22 Математический анализ

1. Функция

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Если элементами множеств Х и У являются действительные числа (т. е. Х R и УR), то функцию f‚ называютчисловой функцией.В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записыватьу=f(х)..

ОпределениеЕсли каждому элементу х из множества Х поставить в соответствие элемент из множества У, то говорят, что на множестве Х задана функция, или функция f отображает множество Х на множество У.

Переменная х(множество Х) - аргумент или независимая переменная;

переменная у (множество всех уУ) - зависимая или функция.

Область определения D(f)- это множество всех значений аргумента х.

Область значений Е(f)- это множество всех значений зависимой переменной у.

Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы (f) для обозначения зависимости.

Частное значение функции f(х) при х = а записывают так:f(а). Например, еслиf(х) = 2х²— 3, тоf(О) = —3,f(2) = 5.

Графиком функции у= f(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции..

Способы задания функций

Чтобы задать функцию у f (х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например: S = πR²; у²-4х=0.

Если область определения функции у = f(х) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции у =является отрезок [—1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у = f(х).

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Свойства функций

Четность

Функция называется четной, если для , нечетной, если. График четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной - симметричен относительно начала координат.