Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

7Определенный_интеграл

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
22.03.2016
Размер:
825.09 Кб
Скачать

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл является одним из основных понятий математического анализа и широко используется в разных областях науки, техники и в экономических исследованиях.

1.Задача вычисления площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a, b] определена непрерывная функция у = f(х). Пусть f≥0 для x [a, b] .

Определение 1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная прямыми х = а и х = b, отрезком [a,

b] оси Ох и кривой у = f(х) (рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим площадь этой криволинейной трапеции. С

 

y

 

 

 

 

 

этой целью разобьем отрезок [a, b] произвольным образом

 

 

 

y

f

( x )

 

 

на

n частей точками x1 , x2 ,..., xn 1 . Обозначим концы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отрезка [a, b] a x0 , b xn . Тогда отрезок [a, b] разобьется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на n отрезков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[x0 , x1],[x1, x2 ],..., [xn 1, xn ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим их длины через x1, x2 , x3 ,..., xn . Через точки

 

 

x =

a x 1 x 2 x 3

x k

x n 1 x = b x

 

разбиения x1, x2 ,..., xn 1 проведем перпендикуляры к оси

Ох

 

 

 

Р и с . 8 . 1

и

продолжим их к пересечению с кривой у = f(х).

Эти

 

 

 

 

 

 

перпендикуляры разделят площадь криволинейной трапеции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на n узких криволинейных трапеций.

Заменим каждую из этих трапеций прямоугольником с

основанием xk

и высотой f ( k ) , где

xk 1 k xk . Площадь каждого такого прямоугольника

равна f ( k ) xk . Сумма площадей всех таких прямоугольников будет равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

f ( 1 ) x1

f ( 2 ) x2 ... f ( n ) xn f ( k ) xk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

Таким образом, площадь S криволинейной трапеции приближенно равна этой сумме, то есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S f ( k ) xk .

(8.1)

k 1

Эта формула будет тем точнее, чем меньше величина xk .

Чтобы получить точную формулу для вычисления площади S криволинейной трапеции, надо в этой

формуле перейти к пределу, когда xk

0 . Тогда

 

 

 

 

 

n

 

 

S

lim

f ( k ) x k .

(8.2)

 

 

max|x k | 0 k 1

 

Требование max | xk | 0 обеспечивает равномерность разбиения отрезка [a, b] на части.

Задача на вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Пусть нужно определять путь S , который прошла материальная точка,

движущаяся по прямой с

переменной скоростью v(t) за время от t0

до T .

 

 

 

Поделим промежуток времени T t0

на n

промежутков:

t1 , t2 ,...

..., tn . Обозначим через k

произвольный момент времени из промежутка

tk , а значения скорости в этой точке обозначим

vk f ( k ),

k 1,2,...,n. Точка, движущаяся с постоянной скоростью vk

на промежутке tk , проходит

за это время путь vk tk , а за время T t0

она пройдет путь

 

 

 

 

 

n

n

 

 

v1 t1 v2 t2 ... vn tn vk tk

f ( k ) tk .

 

 

 

k 1

k 1

 

Путь, который проходит точка за время tk , вычисленный таким образом, будет отличаться от настоящего пути, но тем меньшее, чем меньше будет промежуток времени tk , тем меньшее

изменяется скорость движения. Итак, когда tk

0 , тогда переменная скорость на промежутке

tk мало отличается от постоянной vk .

Поэтому соответствующее действительности значение

пути, пройденного точкой за время T t0 ,

будет равно пределу этой суммы при max tk

0 , т.е.

 

 

 

n

 

S

lim

 

f ( k ) tk .

(8.3)

 

m ax| tk | 0

k 1

 

 

 

 

 

3. Задача о работе переменной силы.

 

 

 

 

Пусть материальная точка M , двигаясь прямолинейно под действием силы F прошла путь S от точки A до точки B в направления действия этой силы. Надо вычислить работу W , силы F.

Если сила F во время прямолинейного движения точки M сохраняла постоянное значение, то

искомая работа

W F S .

Пусть теперь сила F изменяется во время движения точки М, т.е. является функцией абсциссы точки М в системе координат, введенной таким образом, положительное направление оси Ox совпадает с

направлением движения

точки

М. Пусть абсциссы точек А и В соответственно

a и b ,

т.о.

s b a,

s 0 .

 

 

 

 

Разобьем отрезок [a,b] произвольным чином на n отрезков [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], ... ,

[xn 1 , xn ],

где

x0 a, xn

b, x1 , x2 ,...

..., xn 1

- абсциссы точек распределения. Обозначим длины этих отрезков через

x1 , x2 ,..., xn .

 

 

Будем считать,

что на каждом частичном отрезке сила F сохраняет постоянное значение, которое

она имеет в начале

каждого

отрезка:

F (x0 ), F (x1 ),..., F (xn 1 ) , тогда

работа по

перемещению

материальной

точки

на

каждом

из

отрезков

будет

равняться

соответственно W1

F (x0 ) x1; W2 F (x1 ) x2 ; ... ; Wn

F (xn 1 ) xn ,

 

 

а вся работа приближенно определится как сумма Wk

(k 1,..., n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W1

W2

... Wn

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

F(x0 ) x1 F(x1 ) x2

... F(xn 1 ) xn F(xk 1 ) xk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

W - дает приближенное значение работы,

произведенной силой F при перемещении материальной

точки на пути АВ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W будет тем меньшее отличаться от W , чем меньшими будут частичные отрезки xk , так как чем

меньшее xk , тем меньшее успевает измениться значения силы F(x)

на этом промежутке. Поэтому

 

 

n

 

точное значение работы W ми найдем, если перейдем к пределу суммы

F (xk 1 ) xk

при условии, что

 

 

k 1

 

длины частичных отрезков направляются к нулю. Итак, имеем

 

 

 

 

n

 

 

W lim

F (xk 1 ) xk .

(8.4)

m ax| xi | 0

k 1

 

 

Рассмотрев три разных задачи, мы видим, что с математической точки зрения их решения,

которые даются формулами (8.2-8.4), отображают одинаковую задачу .

Определенный интеграл и его содержание

Пусть функция f (x) задана на отрезке a,b . Сделаем следующие шаги:

1)разобьем отрезок a,b произвольным образом на n отрезков точками x0 a, x1 , x2 ,..., xn 1 , xn b ;

2) на каждом отрезке xk 1 , xk длиной xk xk xk 1 выберем произвольную точку

k , xk 1 k xk ;

3)

вычислим значение функции в этой точке f ( k ) где

k 1,2,...,n ;

4)

найдем сумму

 

 

n

 

 

f ( k ) xk .

(8.5)

 

k 1

 

Ее называют интегральной суммой для функции f (x) на отрезке a,b .

5) вычислим предел интегральной суммы при условии, что максимальная из длин частичных отрезков

xk стремится к нулю. Если этот предел существует,

конечен, не зависит от способа разбиения отрезка

a,b , и от способа выбора точки k (k 1,..., n) на каждом из частичных отрезков, то она и называется

определенным интегралом от функции f (x) на отрезке a,b . Т.о.:

 

 

 

 

 

Определение.2. Если существует конечный предел интегральной суммы (8.5) при max xk 0 ,

не

зависящий от способа разбиения отрезка a,b на n

частичных отрезков и выбора точек k

на каждом из

них, то этот предел называется

определенным интегралом от

функции

f (x)

на отрезке a,b

и

обозначается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция f (x)

называется в этом случае интегральной на отрезке a,b .

 

 

 

 

Итак, математически это определение можно записать так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx lim

f ( k ) xk.

(8.6)

 

 

 

 

 

 

a

 

max| x1| 0

k 1

 

 

 

Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования соответственно, a,b - отрезок

интегрирования, x - переменная интегрирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

В

соответствии

с этим

определением

равенства

(8.2)-(8.4) теперь

можно

записать

в

b

 

 

T

b

 

 

 

 

 

 

 

 

виде S f (x)dx,

S f (t)dt,

W F (x)dx,

 

(8.7)

 

 

 

 

 

 

a

 

 

t0

a

 

 

 

 

 

 

 

 

то есть площадь криволинейной трапеции S , путь

S , пройденный точкой с переменной скоростью

V f (t) ,

работа

по

перемещению материальной

точки

под

действием переменной

силы F(x)

выражаются определенным интегралом.

Из определение (8.2) не вытекает, что любая функция интегрируема на любом отрезке. Можно найти такие функции, для которых определенный интеграл не существует, то есть интегральная сумма не стремится к какому-либо конечному пределу. Поэтому отметим условия, при которых функция является интегрируемой.

Теорема.1. Если функция y f (x) непрерывна на отрезке [a,b] , то она интегрируема на этом отрезке. Теорема 2. Если функция y f (x) на отрезке [a,b] ограничена и имеет конечное количество точек

разрыва, то она интегрируема на отрезке [a,b] .

Теорема 3. Монотонная ограниченная функция f (x) всегда интегрируема.

Замечание 1. Отметим, что определенный интеграл зависит только от вида функции f (x) и пределов интегрирования, но не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть

b b b

f (x)dx f (t)dt ... f (z)dz.

a

a

a

 

 

b

Замечание 2. При введении понятия определенного интеграла f (x)dx мы предполагали, что a b.

a

Если b a , то примем по определению

b

a

 

f (x)dx f (x)dx.

(8.8)

a

b

 

Замечание 3. В случае a b будем считать по определению

a

 

f (x)dx 0.

(8.9)

a

b

Замечание 4. Вычисление f (x)dx по определению, то есть как предела интегральной суммы, связано

a

с большой вычислительной трудностью, поэтому возникает задача: найти практически удобный метод его вычисления. Этот метод мы рассмотрим дальше.

Основные свойства определенного интеграла

Из формулы определенного интеграла и основных теорем о пределах вытекают следующие свойства определенного интеграла:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, то есть, если A - постоянная, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Af (x)dx A f (x)dx.

 

 

(8.10.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного количества непрерывных

 

 

функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого, то есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

b

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f1 (x) f2 (x) f3 (x) dx

f1 (x)dx f2 (x)dx f3 (x)dx. (8.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

a

 

a

 

 

 

3.

Если на отрезке [a,b] , где a b функции f (x) и (x) удовлетворяют условию f (x) (x) , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx (x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

f (x) 0

и (x) 0 , то это свойство можно продемонстрировать геометрически (рис.8.2).

 

y

 

 

 

 

 

y

( x )

 

 

 

 

Поскольку

(x) f (x) ,

x [a, b] ,

это

площадь

 

 

 

A 2

 

2

 

криволинейной

трапеции

aA2 B2b

больше

площади

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1

y f ( x )

 

 

 

 

 

криволинейной трапеции aA1B1b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 1

 

4. Если m и M наименьшее и наибольшее значение функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) на отрезке [a,b] и a b, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(b a) f (x)dx M (b a).

 

 

 

(8.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

a

 

 

 

b

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р и с . 8 . 2

 

 

Для

f (x) 0 это свойство иллюстрируется геометрически

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

таким образом (рис. 8.3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

f (x) 0 это свойство иллюстрируется геометрически таким образом (рис. 8.3):

 

y

A 2

 

 

 

 

M

 

B 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь криволинейной трапеции aABb больше площади

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямоугольника aA1B1b , но меньше площади прямоугольника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1

 

 

 

m

 

 

B 1

 

aA2 B2b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

a

 

Р и с . 8 . 3

 

b x

 

5. (Теорема о среднем). Если функция

f (x)

непрерывна на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отрезке [a,b] ,

где a b, то на этом отрезке найдется такое значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[a,b] , что будет справедливым равенство:

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx (b a) f ( ).

 

 

(8.13)

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрически для случая, когда f (x) 0 , это означает (рис.8.4), что площадь под кривой

f (x)

на

[a,b] равна площади прямоугольника со сторонами

f ( ) и (b a).

 

y

 

 

 

 

6. Для произвольных трех чисел a, b, c справедливо равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

y

f

( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

c

b

 

 

f ( )

 

 

 

 

 

f (x)dx

f (x)dx f (x)dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.14)

 

 

 

 

 

 

 

если только все эти три интеграла существуют.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a c b) і

0

 

a

 

b

x

В случае, когда c содержится между a и b

 

 

f (x) 0 , это свойство иллюстрируется геометрически (рис. 8.5).

 

 

 

Р и с .

8 . 4

 

 

Если же a b c , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

b

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

f (x)dx f (x)dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

b

 

 

 

 

 

 

 

откуда имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

c

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

f (x)dx f (x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

b

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая замечание (2) о том, что f (x)dx f (x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

c

 

 

 

 

 

 

 

(при изменении пределов интегрирования знак изменяется на противоположный), отсюда получим, что

 

 

 

b

c

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

f (x)dx f (x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

c

 

 

 

 

 

 

 

Связь между определенным и неопределенным интегралом

При сравнении определенного и неопределенного интеграла видно, что это разные понятия: определенный интеграл - это число, а неопределенный интеграл - это функция. И все же между ними существует связь, которая разрешила найти удобный способ для вычисления определенного интеграла. Прежде чем сформулировать его, рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом.

 

b

Таким образом, пусть в определенном интеграле f (x)dx нижняя граница постоянна и равна a , а

 

a

верхняя граница изменяется, поэтому обозначим ее

через х, а чтобы не путать с переменной

интегрирования, обозначим последнюю через t . Пусть

f (x) непрерывна на [a,b] . Рассмотрим интеграл

x

x

f (t)dt . Каждому значению переменной x

отвечает определенное значение интеграла. Итак, f (t)dt

a

a

 

x

представляет собой функцию от x . Обозначим ее через (x) f (t)dt и найдем производную от этой

 

a

функции по переменной x . Для этого зададим переменной x приращение x

и вычислим приращение

(x)

 

 

 

 

x x

x

 

(x) (x x) (x)

f (t)dt f (t)dt.

(8.15)

 

a

a

 

Используя свойства определенного интеграла 8.14 и 8.13 из формулы (8.15), получим

 

x

 

 

x x

 

x

 

 

x x

 

(x) f (t)dt

f (t)dt

f (t)dt

f (t)dt f ( ) x ,

 

a

 

 

x

 

a

 

 

x

где

находится между x и x x .

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению производной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

f ( ) x

 

 

 

(x)

lim

 

 

 

lim

 

lim f ( ) f (x) .

 

 

x

x

 

 

x 0

 

 

x 0

 

x

 

 

 

 

f (x), то есть мы доказали теорему:

Таким образом, мы выяснили, что (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Если f (x) - непрерывная функция на a,b и (x) f (t)dt , то имеет место равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.16)

 

 

 

 

(x) f (x)

 

 

Итак, производная от определенного интеграла по переменной верхней границе равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение

верхней границы.

 

При

 

f (x) >0 (x) имеет геометрическое толкование -

площадь

криволинейной трапеции aAXx.

 

 

 

 

 

y

 

 

X

 

 

 

B

 

 

Из рис. 8.6 видно, что с изменением x эта площадь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

изменяется, то есть действительно f (t)dt

является функцией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x )

 

 

 

(

x )

 

 

переменной x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сформулируем и докажем теперь теорему Ньютона - Лейбница.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема.4. Если F(x) какая-то первообразная для непрерывной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

f (x) , то справедлива формула

 

 

0

 

a

x

x

 

 

x

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

Р и с . 8 . 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx F (b) F (a) .

 

(8.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

Эта формула

 

и называется формулой

Ньютона - Лейбница. Докажем

ее. По условию

теоремы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

F (x) является первообразной для

f (x) . Но из формулы (8.16) вытекает, что (x) f (t)dt

является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

также

первообразной для

функции

f (x). Две первообразные для одной

функции отличаются на

постоянное слагаемое, значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)dt F (x) C.

(8.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Предоставим x a , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)dt F (a) C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

Отсюда, используя (8.9), имеем, что 0 F (a) C, откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C F(a).

 

(8.19)

С учетом (8.19) формула (8.18) примет вид

x

f (t)dt F (x) F (a).

a

При x b из этого имеем, что

b

f (t)dt F (b) F (a)

a

или, изменив обозначение переменной интегрирования на x , получим формулу (8.17).

Введем обозначение F (b) F (a) F (x) ba , тогда формула (8.17) приобретает вид

b

 

 

f (x)dx F (x) ba

F (b) F (a).

(8.20)

a

Формула (8.20) (Ньютона-Лейбница) дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, если известна первообразная для подынтегральной функции. С открытием этой формулы математика получила общий метод для решения разных задач, что позволило значительно расширить круг применений определенного интеграла. Итак, задача вычисления определенного интеграла свелась к последовательности двух задач: вычисления неопределенного интеграла (первообразной), а потом вычисления приращения первообразной на заданном промежутке. Для вычисления неопределенного интеграла применяются два основных метода: метод подстановки и интегрирования по частям. Рассмотрим некоторую специфику применения этих методов при вычислении определенного интеграла.

Способы вычисления определенного интеграла

 

 

 

 

 

Интегрирование по частям

 

 

Пусть u и v - дифференцируемая функция от x . Тогда

 

 

 

 

 

(uv)

 

 

 

 

 

 

 

(8.21)

 

 

 

 

u v uv .

 

 

 

Проинтегруем тождество (8.21) в границах от a до b , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

b

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(uv) dx

u vdx uv dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

a

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и равенство (8.22) приобретает вид

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку (uv) dx uv C , то (uv)

dx (uv)

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

b

 

 

 

 

 

 

 

(uv)

 

ba

 

vdu udv,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

b

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или окончательно udv (uv)

 

ba

vdu.

 

 

 

 

 

 

 

(8.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (8.23) и выражает способ интегрирования по частям определенного интеграла. Видно, что она подобна формуле (7.12) интегрирования по частям неопределенного интеграла.

e2

Пример.1. Вычислить x ln xdx .

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

e2

ln x u,

du

 

 

,

 

 

x

 

x ln xdx

 

 

 

2

 

v xdx

 

x

e

xdx dv,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

2

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

e2

x

2

 

 

 

dx

 

 

e

4

 

 

 

e

2

 

1

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln e2

 

ln e

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 e

 

 

e4

2

e2

 

1

1

 

 

x2

 

 

e2

e4

e2

 

 

1

(e4 e2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

e

 

 

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

e2

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e4

 

 

(3e2 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Пример 2. Вычислить x cos xdx .

0

Решение.

 

 

 

x u,

 

du dx,

 

 

2

 

 

 

 

x cos xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos xdx dv, v

cos xdx sin x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

sin

 

2

 

 

 

 

sin xdx

 

 

(x sin x) |

0 sin 0 cos x |

 

 

 

0

0

 

2

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

cos0

 

1.

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

Интегрирование подстановкой

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

Пусть надо вычислить определенный интеграл f (x)dx,

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

где f (x) - непрерывная на [a,b] функция, а первообразной для нее нет в таблице простейших интегралов.

Тогда произведем замену переменной, а именно, введем новую переменную t

таким образом:

x (t), ( t ) , где (t) - непрерывно дифференцируема на [ , ] функция.

Если при этом будут выполняться такие условия:

 

1)

при изменении t от до переменная x изменяется от a до b , то есть

 

( ) a, ( ) b .

(8.24)

2)

сложная функция f ( (t)) определена и непрерывна на отрезке [ , ] , то справедлива такая

 

формула

 

b

 

 

 

 

(8.25)

f (x)dx f ( (t)) (t)dt.

a

 

 

Формула (8.25) и выражает собою суть метода подстановки.

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной (как это нужно было делать при вычислении неопределенного интеграла) достаточно лишь учесть границы интегрирования соответственно (8.24).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 8.3. Вычислить x

1 xdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем новую переменную t

1 x . Тогда t 2

1 x, x t 2

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx 2tdt . Вычислим границы интегрирования и результат представим в виде табл. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

0

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, а при x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из которой видно, что при x 0

t

 

 

1 x

1 0

t

 

1 x

1 3 2 . Итак,

после введении новой переменной получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

t

5

 

2

 

t

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 xdx (t 2 1)t 2tdt 2 (t 2

1)t 2 dt 2 (t 4

t 2 )dt

2

t4dt t 2dt

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

5

 

1

3

 

1

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

 

 

5

 

1

 

 

3

3

 

 

31

 

 

7

 

 

93 35

 

 

58

 

116

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

(2

 

1 )

2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

7

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 5 3

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

3

 

 

15

 

 

15

 

 

15

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

cos x

 

Пример 4. Вычислить

 

 

 

dx .

sin

3

x

 

 

 

6

 

 

 

 

Решение.

Произведем замену переменной:

sin x t . Тогда cosxdx dt , а границы интегрирования приобретают

значения: при x

t sin

 

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

t sin

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3 cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

dt

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

t

3dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

t

3

 

2

1

 

 

2t

2

1

 

 

 

 

 

sin

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

2

2

 

1

1

 

 

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, видим, что различие в применении метода замены переменной в неопределенном и определенном интеграле состоит в том, что в втором случае не надо возвращаться к старой переменной, поскольку при замене переменной изменяются также и границы интегрирования.

Приближенное вычисление определенного интеграла

b

Пусть надо вычислить f (x)dx , но первообразная для функции f (x) не выражается через

a

элементарные функции. Тогда применить формулу Ньютона-Лейбница невозможно. В таких случаях применяются методы приближенного вычисления определенных интегралов. Рассмотрим их, используя

определение интеграла

как

границы

 

интегральной

 

 

суммы.

Разделим отрезок [a,b]

точками

a x0 , x1 , x2 ,..., xn 1 , xn

b на n

частичных отрезков равной длины. Обозначим длину каждый из них

через x . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

b a

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Обозначим через y0 , y1 ,...,

yn 1 , yn

значения функции f (x)

в точках x0 , x1 ,..., xn 1 , xn , то есть

 

 

y0 f (x0 ), y1

f (x1 ),..., yn 1

f (xn 1 ), yn

f (xn ) .

 

Составим суммы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

y0 x y1

x ... yn 1

x yk 1

x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

y1 x y2 x ... yn

x yk x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

Каждая из этих сумм представляет собой интегральную сумму для

f (x) на отрезке [a,b] и поэтому

приближенно выражает интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

b

 

b a

 

 

 

 

 

 

y

f

( x )

 

f (x)dx

( y0 y1

... yn 1 ) ,

(8.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx b a

( y1 y2 ... yn ) .

(8.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

y 1

y 2

 

 

 

Из рис.

8.7

видно, что формула (8.26)

выражает площадь

 

 

 

 

 

ступенчатой

фигуры,

составленной из

прямоугольников,

 

 

 

 

 

 

 

0

x 0 a

x 1

x 2

x n 1

x n

b

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р и с .

8 . 7

 

 

 

 

 

 

 

вписанных в криволинейную трапецию, а формула (8.27) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, описанных вокруг криволинейной трапеции. Поэтому формулы (8.26; 8.27) называются формулами прямоугольников. Погрешность при вычислении интегралов за формулами прямоугольников будет тем меньше, чем больше число n. Она

выражается формулой | R | M 1 (b a)2 , 2n

где M1 - максимальное значение абсолютной величины производной f (x) на [a,b] .

Более точное значение определенного интеграла получим, если данную кривую заменим не ступенчатой линией, как это делается в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис.

8.8).

y

 

 

 

 

 

A

n 1

A n

y f ( x )

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

n

 

 

 

y 0

y

1

y

2

y

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x 0 a

x 1

 

x 2

 

x n 1

x n

b

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р и с . 8 . 8

Тогда площадь криволинейной трапеции aA0 Anb

заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами A0 A1 , A1 A2 , A2 A3 ,...,

,..., An 1 An . Поскольку площадь первой из этих трапеций

равна

y0 y1

x , площадь второй равняется

y1 y2

x ,

2

2

 

 

 

то

 

 

 

 

b

y y

 

y y

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

0

1

x

1

2

x ...

n 1

 

n

x

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

или

b a y

 

y

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

 

 

0

 

n

y1 y2

... yn 1

.

(8.28)

 

 

 

 

 

a

n

 

2

 

 

 

 

 

Легко видеть, что она дает среднее арифметическое из формул (8.26 и 8.27). Формула (8.28) называется формулой трапеций. В этом случае погрешность вычисляется по формуле

R

M (b a)3

,

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где M 2 - минимальное значение абсолютной величины второй производной f (x) на [a,b] .

 

Более точные результаты можно получить по формуле Симпсона (или формуле парабол),

которая имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

b

 

b a

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

( y0

y2m 2( y2 y4 ... y2m 2 )

 

 

 

 

 

a

 

6m

 

(8.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4( y1 y3

... y2m 1 )).

 

При

этому надо обратить внимание на то, что число n

частичных отрезков, на которые

разбивается отрезок [a,b] , должно быть обязательно четным,

то есть n 2m . Тогда каждые две

соседних криволинейных трапеции, на которые разбилась вся криволинейная трапеция aA0 Anb (рис. 8.8), заменяются параболической трапецией, площадь которой исчисляется по формуле

S h3 ( y0 4 y1 y2 ) ,

где y0

и y2 - крайние ординаты, y1 - ордината кривой в середине отрезка, а 2h - расстояние

 

y

y

Ax

2

Bx

 

C

между ординатами y0 и y2

(рис. 8.9).

 

 

 

 

 

Погрешность при этом может быть вычислена по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формуле

 

 

 

 

 

 

y 0

y 1

 

y 2

 

 

 

 

 

| R |

 

1

 

 

(b a)

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2880n4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- h

0

 

h

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р и с . 8 . 9