18. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры

В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

,

где .

Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.

Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины.

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания можно сформулировать в виде теорем. Доказательства этих теорем будут приведены для дискретных случайных величин, однако, соответствующие теоремы справедливы также и для непрерывных случайных величин.

Прежде, чем формулировать свойства математического ожидания необходимо выяснить смысл и дать определение арифметических операций ,,и т.п., гдеи– дискретные случайные величины.

Например, под суммой понимается случайная величина, значениями которой являются все допустимые суммы, гдеи– все возможные значения соответственно случайных величини; причем соответствующие вероятности равны:

.

Если какая-нибудь комбинация невозможна, то условно полагают; это не отразится на математическом ожидании суммы. Аналогично определяются и остальные операции.

Свойства математического ожидания

1. Теорема. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную дискретную величину, принимающую лишь одно возможное значениес вероятностью. Поэтому.

2. Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин иравно разности их математических ожиданий:

Доказательство:

1) Пусть случайная величина принимает значенияс вероятностями(), а случайная величинапринимает значенияс вероятностями(). Тогда возможными значениями случайной величиныбудут суммы, вероятности которых равны:

.

Как уже отмечалось ранее, все комбинации () (,) можно считать допустимыми, причем, если сумманевозможна, то полагаем, что.

Сумма представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величинапринимает значенияпри условии, что случайная величинапримет одно из своих возможных значений (что достоверно); это сложное событие, очевидно, эквивалентно тому, чтопринимает значениеи поэтому.

Аналогично .

Тогда .

2) Для нескольких случайных величин, например для трех ,и, имеем:

, и т.д.

Следствие. Если – постоянная величина, то:

3. Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин иравно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть случайная величина принимает значения (,) () и (,) () – законы распределения случайных величини. Так каки– независимы, то полный набор значений случайной величинысостоит из всех произведений(,), причем вероятности этих значений по теореме умножения для независимых событий равны.

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Действительно, например, для трех взаимно независимых случайных величин ,и:

, и т.д.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е..

Если – постоянная величина и– любая случайная величина, то, учитывая, чтои– независимы, получим:

.

Следствие. Математическое ожидание разности двух случайных величин иравно разности их математических ожиданий:.

Доказательство. 

.

Примеры

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть Тогда её математическое ожидание

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где. Тогда её плотность имеет види математическое ожидание равно

.

• Пусть случайная величина имеет стандартноераспределение Коши. Тогда

,

то есть математическое ожидание не определено.