные значения переменных, соответствующих установившемуся режиму. Далее можно подсчитать численные значения частных производных и таким образом определить коэффициенты переменных и т.д.

Первый член разложения соответствует значению функции (1.13) на установившемся режиме. Для определения этого значения необходимо в выражение (1.13) подставить нулевые значения для производных и установившиеся значения для всех переменных.

В состав членов высшего порядка малости (Ч В П М) входят произведения высших и перекрестных частных производных на степени и произведения отклонений [2]. Степени и произведения отклонений являются малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка. В связи с этим и произведения степеней и произведений отклонений на постоянные коэффициенты являются малыми высшего порядка в сравнении с первыми членами разложения, вид которых приведен в разложении (1.14). Поэтому принимается допущение, что сумма этих членов равна нулю. Для получения линеаризованного описания уравнения необходимо из выражения (1.14) вычесть первый член разложения, Этот член разложения имеет постоянную величину и не должен учитываться при составлении описания.

С учетом принятого допущения и вычитания первого члена разложения линеаризованное описание нелинейного уравнения (1.13) представляется в виде:

Δ+Δ+Δ+

+ Δ+Δ+Δ= 0. (1.15)

Выражение (1.15) является линеаризованным дифференциальным уравнением элемента, динамические свойства которого описываются исходным нелинейным уравнением (1.13). Выражение (1.15) называется еще дифференциальным уравнением элемента в отклонениях. Отклонениями являются Δ, Δ, Δи т.д. Отклонения также называют и вариациями переменных,и т.д.

Необходимо отметить отличия данного уравнения от исходного нелинейного уравнения:

1. Уравнение является приближенным, так как в процессе его получения были отброшены малые высокого порядка;

2. Переменными функциями времени в этом уравнении являются не полные величины и, а их отклонения Δи Δот установившихся значенийи

3. Уравнение является линейным относительно отклонений Δ, Δ, Δ, Δс постоянными коэффициентами.

Приведем геометрическую интерпретацию выполненной линеаризации. Для этого изобразим графически зависимость функции при постоянных значениях всех остальных переменных:и т.д.

Пусть эта зависимость имеет вид кривой, изображенной на рис.1.20. Отметим на кривой т. С и будем считать, что эта точка и ее координата соответствуют установившемуся режиму. Проведем касательную к точке ‘С’. Тогда частная производнаяα, где α - угол наклона касательной к осив точке ‘С’.

Из содержания рис. 1.20 видно, что в результате линеаризации

=+ Δ=+(1.16)

Из формулы (1.16) следует, что линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена участка кривой ’СД’ на отрезке Δхвх на касательную к ней прямую, имеющую угол наклона α. Величина δ характеризует ошибку, возникающую в результате указанной замены. Видно, что точность линеаризации увеличивается при уменьшении отклонения Δхвх.

2.2. Формы записи линеаризованных уравнений элементов САР

В теории автоматического управления применяются две стандартные формы записи дифференциальных уравнений элементов.

Первая форма записи. Дифференциальное уравнение (1.15) записывается так, чтобы выходная величина хвых (рис.1.19) и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина хвх и все остальные члены – в правой части. Кроме этого принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом, равным единице. Приведем уравнение (1.15) к такому виду.

Разделим члены выражения (1.15) на коэффициент при отклонении Δи одновременно перенесем вправо члены с отклонениями Δ, Δи Δf1. В результате получим :

Δ+Δ=Δ+

+Δ+Δ.

Далее, необходимо обозначить коэффициенты: при отклонении Δсимволом, при отклонении Δсимволом, при отклонении Δсимволом, при отклонении Δсимволоми при отклонении Δf1 символом . В результате получим первую форму записи

Δ+Δ=Δ+Δ+Δf1. (1.17)

Уравнение (1.17) удобнее записывать в символической форме с помощью оператора дифференцирования . Примем также, в уравнении (1.17) Δ= 0. В этом случае уравнение принимает вид

ΔΔ. (1.18)

Рассмотренные выше уравнения записаны в отклонениях. В дальнейшем будут рассматриваться эти же уравнения, но в их записях будут опущены символы Δ. Случаи, когда в записи уравнений должны применяться не отклонения будут всегда указываться. С учетом этого замечания рассматриваемая форма записи уравнения принимает окончательный вид

(1.19)

В уравнении коэффициенты иназывают коэффициентами передачи, а коэффициентыипостоянными времени. В случае элементов, у которых переменныеиимеют одинаковые размерности для коэффициентовииспользуются и другие названия:

коэффициент усиления - для усилителей сигналов;

передаточное число – для редукторов, делителей напряжения и др.

Постоянные времени иимеют размерность времени. Размерности коэффициентов передачисвязаны с размерностями переменныхи могут быть определены из уравнения (1.19). Оператор дифференцированияимеет размерность

Вторая форма записи. В теории автоматического регулирования широко применяется понятие передаточной функции. Для определения этого понятия рассмотрим дифференциальное уравнение

(1.20)

Данное уравнение описывает динамические свойства некоторого элемента системы. Это описание будет полным, если его дополнить начальными условиями, определяющими состояние элемента в начальный момент времени, . Эти условия имеют види.

Согласно теории преобразования Лапласа величины:

;

; (1.21) называются изображениями функций оригиналов и. Видно, что эти изображения являются функциями параметра преобразования «». Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, изображения (1.21) часто обозначают следующим образом

,.

На основании теоремы о дифференцировании оригиналов получены изображения первой и второй производной

, (1.22)

Если умножить обе части уравнения (1.20) на множитель и проинтегрировать его по времениотдо, то на основании (1.21) и (1.22), можно перейти от уравнения относительно оригиналовик уравнению относительно изображений. Выполним это в два действия:

;

. (1.23)

Полученное выражение (1.23) позволяет найти в явной форме изображение в виде

. (1.24)

Далее обозначим

,

(1.25)

С учетом обозначений выражение (1.24) можно записать так :

(1.26)

В частном, но наиболее распространенном случае начальные условия равны нулю и поэтому. С учетом этого формула (1.26) примет более простой вид

. (1.27)

Выражение зависит исключительно от параметров элемента описываемого уравнением (1.20) и является его передаточной функцией .

Определение.

Передаточной функцией САР или другого какого-либо устройства называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является второй формой записи дифференциальных уравнений элементов САР. Например, уравнение (1.19) в этой форме должно иметь вид

.

Из этого же уравнения следует, что

. (1.28)

Видно, что при нулевых начальных условиях отношение изображений Лапласа входного и выходного сигналов совпадает с отношением их оригиналов. Поэтому в теории управления запись (1.28) принимают за передаточную функцию, считая ее второй формой записи.

3. Временные и частотные характеристики динамических звеньев

3.1 Понятие о динамическом звене

В автоматике все элементы автоматических систем подразделяются на динамические звенья.

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описываемое одним дифференциальным уравнением.

В соответствии с этим определением звенья разделяются по виду дифференциального уравнения на различные группы. Каждой группе могут соответствовать разнообразные устройства (механические, гидравлические, электрические и т.д.).

На схемах динамические звенья представляются в виде прямоугольников с входными и выходными сигналами (координатами), рис.1.21. Свойства звеньев проявляются через временные (динамические) и статические характеристики.

Структурная схема любой автоматической системы может быть представлена через динамические звенья.

Для разделения автоматических систем на звенья применяется свойство однонаправленности действия.

Это свойство состоит в том, что один или группа элементов обладающих этим свойством, находясь под воздействием предыдущих элементов, сами не оказывают на них обратного влияния.

Рассмотрим пример разбиения системы на звенья.

На рис.1.22 представлена система регулирования частоты вращения электрического двигателя. Принцип работы системы автоматического регулирования состоит в следующем. Частота вращения двигателя измеряется тахогенератором. Тахогенератор – это электрическая машина, которая вырабатывает напряжение, величина которого пропорциональна скорости вращения своего вала.

В системе напряжение подается на обмотку возбуждения электромашинного усилителя ЭМУ. На вход усилителя кроме сигналаподается еще и управляющее воздействие - сигнал , величина управляющего сигнала соответствует заданной частоте вращения двигателя.

Обмотка возбуждения и обмотка управления намотаны так, что их сигналы вычитаются. Поэтому на вход усилителя поступает разность Δ. Очевидно, что величина разности пропорциональна ошибке регулирования. Далее сигнал ΔU усиливается электромашинным усилителем и подается на вход двигателя в виде напряжения . В результате изменяется частота вращения двигателя в направлении уменьшения ошибки регулирования.

Пользуясь свойством однонаправленности действия, разобьем эту систему на звенья. Электрический двигатель находится под влиянием усилителя, сам же воздействия на усилитель не производит. Следовательно, усилитель и двигатель два различных звена.

Рис.1.22. Система регулирования частоты вращения двигателя

Тахогенератор находится под влиянием двигателя, сам же на двигатель воздействия не оказывает. Следовательно, опять два различных звена. Далее, тахогенератор оказывает воздействие на усилитель, обратного же воздействия со стороны усилителя нет. Следовательно, и здесь два звена.

В итоге с учетом функциональных связей между звеньями получаем следующую структурную схему САР, рис.1.23.

3.2. Временные характеристики динамических звеньев

Временными характеристиками звена являются переходная характеристика (функция) и функция веса. С помощью этих характеристик определяются динамические свойства звеньев.

Переходной характеристикой звена h(t) называется кривая переходного процесса на выходе звена, возникающего при подаче на его вход скачкообразного единичного воздействия хвх=1(t).

От формы переходной характеристики происходят названия некоторых типов звеньев. Для снятия переходной характеристики звено должно быть отключено от системы и на его вход подано единичное скачкообразное входное воздействие, рис.1.24,а. К выходу звена подключается регистрирующая аппаратура. Регистрирующая аппаратура позволяет зафиксировать на экране или на бумаге реакцию звена на это воздействие, т.е. переходную функцию h(t), рис.1.24,б.

Поясним физический смысл скачкообразного входного воздействия. Скачок входного сигнала по величине может соответствовать любым значениям. Важным здесь является то, что время нарастания сигнала от нуля до максимальной величины равно нулю. Это означает, что производная от входного сигнала → ∞. Точных эталонов таких сигналов практике нет. Их можно моделировать с некоторой условностью работой электрических, пневматических и др. выключателей, быстрыми изменениями нагрузки и т. д. За единицу скачкообразного воздействия обычно принимается 1 вольт, 1 паскаль, 1нм и т.д. Однако могут применяться и другие уровни сигналов:N вольт, N нм и т.д. В этих случаях переходная функция h(t) = хвых / N.

В теоретических исследованиях скачкообразное воздействие (скачок) может моделироваться точно.

Функция веса ω(t) – реакция звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход.

Единичная импульсная функция, или дельта – функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции =, рис.1.25,а. Дельта функция равна нулю везде кроме точкиt = 0, где она стремится к бесконечности.

Основное свойство дельта – функции заключается в том, что

= 1,

т.е. она имеет единичную площадь.

Функция веса при асимптотически стремится к нулю, рис.1.25,б.

Существует связь между переходной функцией и функцией веса [1]

=

Функция веса также связана с передаточной функцией звена преобразованием Лапласа

3.3. Статические характеристики звеньев

Статической характеристикой звена называется зависимость, определяющая изменения выходной координаты в зависимости от изменения входной координаты на установившемся режиме.

Если имеется описание звена, например, в виде уравнения , то для получения статической характеристики необходимо это уравнение записать для установившегося режима. В результате выражение для статической характеристики получается следующим

.

График статической характеристики изображен на рис.1.26.

Если описание звена отсутствует, то статическая характеристика звена может быть определена экспериментально. Для этого звено должно быть отключено от системы. Далее на вход системы необходимо последовательно подавать дискретные сигналы, а на выходе системы регистрирующей аппаратурой фиксировать значения выходных сигналов на установившихся режимах, соответствующих каждому дискретному входному сигналу.

3.4. Частотные характеристики звеньев

Частотные характеристики определяют реакцию звена на входной гармонический сигнал на установившемся режиме.

Частотная передаточная функция(ЧПФ).

Для определения ЧПФ рассмотрим динамическое звено рис.1.21 в случае, когда на входе имеется гармоническое воздействие. Пусть передаточная функция звена имеет вид

. (1.29)

Запишем уравнение звена

. (1.30)

Зададим на входе звена гармоническое воздействие

cos(ωt), (1.31)

где амплитуда, а ω – угловая частота.

Определим, каким будет сигнал на выходе звена на установившемся режиме? Для ответа на этот вопрос необходимо решить уравнение (1.30) с учетом воздействия (1.31). Рассмотрим это решение. Гармоническое воздействие (1.31) может быть разложено на две составляющие. Для этого необходимо воспользоваться известной формулой Эйлера [ 3]

соsφ =(e + e). (1.32)

C учетом (1.32) воздействие (1.31) можно представить в виде

e jωt + ejωt (1.33)

Если обозначить e и e jωt, то можем записать

(1.34)

Известный принцип суперпозиции позволяет сложить решения от составляющих ии таким способом получить полное решения. Поэтому воспользуемся этим принципом и найдем в начале решение уравнения (1.30) при входном воздействии

e jωt. (1.35)

Решение уравнения будем искать в виде

W(jω)e jωt (1.36)

В решении (1.36) неизвестной является выражение для W(jω). Найдем это выражение. Для этого подставим (1.35) и (1.36) в уравнение (1.30). Предварительно найдем значения производных :

(jω)2 e jωt W(jω);

(jω) e jωt W(jω);

(jω) e jωt.

Теперь выполним указанную подстановку

2 ++jt = (k1(jω) + k2)e jt.

Далее находим

(1.37)

Функция W(j) называется частотной передаточной функцией (ЧПФ) данного звена. Сравнивая выражения (1.29) и (1.37), можно установить, что выражение для ЧПФ звена может быть получено из выражения для передаточной функции звена при подстановке в нее вместо оператора произведения. Можно отметить, что сделанное замечание справедливо не только для получения ЧПФ звена, но и во всех других случаях.

Из выражения (1.37) следует, что ЧПФ комплексное число,

= + jV(ω) = A(ω)e j(ω), (1.38)

где U(ω) – действительная часть комплексного числа (ЧПФ);

V(ω) – мнимая часть комплексного числа;

А(ω) – модуль частотной передаточной функции (комплексного числа), ;

(ω) – аргумент частотной передаточной функции , .

Видно, что аргумент и модуль частотной передаточной функции являются функциями частоты.

C учетом (1.38) решение (1.36) принимает вид

A(ω)= (1.39)

Далее необходимо выполнить второе решение от составляющей

ωt.

B этом случае решение уравнения (21) будем искать в виде

хвых2 = W(jω)ejωt. (1.40)

Дальнейший порядок получения решения не отличается от предыдущего, поэтому целесообразно сразу записать результат решения

А(ω)ej[ωt+(ω)]. (1.41)

Для получения полного решения, отмеченный ранее принцип суперпозиции позволяет сложить полученные два решения (1.39) и (1.41)

(ω) [e j[ωt+(ω)] + ej[ωt+(ω)]].

Далее, если опять применить формулу Эйлера, то нетрудно получить окончательный результат решения

(ω) соs [ωt +(ω)]. (1.42)

Сравнивая выражения, соответствующие входному (1.31) и выходному (1.42) сигналам можем отметить, что звено изменило входной сигнал. Действительно, амплитуда выходного сигнала отличается от амплитуды входного сигнала множителем А(ω). Величина А(ω) зависит от частоты входного сигнала ω. Кроме этого выходной сигнал в сравнении с входным сигналом смещен по фазе на угол (ω). Величина этого угла также как и величина А(ω) зависит от частоты входного сигнала.

Зависимость А(ω) - амплитуды вынужденных колебаний выходного сигнала от частоты колебаний входного сигнала ω называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) звена.

Амплитудная частотная характеристика показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка делается по отношению амплитуд выходного и входного сигналов.

Зависимость () - смещение по фазе вынужденных колебаний выходного сигнала от частоты входного сигналаназывается фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) звена.

Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.

Выше указывалось, что частотная передаточная функция является комплексным числом (1.37). Следовательно, можем записать

. (1.43)

Модуль этого комплексного числа может быть найден как отношение модулей числителя и знаменателя ЧПФ

А()=, (1.44)

а его аргумент – как разность обратных функций

() = ­ . (1.45)

Для рассматриваемой частотной передаточной функции (1.31):

и .

Амплитудно – фазовая частотная характеристика (АФЧХ) устанавливает математическую связь между двумя уже рассмотренными характеристиками АЧХ и ФЧХ. Характеристика строится на комплексной плоскости. Для построения используется частотная передаточная функция W(J) = U()+jV(). При изменении частоты от 0 ∞ изменяются мнимая и действительная составляющие ЧПФ. По оси абсцисс откладывается вещественная часть U() =Re W(j) и по оси ординат – мнимая часть V() =Im W(j). Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка, рис. 1.27. Полученные точки соединяются плавной линией. Около нанесенных точек можно написать соответствующие им частоты 1, 2,…,i

Построение АФЧХ можно выполнить и другим способом, используя для этого полярные координаты - модуль А() и смещение по фазе(). Зная модуль и смещение по фазе (или просто фазу) легко построить точку на комплексной плоскости. Данные о модуле и фазе для различных частот из диапазона 0 ∞ можно получать расчетом, используя для этого формулы (1.44) и (1.345) или использовать ранее построенные графики частотных характеристик А() и().

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]