Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2Векторная__алгебра

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
22.03.2016
Размер:
1.05 Mб
Скачать

1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Скалярные и векторные величины

Из курса элементарной физики известно, что некоторые физические величины, такие как температура, объем, масса тела, плотность и т.д., определяются только числовым значением. Такие величины называются скалярными величинами, или скалярами.

Для определения же некоторых других величин, таких как сила, скорость, ускорение и тому подобных, кроме числовых значений необходимо задать еще и их направление в пространстве. Величины, которые кроме абсолютной величины характеризуются еще и направлением, называются векторными.

Определение Вектором называется направленный отрезок, который определяется двумя точками:

первая точка определяет начало вектора, а вторая - его конец. Поэтому еще говорят, что вектор - это упорядоченная пара точек.

На рисунке вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмеченное направление от начала вектора к его концу. Например, рис. 2.1.

Если начало вектора совпадает с точкой A , а конец с точкой B , то

В

А

Р и с . 2 . 1

вектор обозначается AB . Кроме этого, часто векторы обозначают одной

маленькой буквой со стрелкой над ней a . В книжках иногда стрелку опускают, тогда для обозначения вектора употребляют жирный шрифт.

К векторам относится нулевой вектор, у которого начало и конец

совпадают. Он обозначается 0 или просто 0 .

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной,

или модулем. Модуль вектора обозначается двумя вертикальными черточками слева: AB , a , или без

стрелочек AB или a .

Векторы, параллельные до одной прямой, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются

компланарными.

Нулевой вектор считается коллинеарным к любому вектору. Длина его равна 0.

 

 

 

Определение Два вектора AB и CD называются равными (рис.

 

B

D

2.2), если они: 1) коллинеарны; 2) сонаправлены 3) равны по

 

 

 

длине.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это записывают так:

AB CD.

(2.1)

 

 

 

 

 

Из определения

равенства

векторов вытекает, что

при

A

C

 

параллельном переносе вектора получается

вектор, равный

 

 

начальному, потому начало вектора можно разместить в любую

 

 

 

 

Р и с . 2 . 2

 

точку пространства. Такие векторы (в теоретической механике,

 

 

геометрии), начало

которых можно размещать

в любой

точке

 

 

 

пространства, называют свободными. И именно такие векторы мы будем рассматривать.

 

 

 

 

Определение Система векторов a1 , a2

,..., am называется линейно зависимой, если существуют такие

постоянные c1 , c2 ,..., cm , среди которых есть хотя бы одна отличная от нуля, и для которых

 

 

 

 

выполняется равенство c1a1

c2 a2

 

... cm am 0 .

Определение Базисом в пространстве называются произвольные три некомпланарных вектора, которые взяты в определенной последовательности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение Если e1

, e2 , e3 - базис и вектор

a

1e1

2 e2

3e3 , то числа 1 , 2 , 3 называются

координатами вектора a

в данном базисе.

 

 

 

 

 

 

 

 

Координаты вектора будем писать в фигурных скобках после обозначения вектора. Так, например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

3, 2,5 означает, что вектор a в некотором выбранном базисе имеет разложение: a

3e1

2e2

5e3 .

Из свойств умножения вектора на число и сложения векторов вытекает утверждение относительно линейных действий над векторами, которые заданы координатами.

Для того, чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, необходимо из соответствующей координаты его конца отнять координату начала.

AB x2 x1, y2 y1, z2 z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Линейные операции над векторами

 

 

 

 

 

 

 

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и

умножения вектора на число. Рассмотрим их.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

Произведением

 

 

 

число

m

называется

вектор, совпадающий

по

вектора a

на

 

 

 

 

 

 

m 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

направлению

с

вектором a ,

если

имеющий

противоположное направление,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m .

 

отрицательное. Длина этого вектора равна произведению длины вектора a на модуль числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

a

 

 

 

Пример. Построить вектор b

ma , если m 2 и m

 

(рис. 2.3).

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это

2 a

 

1

 

число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

Действительно, если a

1e1

2 e2

3e3 , то

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ( 1e1

2e2

3e3 ) 1

e1

2 e2

3 e3 .

 

 

 

 

Р и с . 2 . 3

 

 

 

 

 

 

 

на 1

 

 

 

 

-

 

 

Произведением вектора a

называется вектор a ;

a 1 a

противоположено направленный a .

Отметим, что вектор, длина которого равна 1, называется единичным (или ортом).

Пользуясь операцией умножения вектора на число, любой вектор можно выразить через единичный вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

того же направления. Действительно, поделив вектор a

 

на его длину

 

a

 

(т.е. умножив a

на

 

), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

единичный вектор того же направления,

что и вектор a . Его будем обозначать a 0

 

. Отсюда следует,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что a

a

a 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение Суммой двух векторов a

и b

называется вектор c , который выходит из их общего

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

начала и является диагональю параллелограмма, стороны которого векторы a и b

 

(рис. 2.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

a b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

С

По определению

равных

векторов

AC

OB

поэтому

OC OA AC -

a

 

 

c

 

 

c

 

 

 

 

 

правило треугольника. Правило треугольника можно распространить на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

любое

количество

векторов

и

таким

образом

получить

правило

0

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

-

это

вектор, который

соединяет

начало

 

 

 

 

 

 

многоугольника: s

a

b c

d

 

 

 

 

 

 

 

первого

вектора

 

 

 

с

концом

 

 

 

последнего

 

вектора

 

 

 

Р и с . 2 . 4

 

 

a

 

 

 

 

 

 

d (рис.

 

 

 

 

 

 

 

2.5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

s a b

c

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р и с . 2 . 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, для того чтобы построить вектор суммы, надо к концу первого вектора

 

пристроить начало

второго, к концу второго пристроить начало третьего и так далее. Тогда вектором суммы и будет вектор,

который соединяет начало первого из векторов с концом последнего.

При сложении векторов складываются и их соответствующие координаты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, если

a

1e1 2 e2

3e3

и

b

1e1

2 e2

3e3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

a

b ( 1e1

2e2

3e) ( 1e1

2e2 3e3 )

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e1 2 2 e2

 

3 3 e3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если векторы a, b и c не компланарны, то их сумма является диагональю OM параллелепипеда,

построенного на этих векторах (рис. 2.6)

3

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

OM OA OB OC ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OA a,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

b

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OB b,

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.6

 

 

OC c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства:

 

 

 

 

 

 

- коммутативность;

 

a

b

b

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ассоциативность;

a

b

c

a

b

c

 

 

 

 

 

 

 

- дистрибутивность по отношению к умножению на число

m a

b

ma

mb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m n a

ma na .

 

 

Т.е. векторную сумму можно преобразовывать по тем же правилам, что и алгебраическую.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение Разностью двух векторов a

и b называют такой вектор d , который при сложении с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

представляет собой

вектором b дает вектор a . Т.е.

a

b

d

если b

d

a

. Геометрически d

вторую диагональ

параллелограмма,

 

построенного

на

векторах

 

 

общим началом и

 

a и

b с

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 2.7).

 

 

 

направленную из конца вектора b в конец вектора a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

С

 

 

a a b b

c a b

d a b

А

D

Р и с . 2 . 7

Проекция вектора на ось. Свойства проекций

В

Вспомним

понятие числовой оси. Числовой

осью называют

прямую, на

 

которой определено:

 

 

 

1)

направление ( → );

 

 

 

А

 

 

 

2)

начало отсчета (точка О);

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

отрезок, который принимают за единицу масштаба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

имеется вектор AB

и ось .

Из точек A и

B опустим

 

 

 

 

 

 

 

a

перпендикуляры на ось . Получим точки a и b - проекции точек A и B (рис.

Р и с . 2 . 8 а

2.8 а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение Проекцией вектора

AB на ось

называется длина отрезка

ab этой оси, который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора AB на ось

. Она берется со знаком плюс, если направление отрезка ab совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Обозначение: ab np e AB .

 

 

 

В

Определение Углом между вектором AB и осью называется угол

, на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось

 

 

 

,

А

чтобы она совпадала с направлением вектора AB .

 

 

Найдем np e AB :

 

 

 

Р и с . 2 . 8 б

4

На рис.2.8 а представлена: np e AB ab AB cos 0 .

На рис. 2.8 б): np e AB ab AB cos AB cos 0 .

Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью

проекций:

npe AB

 

AB

 

cos

 

 

 

 

.

 

 

Свойства проекций:

-равные векторы имеют равные проекции;

- при умножении вектора AB на число m его проекция на ось также умножается на то же число;

- проекция суммы двух векторов на ось равна

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сумме проекций этих векторов, см. рис. 2.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

С

 

 

np AC A C np AB np BC А B B C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

1

1

 

e

e

1 1

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

, то векторы называются

 

 

 

A

 

 

B 1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

ортогональными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р и с . 2 . 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

0,5,7 . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

Заданы векторы a

1, 3,2 , b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2,9 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, 8, 5 , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 a 3, 9,6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Если начало вектора AB находится в точке A 2, 3,5 , а конец в точке B 1,1,8 , то вектор

AB имеет координаты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB 1 2;1 3 ;8 5 1;4;3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется наименьший угол

AOB (рис. 2.13)

Определение Углом между двумя векторами a

и b

между этими векторами, сведенными в общее начало

O .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

символически записывают

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол между векторами a

и b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

таким образом: a,b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из определения следует, что угол между векторами может

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

изменяться в пределах 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

, то векторы называются ортогональными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

А

OM x, y, z .

 

 

 

 

 

 

 

 

С

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р и с . 2 . 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Косинусы углов вектора с осями координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, az образует с осями координат

называются направляющими косинусами вектора. Если вектор a ax

, a y

углы , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

cos , a y

 

cos , az

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

cos

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

cos

ax

 

, cos

a y

, cos

az

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

a

 

Скалярное произведение двух векторов и его свойства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Скалярным

произведением двух

векторов a

и

b называется число, равное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

произведению модулей векторов a

и b на косинус угла между ними.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Скалярное произведение векторов a

и b обозначают

a

b , или a, b

Итак, по определению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где - угол между векторами a та b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по

определению считают равным нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos np

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos np

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то формулу скалярного произведения можно записать еще и таким образом:

 

 

 

 

 

a

b

 

a

np b

 

 

 

 

a

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

b

np a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из

векторов на проекцию второго вектора на направление первого.

 

 

 

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Скалярное произведение коммутативно, то есть для любых векторов a

b

b

a .

 

 

 

 

 

 

 

(2.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos00

 

 

2

, т.е. для

произвольного вектора его

скалярный квадрат равняется

2. a

a

a 2

a

a

a

 

 

квадрату модуля этого вектора. Отсюда

 

 

 

 

 

 

(2.15)

 

 

 

 

a

 

a

a .

 

 

 

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или

хотя бы один из них равен нулю.

 

 

 

 

 

4.

Скалярное

произведение

ассоциативно

относительно

скалярного

множителя,

то

 

 

 

 

 

 

(2.16)

 

 

 

есть a

b

a

b ab .

 

 

 

 

5. Скалярное произведение дистрибутивный относительно сложения, то есть для произвольных трех

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторов a, b, c имеет место равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b c a

b

a

c .

6. Векторы ортонормального базиса удовлетворяют соотношениям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

j

j

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

i

k

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь два вектора a

и b ,

которые заданы координатами в прямоугольной системе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координат: a ax , a y , az

; b bx , by , bz ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.е. a

ax i

ay j

az k , b

bx i

by j

bz k .

Тогда, пользуясь перечисленными свойствами скалярного произведения, получим,

 

 

 

axbx ay by

az bz , скалярное произведение двух векторов в ортонормальном базисе равно

a

b

сумме произведений их соответствующих координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

a 2

a 2

, модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

 

a

 

 

 

 

 

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

a

b

Косинус угла между двумя векторами

cos

 

 

 

.

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

Для ортонормального базиса получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

ax bx a y by az bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

a 2 a 2

b 2

b 2

b 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

z

 

x

y

 

z

и условие ортогональности двух векторов приобретает вид:

ax bx a y by

az bz 0 .

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если b

i ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

a

2

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a y

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

b

j

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 a

2

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

0

 

 

 

 

cos

 

 

az

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

a 2

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторное произведение двух векторов, его свойства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 2.21. Векторным произведением вектора a

на вектор b называется вектор c (рис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.15),

у

которого: 1) длина численно равняется площади

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параллелограмма, построенного на этих векторах.

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

2)

вектор

 

перпендикулярен

к

плоскости,

в

которой лежат

 

a b

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторы a и b , т.е. c

a и

c

b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

c направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

осуществлялся против часовой стрелки,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от вектора a

к вектору b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если смотреть на него из конца вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторное

произведение векторов

и

 

обозначается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

c 1 b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

символом a b c

или [a, b ] c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р и с .

2 . 1 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из определения вытекает, что

c

| a b |

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) [a, b ] [b, a] - антикоммутативность;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) [ a, b ] [a, b ]; [a, b ]

[a, b ] - ассоциативность относительно скалярного множителя;

 

 

 

 

 

 

- дистрибутивность относительно сложения;

3) [a

b, c ] [a, c ] [b, c ]

 

 

 

означает коллинеарность векторов

 

 

 

 

4) [a, b ] 0

a

и b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для векторного произведения основных ортов i , j , k справедлива такая таблица (табл.2.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

k

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

k

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

k

 

 

j

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С использованием этой таблицы можно доказать, что если векторы a

и b заданные своими координатами

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 , y2 , z2 , т.е.

 

 

в прямоугольной системе координат a x1

, y1 , z1 ; b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x1i

y1 j

z1k ;

b

x2 i

y2 j z2 k ,

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

x1

y1

z1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

z

Если a

и b коллинеарны, то

a

b

0 и из (2.31) получим, что

1

 

1

1

, - условие коллинеарности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

z2

векторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторное

произведение

может использоваться

для

вычисления площади параллелограмма, а

значит, треугольника и любого плоского многоугольника, а также для вычисления момента силы. В случае,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

когда тело неподвижно закреплено в т. A , а в т. B этого тела приложена сила F , тогда момент силы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M AB, F , а величина момента равна

M

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример Сила F 1;3;2 приложена к точке A 5;4; 6 . Определить момент этой силы

относительно начала координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (2.33)

M

OA F .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OA 5;4; 6 , так как соединяет точку A с началом координат. По условию F 1;3;2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

4 6

 

 

 

 

 

5

 

i 8

18 j 10

6 k 15 4

По формуле

 

1

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26i

16 j

11k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.о.,

M 26; 16;11 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смешанное произведение трех векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение Смешанным произведением трех векторов a, b

и c называется число, полученное,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если перемножить векторы a

и b векторно, а потом полученный вектор умножить скалярно на вектор c .

Поэтому это произведение еще называется векторно-скалярным произведением. Смешанное произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

записывается таким образом: a, b, c

, т.е. a, b, c

([a, b ], c ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С геометрической точки зрения смешанное произведение некомпланарных векторов a, b

и c по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если векторы a, b

c заданы координатами в прямоугольной системе координат

 

 

 

 

 

x1 , y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 , y3 , z3

 

 

 

 

 

 

 

a

, z1 ; b

x2 , y2 , z2 , c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

y1

z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то можно показать, что

a, b, c

 

x2

y2

z2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

y3

z3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если a, b , c 0 , то это означает, что параллелепипед на этих векторах построить нельзя, то есть

 

 

 

 

 

 

лежат в одной плоскости, ведь

 

 

 

 

 

векторы a, b

и c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

y1

z1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

z2

выражает условие компланарности векторов a, b и

c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

y3

z3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смешанное произведение имеет такие свойства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ([a, b ], c )

(a,[b, c ]) - операции скалярного и векторного произведений можно менять местами,

поэтому смешанное произведение записывают еще в виде

 

 

 

abc ;

 

 

 

 

2)

круговая

 

 

перестановка

множителей

не

изменяет величины смешанного

произведения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a, b, c

b, c, a c, a, b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

3) перестановка двух соседних множителей изменяет знак произведения на противоположный

 

 

.

a, b, c

b, a, c

Пример. Найти объем пирамиды с вершинами A 2;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;6 и D 2;3;8 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

Как известно из элементарной геометрии, объем пирамиды ABCD равен одной шестой

объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC та AD . Поэтому найдем координаты

этих векторов

 

 

 

 

AB 2;3;0 , AC 2;0;6 , AD 0;3;8 .

 

Вычислим объем параллелепипеда, то есть за формулой (2.34) найдем смешанное

произведение векторов AB, AC и AD :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

0

 

 

 

 

2

3

0

 

 

 

 

3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB AC AD

 

2 0

6

 

0

3

6

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

8

 

 

 

 

0

3

8

 

 

 

 

3

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 24 18 84.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

пір

 

1

 

AB AC AD

 

 

 

1

84 = 84 куб. ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример Показать, что точки A(2; 1; 2), B 1;2;1 , C 2;3;0

и D 5;0; 6 лежат в одной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

Точки A, B,C и

D будут лежать в одной плоскости,

если векторы AB, AC и AD компланарны.

Найдем координаты этих векторов:

 

AB 1;3;3 , AC 0;4;2 , AD 3;1; 4 . Вычислим смешанное

произведение этих векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB AC AD

 

 

1

3

3

 

 

 

 

1

3

3

 

1

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 4

2

 

0 4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

4

 

 

 

 

0

10

5

 

 

 

10

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 20 20 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Равенство нулю смешанного произведения есть необходимым и достаточным условием

компланарности векторов AB, AC и AD , а значит, точки A, B,C и D принадлежат одной плоскости.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]