2Векторная__алгебра
.pdf1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Скалярные и векторные величины
Из курса элементарной физики известно, что некоторые физические величины, такие как температура, объем, масса тела, плотность и т.д., определяются только числовым значением. Такие величины называются скалярными величинами, или скалярами.
Для определения же некоторых других величин, таких как сила, скорость, ускорение и тому подобных, кроме числовых значений необходимо задать еще и их направление в пространстве. Величины, которые кроме абсолютной величины характеризуются еще и направлением, называются векторными.
Определение Вектором называется направленный отрезок, который определяется двумя точками:
первая точка определяет начало вектора, а вторая - его конец. Поэтому еще говорят, что вектор - это упорядоченная пара точек.
На рисунке вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмеченное направление от начала вектора к его концу. Например, рис. 2.1.
Если начало вектора совпадает с точкой A , а конец с точкой B , то
В
А
Р и с . 2 . 1
вектор обозначается AB . Кроме этого, часто векторы обозначают одной
маленькой буквой со стрелкой над ней a . В книжках иногда стрелку опускают, тогда для обозначения вектора употребляют жирный шрифт.
К векторам относится нулевой вектор, у которого начало и конец
совпадают. Он обозначается 0 или просто 0 .
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной,
или модулем. Модуль вектора обозначается двумя вертикальными черточками слева: AB , a , или без
стрелочек AB или a .
Векторы, параллельные до одной прямой, называются коллинеарными.
Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются
компланарными.
Нулевой вектор считается коллинеарным к любому вектору. Длина его равна 0.
|
|
|
Определение Два вектора AB и CD называются равными (рис. |
||||
|
B |
D |
2.2), если они: 1) коллинеарны; 2) сонаправлены 3) равны по |
|
|||
|
|
длине. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это записывают так: |
AB CD. |
(2.1) |
|
|
|
|
|
Из определения |
равенства |
векторов вытекает, что |
при |
|
A |
C |
|
параллельном переносе вектора получается |
вектор, равный |
|||
|
|
начальному, потому начало вектора можно разместить в любую |
|||||
|
|
|
|||||
|
Р и с . 2 . 2 |
|
точку пространства. Такие векторы (в теоретической механике, |
||||
|
|
геометрии), начало |
которых можно размещать |
в любой |
точке |
||
|
|
|
пространства, называют свободными. И именно такие векторы мы будем рассматривать.
|
|
|
|
Определение Система векторов a1 , a2 |
,..., am называется линейно зависимой, если существуют такие |
||
постоянные c1 , c2 ,..., cm , среди которых есть хотя бы одна отличная от нуля, и для которых |
|||
|
|
|
|
выполняется равенство c1a1 |
c2 a2 |
|
... cm am 0 . |
Определение Базисом в пространстве называются произвольные три некомпланарных вектора, которые взяты в определенной последовательности.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение Если e1 |
, e2 , e3 - базис и вектор |
a |
1e1 |
2 e2 |
3e3 , то числа 1 , 2 , 3 называются |
|||||
координатами вектора a |
в данном базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Координаты вектора будем писать в фигурных скобках после обозначения вектора. Так, например, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
3, 2,5 означает, что вектор a в некотором выбранном базисе имеет разложение: a |
3e1 |
2e2 |
5e3 . |
Из свойств умножения вектора на число и сложения векторов вытекает утверждение относительно линейных действий над векторами, которые заданы координатами.
Для того, чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, необходимо из соответствующей координаты его конца отнять координату начала.
AB x2 x1, y2 y1, z2 z1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Линейные операции над векторами |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и |
||||||||||||||||||
умножения вектора на число. Рассмотрим их. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определение |
Произведением |
|
|
|
число |
m |
называется |
вектор, совпадающий |
по |
||||||||||
вектора a |
на |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
направлению |
с |
вектором a , |
если |
имеющий |
противоположное направление, |
если |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m . |
|
||
отрицательное. Длина этого вектора равна произведению длины вектора a на модуль числа |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Пример. Построить вектор b |
ma , если m 2 и m |
|
(рис. 2.3). |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
При умножении вектора на число его координаты умножаются на это |
|||||||||||||||
2 a |
|
1 |
|
число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a |
Действительно, если a |
1e1 |
2 e2 |
3e3 , то |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a ( 1e1 |
2e2 |
3e3 ) 1 |
e1 |
2 e2 |
3 e3 . |
|
|
|
|||||||
|
Р и с . 2 . 3 |
|
|
|
|
|
|
|
на 1 |
|
|
|
|
- |
|||||
|
|
Произведением вектора a |
называется вектор a ; |
a 1 a |
противоположено направленный a .
Отметим, что вектор, длина которого равна 1, называется единичным (или ортом).
Пользуясь операцией умножения вектора на число, любой вектор можно выразить через единичный вектор
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
того же направления. Действительно, поделив вектор a |
|
на его длину |
|
a |
|
(т.е. умножив a |
на |
|
), получим |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
единичный вектор того же направления, |
что и вектор a . Его будем обозначать a 0 |
|
. Отсюда следует, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что a |
a |
a 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение Суммой двух векторов a |
и b |
называется вектор c , который выходит из их общего |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начала и является диагональю параллелограмма, стороны которого векторы a и b |
|
(рис. 2.4). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
a b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А |
|
|
|
|
С |
По определению |
равных |
векторов |
AC |
OB |
поэтому |
OC OA AC - |
||||||||||||||
a |
|
|
c |
|
|
c |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
правило треугольника. Правило треугольника можно распространить на |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
любое |
количество |
векторов |
и |
таким |
образом |
получить |
правило |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
- |
это |
вектор, который |
соединяет |
начало |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
многоугольника: s |
a |
b c |
d |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
первого |
вектора |
|
|
|
с |
концом |
|
|
|
последнего |
|
вектора |
|
|||||||
|
|
Р и с . 2 . 4 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
d (рис. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
s a b |
c |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р и с . 2 . 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, для того чтобы построить вектор суммы, надо к концу первого вектора |
|
пристроить начало |
второго, к концу второго пристроить начало третьего и так далее. Тогда вектором суммы и будет вектор, |
|||||||||||
который соединяет начало первого из векторов с концом последнего. |
|||||||||||
При сложении векторов складываются и их соответствующие координаты |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, если |
a |
1e1 2 e2 |
3e3 |
и |
b |
1e1 |
2 e2 |
3e3 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
a |
b ( 1e1 |
2e2 |
3e) ( 1e1 |
2e2 3e3 ) |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e1 2 2 e2 |
|
3 3 e3 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если векторы a, b и c не компланарны, то их сумма является диагональю OM параллелепипеда, |
построенного на этих векторах (рис. 2.6)
3
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
OM OA OB OC , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
b |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OB b, |
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.6 |
|
|
OC c. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства: |
|
|
|
|
|
|
- коммутативность; |
|
||||
a |
b |
b |
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ассоциативность; |
||
a |
b |
c |
a |
b |
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
- дистрибутивность по отношению к умножению на число |
||||
m a |
b |
ma |
mb |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m n a |
ma na . |
|
|
Т.е. векторную сумму можно преобразовывать по тем же правилам, что и алгебраическую.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение Разностью двух векторов a |
и b называют такой вектор d , который при сложении с |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представляет собой |
вектором b дает вектор a . Т.е. |
a |
b |
d |
если b |
d |
a |
. Геометрически d |
|||||
вторую диагональ |
параллелограмма, |
|
построенного |
на |
векторах |
|
|
общим началом и |
||||
|
a и |
b с |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2.7). |
|
|
|
||
направленную из конца вектора b в конец вектора a |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
С |
|
|
a a b b
c a b
d a b
А |
D |
Р и с . 2 . 7
Проекция вектора на ось. Свойства проекций
В |
Вспомним |
понятие числовой оси. Числовой |
осью называют |
прямую, на |
||
|
которой определено: |
|
|
|
||
1) |
направление ( → ); |
|
|
|
||
А |
|
|
|
|||
2) |
начало отсчета (точка О); |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
3) |
отрезок, который принимают за единицу масштаба. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
имеется вектор AB |
и ось . |
Из точек A и |
B опустим |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
перпендикуляры на ось . Получим точки a и b - проекции точек A и B (рис. |
|||||
Р и с . 2 . 8 а |
2.8 а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Определение Проекцией вектора |
AB на ось |
называется длина отрезка |
ab этой оси, который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора AB на ось
. Она берется со знаком плюс, если направление отрезка ab совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Обозначение: ab np e AB .
|
|
|
|
В |
Определение Углом между вектором AB и осью называется угол |
||
, на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось |
|
||
|
|||
|
, |
А |
чтобы она совпадала с направлением вектора AB . |
|
|
|
Найдем np e AB : |
|
|
|
Р и с . 2 . 8 б
4
На рис.2.8 а представлена: np e AB ab AB cos 0 .
На рис. 2.8 б): np e AB ab AB cos AB cos 0 .
Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью
проекций: |
npe AB |
|
AB |
|
cos |
|
|
|
|
. |
|
|
|
Свойства проекций:
-равные векторы имеют равные проекции;
- при умножении вектора AB на число m его проекция на ось также умножается на то же число;
- проекция суммы двух векторов на ось равна
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумме проекций этих векторов, см. рис. 2.9. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
А |
|
|
|
|
|
С |
|
|
np AC A C np AB np BC А B B C . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
1 |
|
e |
e |
1 1 |
1 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
, то векторы называются |
|
||||||||
|
|
A |
|
|
B 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ортогональными |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Р и с . 2 . 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
0,5,7 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Заданы векторы a |
1, 3,2 , b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2,9 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 8, 5 , . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 a 3, 9,6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Если начало вектора AB находится в точке A 2, 3,5 , а конец в точке B 1,1,8 , то вектор |
||||||||||||||||||||||||
AB имеет координаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AB 1 2;1 3 ;8 5 1;4;3 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется наименьший угол |
AOB (рис. 2.13) |
|||||||
Определение Углом между двумя векторами a |
и b |
|||||||||||||||||||||||
между этими векторами, сведенными в общее начало |
O . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
символически записывают |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол между векторами a |
и b |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таким образом: a,b . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения следует, что угол между векторами может |
|||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
изменяться в пределах 0 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
, то векторы называются ортогональными. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
А |
OM x, y, z . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
С |
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Р и с . 2 . 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Косинусы углов вектора с осями координат |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, az образует с осями координат |
||||
называются направляющими косинусами вектора. Если вектор a ax |
, a y |
|||||||||||||||||||||||
углы , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
cos , a y |
|
cos , az |
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
cos |
|
|
|
|
откуда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||
cos |
ax |
|
, cos |
a y |
, cos |
az |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
Скалярное произведение двух векторов и его свойства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Скалярным |
произведением двух |
векторов a |
и |
b называется число, равное |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
произведению модулей векторов a |
и b на косинус угла между ними. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
Скалярное произведение векторов a |
и b обозначают |
a |
b , или a, b |
||||||||||||||||
Итак, по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
b |
a |
|
|
b |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где - угол между векторами a та b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по |
|||||||||||||||||||
определению считают равным нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
b |
|
|
b, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то формулу скалярного произведения можно записать еще и таким образом:
|
|
|
|
|
a |
b |
|
a |
np b |
|
|
|
|
a |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
b |
np a . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из |
|||||||||||||||||||||||
векторов на проекцию второго вектора на направление первого. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Скалярное произведение имеет следующие свойства: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.Скалярное произведение коммутативно, то есть для любых векторов a |
b |
b |
a . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
cos00 |
|
|
2 |
, т.е. для |
произвольного вектора его |
скалярный квадрат равняется |
||||||||||
2. a |
a |
a 2 |
a |
a |
a |
|
|
||||||||||||||||
квадрату модуля этого вектора. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
a |
a . |
|
|
|
3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или
хотя бы один из них равен нулю. |
|
|
|
|
|
||||
4. |
Скалярное |
произведение |
ассоциативно |
относительно |
скалярного |
множителя, |
то |
||
|
|
|
|
|
|
(2.16) |
|
|
|
есть a |
b |
a |
b ab . |
|
|
|
|
5. Скалярное произведение дистрибутивный относительно сложения, то есть для произвольных трех
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов a, b, c имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b c a |
b |
a |
c . |
||
6. Векторы ортонормального базиса удовлетворяют соотношениям: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
j |
j |
k |
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
i |
k |
j |
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь два вектора a |
и b , |
которые заданы координатами в прямоугольной системе |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
координат: a ax , a y , az |
; b bx , by , bz , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. a |
ax i |
ay j |
az k , b |
bx i |
by j |
bz k . |
|||||
Тогда, пользуясь перечисленными свойствами скалярного произведения, получим, |
||||||||||||||||||
|
|
|
axbx ay by |
az bz , скалярное произведение двух векторов в ортонормальном базисе равно |
||||||||||||||
a |
b |
|||||||||||||||||
сумме произведений их соответствующих координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
a 2 |
a 2 |
, модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат. |
||||||||||||
|
a |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
b |
|||
Косинус угла между двумя векторами |
cos |
|
|
|
. |
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для ортонормального базиса получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
ax bx a y by az bz |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
a 2 a 2 |
b 2 |
b 2 |
b 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
x |
y |
|
z |
||
и условие ортогональности двух векторов приобретает вид: |
ax bx a y by |
az bz 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если b |
i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
a |
2 |
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a y |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
b |
j |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a 2 a |
2 |
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при
0
|
|
|
|
cos |
|
|
az |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
a 2 |
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Векторное произведение двух векторов, его свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2.21. Векторным произведением вектора a |
на вектор b называется вектор c (рис. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.15), |
у |
которого: 1) длина численно равняется площади |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллелограмма, построенного на этих векторах. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
2) |
вектор |
|
перпендикулярен |
к |
плоскости, |
в |
которой лежат |
||||||||||||||
|
a b |
|
|
|
|
|
c |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы a и b , т.е. c |
a и |
c |
b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
c направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
осуществлялся против часовой стрелки, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от вектора a |
к вектору b |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если смотреть на него из конца вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное |
произведение векторов |
и |
|
обозначается |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|||||||||||||||
c 1 b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
символом a b c |
или [a, b ] c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Р и с . |
2 . 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения вытекает, что |
c |
| a b | |
a |
|
b |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) [a, b ] [b, a] - антикоммутативность; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) [ a, b ] [a, b ]; [a, b ] |
[a, b ] - ассоциативность относительно скалярного множителя; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- дистрибутивность относительно сложения; |
|||||||||
3) [a |
b, c ] [a, c ] [b, c ] |
||||||||||||||
|
|
|
означает коллинеарность векторов |
|
|
|
|
||||||||
4) [a, b ] 0 |
a |
и b . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для векторного произведения основных ортов i , j , k справедлива такая таблица (табл.2.1). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
k |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
j |
|
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С использованием этой таблицы можно доказать, что если векторы a |
и b заданные своими координатами |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , y2 , z2 , т.е. |
|
|
|||||
в прямоугольной системе координат a x1 |
, y1 , z1 ; b |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x1i |
y1 j |
z1k ; |
b |
x2 i |
y2 j z2 k , |
|
|
|
|
|
|
|
то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
b |
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
||||
Если a |
и b коллинеарны, то |
a |
b |
0 и из (2.31) получим, что |
1 |
|
1 |
1 |
, - условие коллинеарности |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
||||
векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное |
произведение |
может использоваться |
для |
вычисления площади параллелограмма, а |
значит, треугольника и любого плоского многоугольника, а также для вычисления момента силы. В случае,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда тело неподвижно закреплено в т. A , а в т. B этого тела приложена сила F , тогда момент силы |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M AB, F , а величина момента равна |
M |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример Сила F 1;3;2 приложена к точке A 5;4; 6 . Определить момент этой силы |
|||||||||||
относительно начала координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По формуле (2.33) |
M |
OA F . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA 5;4; 6 , так как соединяет точку A с началом координат. По условию F 1;3;2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
4 6 |
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
i 8 |
18 j 10 |
6 k 15 4 |
||||||
По формуле |
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
26i |
16 j |
11k . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., |
M 26; 16;11 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Смешанное произведение трех векторов |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение Смешанным произведением трех векторов a, b |
и c называется число, полученное, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если перемножить векторы a |
и b векторно, а потом полученный вектор умножить скалярно на вектор c . |
Поэтому это произведение еще называется векторно-скалярным произведением. Смешанное произведение |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
записывается таким образом: a, b, c |
, т.е. a, b, c |
([a, b ], c ) . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С геометрической точки зрения смешанное произведение некомпланарных векторов a, b |
и c по |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Если векторы a, b |
c заданы координатами в прямоугольной системе координат |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x1 , y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 , y3 , z3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
a |
, z1 ; b |
x2 , y2 , z2 , c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то можно показать, что |
a, b, c |
|
x2 |
y2 |
z2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Если a, b , c 0 , то это означает, что параллелепипед на этих векторах построить нельзя, то есть |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
лежат в одной плоскости, ведь |
|
|
|
|
|
|||||||||||
векторы a, b |
и c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
выражает условие компланарности векторов a, b и |
c . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Смешанное произведение имеет такие свойства: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1) ([a, b ], c ) |
(a,[b, c ]) - операции скалярного и векторного произведений можно менять местами, |
|||||||||||||||||||
поэтому смешанное произведение записывают еще в виде |
|
|
|
|||||||||||||||||||
abc ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2) |
круговая |
|
|
перестановка |
множителей |
не |
изменяет величины смешанного |
произведения |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a, b, c |
b, c, a c, a, b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
3) перестановка двух соседних множителей изменяет знак произведения на противоположный
|
|
. |
a, b, c |
b, a, c |
Пример. Найти объем пирамиды с вершинами A 2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;6 и D 2;3;8 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
||||
Как известно из элементарной геометрии, объем пирамиды ABCD равен одной шестой |
|||||||||||||||||||||||||||||||
объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC та AD . Поэтому найдем координаты |
|||||||||||||||||||||||||||||||
этих векторов |
|
|
|
|
AB 2;3;0 , AC 2;0;6 , AD 0;3;8 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
Вычислим объем параллелепипеда, то есть за формулой (2.34) найдем смешанное |
|||||||||||||||||||||||||||||||
произведение векторов AB, AC и AD : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
AB AC AD |
|
2 0 |
6 |
|
0 |
3 |
6 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
8 |
|
|
|
|
0 |
3 |
8 |
|
|
|
|
3 |
8 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 24 18 84. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
пір |
|
1 |
|
AB AC AD |
|
|
|
1 |
84 = 84 куб. ед. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример Показать, что точки A(2; 1; 2), B 1;2;1 , C 2;3;0 |
и D 5;0; 6 лежат в одной плоскости. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
||||
Точки A, B,C и |
D будут лежать в одной плоскости, |
если векторы AB, AC и AD компланарны. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Найдем координаты этих векторов: |
|
AB 1;3;3 , AC 0;4;2 , AD 3;1; 4 . Вычислим смешанное |
|||||||||||||||||||||||||||||
произведение этих векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
AB AC AD |
|
|
1 |
3 |
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
3 |
|
1 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 4 |
2 |
|
0 4 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
0 |
10 |
5 |
|
|
|
10 |
5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 20 20 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Равенство нулю смешанного произведения есть необходимым и достаточным условием |
|||||||||||||||||||||||||||||||
компланарности векторов AB, AC и AD , а значит, точки A, B,C и D принадлежат одной плоскости. |