№282. Диденко И. С., Гераськин В. В. Кристаллофизика

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Рис. 4.6. Ромбододекаэдр и проекции его граней и элементов симметрии

Рис. 4.7. Пентагондодекаэдр и проекции его граней и элементов симметрии

Рис. 4.8. Тригонтритетраэдр (а) и тетрагонтритетраэдр (б), проекции граней и элементов симметрии

51

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

6. Грань отсекает разные отрезки (в единичных параметрах) на всех координатных осях, т.е. занимает общее положение (в кубической сингонии, например, грани пентагонтритетраэдра, рис. 4.9). Симво- лы: (hkl) и т.д.

Рис. 4.9. Пентагонтритетраэдр и проекции его граней и элементов симметрии

4.2.2. Индицирование направлений

Из закона рациональных параметров следует, что вследствие на- личия кристаллической решетки с единичными параметрами a, b, c, любой вектор такой решетки можно описать с помощью параметров Вейса:

P = pa + qb + rc.		(4.3)

Таким образом, направления возможных ребер кристалла опреде-

ляются вектором P и записываются в виде трех взаимно простых чисел, заключенных в квадратные скобки [uvw],

p : q : r = u : v : w =	pa	:	qb	:	rc	.	(4.4)
	a b c

Существует несколько способов определения индексов направле- ния в кристаллах.

Способ 1. Если направление проходит через начало координат, то координаты любой точки М (x, y, z) в кристаллографической системе координат, лежащей на данном направлении, и определяют индексы направления по формуле

52

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

u : v : w =	x	:	y	:	z	.	(4.5)
			b
	a				c

Пример 4.3. На направлении, проходящем через начало коорди- нат, имеется точка М с координатами (–3/4, 1/2, 1/2), отношение еди- ничных параметров (осевых единиц) а : b : c = 1 : 1 : 2, тогда по фор-

муле (4.5)

u : v : w = −3/ 4 : 1/ 2 : 1/ 2 = − 3 : 1 : 1 = 3: 2 :1 1 1 2 4 2 4

и заданное направление имеет символ [321].

Способ 2. Находят координаты двух точек M (x, y, z) и N (x							,z1),
лежащих на данном направлении, и определяют индексы							-
ния по формуле
u : v : w =	x1 − x	:	y1 − y	:	z1 − z	.	(4.6)
	a		b
					c

Пример 4.4. На направлении имеется две точки: M (3/4, 1, 2) и N (1, 1, 1/2); отношение единичных параметров а : b : c = 1 : 1 : 3, то- гда по формуле (4.6)

u : v : w = 3/ 4 − 1 : 1− 1 : 2 − 1/ 2 = − 1 : 0 : 1 = 1: 0 : 2 1 2 3 4 2

и заданное направление имеет символ [102] .

Способ 3. Находят три проекции произвольного отрезка Р = (Px, Py, Pz), лежащего на данном направлении, и определяют индексы на- правления по формуле

u : v : w =

P

Py

P

x

:

:

z

.

(4.7)

a

b

c

Способ 4. Находят углы λ, μ,

ν, которые образует

на-

правление с координатными осями X , Y, Z, и определяют индексы

направления по формуле

u : v : w =

cosλ

:

cosμ

:

cosν

.

(4.8)

a

b

c

Пример 4.5. Пусть λ = 45°, μ = 45°, ν = 90°, причем отношение единичных параметров а : b : c = 1 : 1 : 2, тогда по формуле (4.8)

53

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

	u : v : w =	cos 45	:	cos 45	:	cos90	= 1:1: 0
		a		b		c

и заданное направление имеет символ [110].

Следует отметить, что при параллельном переносе направления его символ не изменяется, а при изменении направления на обратное меняются знаки у всех трех чисел, входящих в символ направления. При обозначении системы эквивалентных направлений используют- ся угловые скобки, например, оси третьего порядка в кубических кристаллах расположены вдоль направлений типа <111>.

4.3. Методика индицирования кристаллов кубической сингонии

Рассмотрим индицирование граней кристаллов кубической синго- нии в первом октанте. Так как единичные параметры в кубической сингонии равны по всем трем осям, проекции оси третьего порядка и единичной грани совпадают (грань 1 на рис. 4.10, а, г).

Рассмотрим грани тригонтритетраэдра (грань 2 на рис. 4.10, а, г) и тетрагонтриоктаэдра (грань 3 на рис. 4.10, а, г), которые отсекают отрезки равной длины по осям Х и Y.

Если эти грани (2 и 3) перенести параллельно самим себе так, чтобы оси X и Y они пересекали в тех же точках, что и единичная грань, то видно, что на оси Z они отсекают отрезки 1/2 и 2 соответст- венно (рис. 4.10, а). Следовательно, их индексы Миллера будут (112) и (221) соответственно (рис. 4.10, г).

При индицировании граней, параллельных одной из кристаллогра- фических осей, их можно рассматривать относительно грани ромбодо- декаэдра (грань 4 на рис. 4.10, б, г). грани параллельно самим себе так, чтобы они проходили через точку 1 на оси X (рис. 4.10, б), оп- ределяем, что индексы граней 5 и 6 – (210) и (120) соответственно.

При индицировании граней общего положения можно сначала опре- делить соотношение отсекаемых отрезков по каким-нибудь двум осям, а затем по третьей. На рис. 4.10, в показана схема, которой можно пользо- ваться при определении индекса грани общего положения – грань 8 на рис. 4.10, в, г. Вертикальная грань 5 отсекает по осям X и Y отрезки 1 и 2 (такие же, как и грань 8) и ее индекс (210). Грань 8 можно получить, наклонив грань 5, зафиксированную в точках Х = 1 и Y = 2. Тогда от- резки, отсекаемые гранью 8 на координатных осях, равны 1 по оси Х и 2 по оси Y. Отрезок, отсекаемый гранью 8 на оси Z, равен 3/2, тогда символ грани 8 есть (634), т.е. соотношение 2:1 между первыми дву- мя индексами сохранилось, как у грани 5.

54

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Рис. 4.10. Схемы к определению символов граней кристаллов кубической сингонии

4.4.Порядок выполнения работы

1.Определить элементы симметрии кубического кристалла и по-

строить их стереографические проекции	верхней полусферы.
2. Спроектировать все грани кристалла	гномостереографических
проекциях, обращая при этом внимание	взаимное расположение

нормалей к граням и элементов симметрии кристалла. Обозначить одинаковыми цифрами грани, принадлежащие к одной простой фор- ме.

55

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

3.Определить по модели кристалла отрезки, отсекаемые гранями на координатных осях.

4.Определить индексы граней. Обратить внимание на то, что гра- ни одной простой формы имеют символы, в которых все три индекса постоянны (эти три индекса могут меняться местами и изменять знак на противоположный).

5.Определить индексы направлений, совпадающих с осями сим- метрии, и нескольких ребер, указанных преподавателем.

Пример 4.6. Кристаллический многогранник, показанный на рис. 4.11, представляет комбинацию трех простых форм: куба, окта- эдра и ромбододекаэдра. Перпендикулярно каждой паре граней куба (через середину) проходят оси симметрии четвертого порядка, через середины граней ромбододекаэдра – оси симметрии второго порядка, а нормали к граням октаэдра совпадают с осями симметрии третьего порядка. Имеются три координатных взаимно перпендикулярных плоскости симметрии, каждая из которых проходит через пару осей четвертого порядка, которые принимаются за координатные оси, и шесть диагональных плоскостей симметрии, проходящих через бис- сектрисы координатных углов. У кристаллического многогранника есть центр симметрии С. Формула симметрии многогранника 3L44L36L29PC, интернациональный символ m3m.

Рис. 4.11. Многогранник, являющийся комбинацией куба, октаэдра и ромбододекаэдра: 1 – грани октаэдра, 2 – грани куба, 3 – грани ромбододекаэдра

Проекции элементов симметрии и граней кристалла показаны на рис. 4.12.

56

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

Рис. 4.12. Проекции элементов симметрии и граней многогранника, представленного на рис. 4.11

Грани октаэдра (грани 1) отсекают на координатных осях равные отрезки, и являются единичными гранями, их индексы {111}. Грани куба (грани 2) пересекают только одну координатную ось и парал- лельны двум другим, их индексы {100}. Грани ромбододекаэдра (грани 3) параллельны одной кристаллографической оси и отсекают одинаковые отрезка на двух других, их индексы {110}.

В кубических кристаллах вследствие того, что a = b = c и α = β = γ = 90° индексы нормали к грани и индексы грани совпадают. Оси симметрии четвертого порядка, совпадающие с координатными осями, нормальны граням куба и имеют индексы <100>, оси симмет- рии третьего порядка нормальны граням октаэдра и имеют индексы <111>, оси симметрии порядка нормальны граням ромбодо- декаэдра и имеют индексы <110>.

Пример 4.7. Кристаллический многогранник, показанный на рис. 4.13, представляет комбинацию двух простых форм: куба и пен- тагондодекаэдра. Перпендикулярно каждой паре граней куба прохо- дят оси симметрии второго порядка. Через вершины многогранника, образованные тремя гранями пентагондодекаэдра, проходят оси сим- метрии третьего порядка. Имеется три координатных взаимно пер- пендикулярных плоскости симметрии, каждая из которых проходит

57

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

через пару осей симметрии второго порядка, которые принимаются за координатные оси, и имеется центр симметрии С. Формула сим- метрии многогранника 4L33L23PC, интернациональный символ m3.

Рис.4.13. Многогранник, являющийся комбинацией куба и пентагондодекаэдра: 1 – грани куба, 2 – грани пентагондодекаэдра

Проекции элементов симметрии и граней кристалла показаны на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Проекции элементов симметрии и граней многогранника, представленного на рис. 4.13

Грани куба (грани 1) пересекают только одну координатную ось и параллельны двум другим, следовательно, их индексы {100}. Любая

58

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

грань пентагондодекаэдра (грани 2) параллельна одной из коорди- натных осей – индекс по этой оси нулю. Например, у грани, параллельной оси Z, последний индекс равен нулю. Если принять, что по двум другим осям соотношение длин отрезков, отсекаемых гранью, равно 2 : 1, то индекс такой грани (120), а индексы граней такого пентагондодекаэдра {012}.

Оси симметрии второго порядка, совпадающие с координатными осями, нормальны к граням куба и имеют индексы <100>, оси сим- метрии третьего порядка – индексы <111>.

Ребра многогранника, являющиеся пересечением граней куба и пентагондодекаэдра, параллельны осям симметрии второго порядка и имеют индексы <100>. Ребра многогранника, являющиеся пересе- чением граней пентагондодекаэдра, имеют индексы <124>.

4.5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать:

1)учебный и международный символы точечной группы симмет- рии многогранника;

2)стереографическую проекцию элементов симметрии многогранника;

3)гномостереографическую проекцию граней многогранника с выделением граней, принадлежащих одной простой форме;

4)индексы Миллера (символы) граней многогранника и символы нескольких ребер многогранника, указанных преподавателем.

Литература

К.М. Розин, В.С. Петраков. Кристаллография и кристаллохимия. Раздел: Индицирование плоскостей и направлений в кристаллах. Учеб. пособие. – М.: МИСиС, 2001. – 88 с.

Розин К.М., Петраков В.С. Кристаллофизика: Учеб. пособие. –

М.: МИСиС, 2006. – 249 с.

Розин К.М. Практическая кристаллография. – М.: МИСиС, 2005. – 487 с.

Контрольные вопросы

1.В чем заключается сущность метода параметров Вейса?

2.Как определить индексы Миллера грани?

3.В чем особенность индексов вертикальных граней?

4.соотношение единичных параметров у кристаллов ку- бической сингонии?

59

Диденко И.С., Гераськин В.В. Диденко И.С., Гераськин В.В. — Кристаллофизика. Симметрия кристаллических многогранников. Лабораторный практикум

5.Что такое единичная грань?

6.Каковы индексы Миллера единичной грани?

7.Где расположена гномостереографическая проекция единичной грани кубического кристалла?

8.Почему индексы направления нормали к грани и индексы грани совпадают у кубических кристаллов?

9.Перечислить способы определения индексов направления в кристаллах.

10.Записать символ направления оси симметрии 3 кубического кристалла, которая выходит в четвертом октанте.

11.Записать символ грани кубического кристалла, которая отсе- кает на координатных осях X, Y, Z отрезки 2, 4 и 1 см соответственно.

12.Записать символ грани кубического кристалла, которая парал- лельна оси Y, а по двум другим осям отсекает одинаковые отрезки.

13.Если среди индексов Миллера грани встречается «ноль», что мож- но сказать о расположении этой грани относительно осей координат?

14.Что можно сказать об индексах Миллера граней, принадлежа- щих одной простой форме?

15.Определите символы кристаллографических направлений, проходящих через точки:

а) А (0, 0, 0) и В (1/2, 1, 1/4);

б) А (1/2, 1/6, 2/3) и B (– 1/3, 1/6, 1/2).

16. Определите символ грани АВС: А (– 1/3, 0, 0), В (0, 1/6, 0), С (0, 0, – 1/9).

60