Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

6Неопределенный_интеграл

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
22.03.2016
Размер:
654.35 Кб
Скачать

1

Неопределенный интеграл

Понятие о первообразной функции

Основной задачей дифференциального исчисления было вычисление производной или дифференциала заданной функции. Интегральное исчисление, к изучению которого мы переходим, решает обратную задачу, а именно, отыскания самой функции по ее производной или дифференциалу. То есть, имея dF(х)= f(х)d (7.1) или F ′(х)= f(х),

где f(х) - известная функция, надо найти функцию F(х).

Будем считать дальше, что равенство (7.1) выполняется на некотором конечном или бесконечном промежутке. Искомая функция F(х) называется первообразной функцией по отношению к функции f(х). Таким образом, можем записать следующее определение.

Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F′(х) = f(х) или dF(х)= f(х)d.

Например, одной из первообразных функций для функции f(х)=3х2 будет F(х)= х3, т.к.

(х3)′=3х2. Но первоообразной для функции f(х)=3х2 будет также и функции

F (x) x3

1

и

 

 

 

 

1

 

 

F (x) x3

5 , т.к.

F (x) F (x) 3x 2 .

 

 

 

2

 

1

2

 

 

 

Итак, данная функция f(х)=3х2 имеет бесконечное множество первоообразных, каждая из которых отличается лишь на постоянное слагаемое. Покажем, что этот результат имеет место и в общем случае.

Теорема Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются одна от другой на этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство

Пусть функция f(х) определена на промежутке (a¸b) и F1(х) и F2(х) - первообразные,

т.е. F1′(х)= f(х) и F2′(х)= f(х).

Тогда F1′(х)=F2′(х) F1′(х) - F2′(х) = (F1′(х) - F2 (х))′= 0. F1(х) - F2(х)=С Отсюда, F2(х) = F1(х)+С

где С - константа (здесь использовано следствие из теоремы Лагранжа). Теорема, таким образом, доказана.

Геометрическая иллюстрация. Если у = F1(х) и у = F2(х) – первообразные одной и той же функции f(х), то касательная к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны

между собой tg F1 (x) F2 (x) f (x)

(рис. 7.1).

 

 

 

у

М 2

 

y = F 2

( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

y = F

1 ( x )

 

 

 

 

М

1

 

 

 

F 2 ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F 1 ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

Р и с . 7 . 1

 

х

 

 

 

В таком случае расстояние между этими кривыми вдоль оси Оу остается постоянным F2(х) - F1(х)=С, то есть эти кривые в некотором понимании "параллельны" одна другой.

Следствие. Прибавляя к какой-то первообразной F(х) для данной функции f(х), определенной на промежутке Х, все возможные постоянные С, мы получим все возможные первообразные для функции f(х).

Итак, выражение F(х)+С, где C , а F(х) – некоторая первообразная функции f(х) включает все возможные первообразные для f(х).

2

 

Пример 1. Проверить, являются ли функции F (x)

x 1

,

F (x) x2 ,

F (x)

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x

 

2

 

3

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x)

1

 

5, первообразными для функции

f (x)

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1 x

1 (x 1)

 

 

x x 1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

1

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

(x) (x2 ) 2x f (x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

(x)

 

x 1 1 x 2

f (x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F4

 

(x)

 

5

 

 

5

 

 

 

0

 

 

 

 

f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: первообразными для функции

 

f (x)

1

 

 

будут функции

F (x),

F (x), и

F (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение: Если функция F(х) является некоторой первообразной для функции f(х), то множество всех первообразных F(х)+ С называют неопределенным интегралом от f(х) и обозначают:

f(х)dх.

По определению: f (x)dx F(x) C,

ãäå F (x) f (x),

C const,

f(х) - подынтегральная функция,

 

f(х)dх - подынтегральное выражение

Из этого следует, чтоо неопределенный интеграл является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная от которой по переменной х равна подынтегральной функции во всех точках x X .

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, то есть вдоль оси Оу (рис. 7.2).

у

 

 

С 4

 

 

С 3

 

 

С 2

 

 

С 1

 

 

 

 

0

 

х

 

Р и с .

7 . 2

 

Операция вычисления неопределенного интеграла от некоторой функции называется

интегрированием этой функции.

Отметим, что если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первоообразная от элементарной функции может не представляться при помощи конечного числа элементарных функций.

Рассмотрим теперь свойства неопределенного интеграла.

Из определения 2 вытекает:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть, если

F′(х) = f(х), то

 

 

 

3

 

 

f (x) .

(7.3)

f (x)dx F(x) C

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

 

d( f (x)dx)

f (x)dx .

 

(7.4)

Из определения дифференциала и свойства (7.3)

d( f (x)dx) ( f (x)dx) dx f (x)dx .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с

точностью до постоянного слагаемого, то есть dF(x) F(x) C

(7.5)

Справедливость (7.5) легко проверить дифференцированием (дифференциалы от обеих частей равенства равны dF(x) ).

Замечания. В формулах (7.4) и (7.5) знаки d и , которые стоят рядом,

уничтожают друг друга (если не учитывать постоянного слагаемого в (7.5)). В этом понимании дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными математическими операциями.

4. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, то есть, если A 0 , то

Af (X )dx A f (x)dx.

(7.6)

Свойство проверяется дифференцированием обеих частей.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций,

то есть ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx.

(7.7)

Для доказательства также надо взять производные от обеих частей и убедиться, что они равны между собой.

Это свойство остается верным для любого конечного числа слагаемых.

При вычислении неопределенных интегралов полезно применять такие правила:

Если f (x)dx F(x) C , то

1.

f (ax)dx

1

F (ax) C .

(7.8)

 

 

 

a

 

2.

f (x b)dx F(x b) C

(7.9)

3.

f (ax b)dx

1

F (ax b) C .

(7.10)

 

 

 

 

 

a

 

Правила доказываются дифференцированием правых и левых частей равенств (7.8 – 7.10).

 

 

 

 

Таблица интегралов

 

 

 

 

См. Приложение 3

 

 

Некоторые методы интегрирования

а) метод замены или подстановки;

f (x) dx

 

x (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( (t)) (t) dt Ф(t) dt.

 

 

dx (t) dt

 

 

Функцию х=φ(t) выбирают так, чтобы интеграл был более простым, чем данный.

Часто более целесообразно использовать замену не в виде x (t) , а в виде t (x).

Пример 3. Найти

dx

.

3x 4

 

 

Решение:

4

Пусть t 3x 4, тогда

x

1

 

(t 4), откуда dx

1

dt.

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

dt

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

ln | t | C

 

ln | 3x 4 | C.

3x 4

t

3

t

3

3

Пример 4. Найти sin(5 2x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

Сделаем замену 5 2x y , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy d (5 2x) 2 dx dx

1

dy.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(5 2x)dx

1

sin y dy

 

1

cos y C

 

1

cos(5 2x) C.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

б) метод «интегрирования по частям»

Если f(х)dх не является табличным, то его представляют в виде

u dv,

где u и v - некоторые дифференцируемые функции.

Формула интегрирования по частям: u dv u v v du . (16)

Этот метод следует применить, если интеграл v du не более сложный, чем интеграл

u dv. Иногда этот метод в процессе решения нужно применять несколько раз.

Применение метода интегрирования по частям

Интеграл вида:

 

Указания для решения

Pn (x) ex dx,

Последовательно интегрировать частями,

 

 

 

Pn (x) - многочлен n

u Pi (x)

(i n, n 1,..., 2,1),

dv e x dx.

степени

 

 

 

 

Pn (x) sin( ax b) dx,

 

u Pi (x)

(i n, n 1,...,2,1),

 

dv sin( ax b) dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn (x) cos(ax b) dx,

 

u Pi (x)

(i n, n 1,...,2,1),

 

dv cos(ax b) dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn (x) ln m (x) dx,

 

u ln i | x |

(i m, m 1,...,2,1),

 

dv Pn (x) dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eax sin bx dx,

 

Двукратное применение интегрирования по

e

ax

cosbx dx,

 

частям

 

 

 

 

 

 

Pn (x) arcsin x dx,

 

 

 

 

Pn (x) arccosx dx,

 

u - соответствующая обратная

 

тригонометрическая функция

Pn (x) arctgx dx,

 

 

dv P ( x ) dx.

 

 

 

 

 

n

 

Pn (x) arcctgx dx.

 

 

 

 

Пример 6. Найти x ex dx .

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ex dx

 

 

 

x u

 

du dx

 

x ex e x

dx x ex ex C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x

dx dv

 

v e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7. Найти (x 1) ln x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x u

 

 

 

 

du

1

dx

 

 

 

x 2

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

(x 1) ln x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)dx dv

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln x

 

1 dx

2

 

ln x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6. Найти x ex dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ex dx

 

 

 

x u

 

du dx

 

x ex e x

dx x ex ex C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x

dx dv

 

v e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7. Найти (x 1) ln x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x u

 

 

 

 

du

dx

 

 

 

x 2

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

(x 1) ln x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)dx dv

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln x

 

1 dx

2

 

ln x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Интегрирование рациональных дробей

Определение Простыми или элементарными дробями называют выражения вида:

A

;

A

;

Ax B

;

Ax B

,

 

 

 

 

ax b

(ax b)k

ax2 bx c

(ax2 bx c)k

где A, B, a,b,c - действительные числа, k - целое положительное число больше

единицы, ax2 bx c имеет комплексные корни, то есть его дискриминант меньше нуля. Теорема: Каждую правильную рациональную дробь можно выразить в виде конечной суммы простых дробей. При этом коэффициенты разложения A, B,... определяют по методу

неопределенных коэффициентов.

Каждая из четырех элементарных дробей интегрируется:

1.

A

dx

A

 

ln | ax b | C.

 

ax b

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

A

 

 

 

 

 

 

A

 

(ax b)1 k

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

C

(k 1).

 

(ax b)

k

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 k

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax B

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Cx D

Поделив числитель и знаменатель дроби

 

 

 

 

 

 

на

получаем

 

 

.

ax2 bx c

x2 px q

 

 

 

 

 

 

 

выделяем в

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cx D

 

чисителе

 

 

 

 

 

 

 

(2x p)

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда: 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

x2 px q

ппроизводную

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

px q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зн амен ателя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

2 2x p

dx (D Cp )

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x

p)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x px q

 

2

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p

2

 

 

d (x px q)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

q

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

ln | x 2

px q |

2D Cb

 

 

arctg

 

2x p

 

const.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4q p 2

 

4q p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 10. Вычислить интеграл

 

 

 

 

x

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

1)( x 1)

 

 

Решение: Представим дробь в виде элементарных дробей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Ax B

 

 

 

 

 

C

 

 

( Ax B)(x 1) C(x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 1)(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 1)(x 1)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( A C)x2 (B A)x (C B)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2

1)(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравняем числители x ( A C)x2 (B A)x (C B) и приравняем

 

коэффициенты при степенях переменной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A C 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B A

1,

B

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

A

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 1)(x

1)

 

x2 1

 

 

 

1

 

 

2

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1 x 1

 

 

 

 

1 dx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2x 2

 

 

 

 

 

 

1 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

x2 1 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 1)(x 1)

2

2

x 1

4

 

 

x2

1

 

2

x 1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2xdx

1

 

 

 

 

dx

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ln | x2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln | x

1| C

 

1|

 

 

arctgx

 

 

 

 

 

 

4

x2 1

2

x2 1

2

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ln | x 1| C ln

 

 

 

 

 

x 1

 

 

1

arctgx C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

7

Теорема: Интегралы от рациональных функций относительно тригонометрических

функций sin x , cos x ,

tgx , ctgx приводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью

универсальной тригонометрической подстановки

t tg

x

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2tg

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg 2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

sin x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

cos x

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg

2 x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg

2 x

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2tg

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

ctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2arctgt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

2 dt

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 11. Найти

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем замену: t tg

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда sin x

 

2t

 

 

x 2arctgt dx

2 dt

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

ln | t | C ln | tg

 

 

|

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема: Если под знаком интеграла находится функция R(sin x, cosx) такая, что

 

 

 

R(sin x,cosx) R(sin x, cosx)

или R(sin x, cosx) R(sin x,cosx) ,

 

 

 

 

это можно упростить интеграл подстановками t sin x или t cos x .

Теорема: Если R(sin x, cosx) R(sin x,cosx) , это можно воспользоваться подстановкой t tgx .

Пример 12. Знайти sin 3 x cos4 x dx.

Решение

R(sin x, cos x) sin 3 x cos4 x;

R( sin x, cos x) ( sin x)3 cos4 x sin 3 x cos4 xR(sin x, cos x).

Поэтому пусть t cos x , тогда dt sin x dx.

8

sin 3

x cos4

x dx sin 2

x cos4 x ( sin x dx)

(1 cos2

x) cos4 x ( sin x dx) (1 t 2 ) t 4 dt

(t 4 t 6 ) dt

t 5

 

 

t 7

 

C

cos7 x

 

cos5 x

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

7

 

 

 

 

7

5

 

Пример 13. Найти

cos2 x

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

4

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

R( sin x, cos x)

cos2 x

R(sin x,cos x),

 

sin 4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

путь t tgx , тогда

dt

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

dx

 

cos4 x

 

 

dx

 

 

tg

4 x d (tgx)

 

sin

4

x

sin

4

x

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

t 4 dt

t 5

 

C

tg 5 x

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема: Если подынтегральная функция имеет вид: sin mx cosnx, cosmx cosnx, , sin mx sin nx это произведение можно свести к сумме:

sin mx cos nx

 

1

 

(sin( m n)x sin( m n)x) ,

2

 

 

 

cos mx cos nx

 

1

 

(cos(m n)x cos(m n)x) ,

2

 

 

 

 

sin mx sin nx

1

( cos(m n)x cos(m n)x) .

2

 

 

 

 

Пример 14. Найти

sin x sin 2x cos5x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

(sin x sin 2x) cos5x

 

1

(cosx cos3x) cos5x

1

cosx cos5x

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos3x cos5x

1

(cos6x cos4x)

1

(cos8x cos2x).

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

sin x sin 2x cos5x dx

1

 

(cosx cos3x)dx

1

(cos8x cos2x)dx

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14 (sin x 13 sin 3x 321 sin 8x 12 sin 2x) C.

Теорема: Если sin x , cos x находятся под знаком интеграла в четных степенях, то степень можно понижать:

9

sin 2 x

1 cos 2x

;

cos2 x

1 cos 2x

.

2

2

 

 

 

 

Пример 15.

 

Найти (3x sin 4 x)dx .

Решение:

(3x

3x2

232 x2

 

4

 

2

 

2

 

1 cos 2x

2

1

 

 

2

 

sin

 

x (sin

 

x)

 

 

 

 

 

 

(1

2 cos 2x cos

 

2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2 cos 2x

1 cos 4x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

x) dx

3x2

 

 

1

 

2 cos 2x

1 cos 4x

dx

sin

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

2

 

 

14 x 14 sin 2x 18 x 321 sin 4x C

83 x 14 sin 2x 321 sin 4x C.

Общее правило интегрирования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;

2.Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

З. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности,

«Таблицы неопределенных интегралов» М. Л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции. Возникает вопрос, для всякой ли непрерывной функции существует неопределенный интеграл и как его найти, если он существует. Ответ на первую часть вопроса дает теорема Коши.

Теорема Коши. Всякая непрерывная функция имеет первообразную. Т.е. для каждой непрерывной на промежутке X функции f (x) существует F(x) , производная от которой на

промежутке X равняется функции f (x) , т.е. F (x) f (x) . Тогда существует и неопределенный интеграл

f (x)dx F(x) C ,

где C - произвольная постоянная.

Но теорема Коши не дает ответа, как же найти неопределенный интеграл, и не утверждает, что первоначальная функции может быть выражена через конечное число элементарных функций.

В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f(х) является также элементарной функцией, говорят, что ∫f(х) dх «берется», т. е. интеграл выражается через

10

элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интеграл ∫√х∙соsх dх, так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна √х∙соsх.

Приведем примеры «неберущихся» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях:

e x2 dx - интеграл Пуассона (теория вероятностей)

lndxx - интегральный логарифм (теория чисел)

cosx2dx , ∫ sin x2dx - интегралы Френеля (физика)

sin xdx , cosxdx - интегральный синус и косинус

xx

åxxdx - интегральная показательная функция

Вычисления таких интегралов возможно с помощью методов приближенного интегрирования, с которыми мы познакомимся позже.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]