7

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Скалярные и векторные величины

Из курса элементарной физики известно, что некоторые физические величины, такие как температура, объем, масса тела, плотность и т.д., определяются только числовым значением. Такие величины называются скалярными величинами, или скалярами.

Для определения же некоторых других величин, таких как сила, скорость, ускорение и тому подобных, кроме числовых значений необходимо задать еще и их направление в пространстве. Величины, которые кроме абсолютной величины характеризуются еще и направлением, называются векторными.

Определение Вектором называется направленный отрезок, который определяется двумя точками: первая точка определяет начало вектора, а вторая - его конец. Поэтому еще говорят, что вектор - это упорядоченная пара точек.

На рисунке вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмеченное направление от начала вектора к его концу. Например, рис. 2.1.

Если начало вектора совпадает с точкой , а конец с точкой, то вектор обозначается. Кроме этого, часто векторы обозначают одной маленькой буквой со стрелкой над ней. В книжках иногда стрелку опускают, тогда для обозначения вектора употребляют жирный шрифт.

К векторам относится нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается или просто.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем. Модуль вектора обозначается двумя вертикальными черточками слева: , или без стрелочекили.

Векторы, параллельные до одной прямой, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Нулевой вектор считается коллинеарным к любому вектору. Длина его равна 0.

Определение Два вектора иназываются равными (рис. 2.2), если они:1)коллинеарны; 2) сонаправлены 3) равны по длине.

Это записывают так: (2.1)

Из определения равенства векторов вытекает, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный начальному, потому начало вектора можно разместить в любую точку пространства. Такие векторы (в теоретической механике, геометрии), начало которых можно размещать в любой точке пространства, называют свободными. И именно такие векторы мы будем рассматривать.

Определение Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие постоянные, среди которых есть хотя бы одна отличная от нуля, и для которых выполняется равенство.

Определение Базисом в пространстве называются произвольные три некомпланарных вектора, которые взяты в определенной последовательности.

Определение Если - базис и вектор, то числаназываются координатами векторав данном базисе.

Координаты вектора будем писать в фигурных скобках после обозначения вектора. Так, например, означает, что векторв некотором выбранном базисе имеет разложение:.

Из свойств умножения вектора на число и сложения векторов вытекает утверждение относительно линейных действий над векторами, которые заданы координатами.

Для того, чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, необходимо из соответствующей координаты его конца отнять координату начала.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число. Рассмотрим их.

Определение Произведением вектора на числоназывается вектор, совпадающий по направлению с вектором, если, имеющий противоположное направление, еслиотрицательное. Длина этого вектора равна произведению длины векторана модуль числа.

Пример. Построить вектор , еслии(рис. 2.3).

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Действительно, если , то

.

Произведением вектора наназывается вектор;- противоположено направленный.

Отметим, что вектор, длина которого равна 1, называется единичным (или ортом).

Пользуясь операцией умножения вектора на число, любой вектор можно выразить через единичный вектор того же направления. Действительно, поделив вектор на его длину(т.е. умноживна), получим единичный вектор того же направления, что и вектор. Его будем обозначать. Отсюда следует, что.

Определение Суммой двух векторов иназывается вектор, который выходит из их общего начала и является диагональю параллелограмма, стороны которого векторыи(рис. 2.4).

.

По определению равных векторов поэтому-правило треугольника. Правило треугольника можно распространить на любое количество векторов и таким образом получить правило многоугольника:- это вектор, который соединяет начало первого векторас концом последнего вектора(рис. 2.5).

Итак, для того чтобы построить вектор суммы, надо к концу первого вектора пристроить начало второго, к концу второго пристроить начало третьего и так далее. Тогда вектором суммы и будет вектор, который соединяет начало первого из векторов с концом последнего.

При сложении векторов складываются и их соответствующие координаты

Действительно, если и,

то

Если векторы ине компланарны, то их сумма является диагональюпараллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2.6)

,

где

Свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- дистрибутивность по отношению к умножению на число

.

Т.е. векторную сумму можно преобразовывать по тем же правилам, что и алгебраическую.

Определение Разностью двух векторов иназывают такой вектор, который при сложении с векторомдает вектор. Т.е.если. Геометрическипредставляет собой вторую диагональ параллелограмма, построенного на векторахис общим началом и направленную из конца векторав конец вектора(рис. 2.7).

Проекция вектора на ось. Свойства проекций

Вспомним понятие числовой оси. Числовой осью называют прямую, на которой определено:

1. направление ( → );

2. начало отсчета (точка О);

3. отрезок, который принимают за единицу масштаба.

Пусть имеется вектор и ось. Из точекиопустим перпендикуляры на ось. Получим точкии- проекции точеки(рис. 2.8 а).

Определение Проекцией вектора на осьназывается длина отрезкаэтой оси, который расположен между основаниями проекций начала и конца векторана ось. Она берется со знаком плюс, если направление отрезкасовпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Обозначение:.

Определение Углом между вектором и осьюназывается угол, на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось, чтобы она совпадала с направлением вектора.

Найдем :

На рис.2.8 а представлена: .

На рис. 2.8 б): .

Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью проекций: .

Свойства проекций:

• равные векторы имеют равные проекции;

• при умножении вектора на числоего проекция на ось также умножается на то же число;

• проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций этих векторов, см. рис. 2.9.

Если , то векторы называются ортогональными

Пример. Заданы векторы ,.Тогда

.

Пример. Если начало вектора находится в точке, а конец в точке, то векторимеет координаты:

.

Определение Углом между двумя векторами иназывается наименьший угол(рис. 2.13) между этими векторами, сведенными в общее начало.

Угол между векторами исимволически записывают таким образом:.

Из определения следует, что угол между векторами может изменяться в пределах.

Если , то векторы называются ортогональными.

.

Определение. Косинусы углов вектора с осями координат называются направляющими косинусами вектора. Если вектор образует с осями координат углы

,

откуда

.