Математический анализ

5

Вопросы к зачету за 1 семестр

1. Числовые множества. Основные способы задания их. Отношения между множествами. Расширенное множество вещественных чисел. Интервалы.

2. Операции над множествами и их свойства.

3. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

4. Определение предела функции в точке и на бесконечности по Коши. Графические иллюстрации.

5. Бесконечно малые функции. Асимптотическое представление функции, имеющей конечный предел. Арифметические свойства пределов.

6. Бесконечные пределы функции. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

7. Односторонние пределы функции, конечные и бесконечные.

8. Определения непрерывности в точке.

9. Эквивалентные бесконечно малые функции.

10. Классификация точек разрыва.

11. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

12. Определение производной функции в точке.

13. Геометрический смысл производной.

14. Уравнение касательной.

15. Дифференцируемые функции: определение и примеры. Критерий дифференцируемости.

16. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

17. Односторонняя и бесконечная производная.

18. Классификация положений касательных.

19. Дифференцирование суммы функций.

20. Дифференцирование произведения функций.

21. Дифференцирование частного функций.

22. Дифференцирование сложной функции.

23. Дифференцирование обратной функции.

24. Дифференцирование элементарных функций.

25. Логарифмическое дифференцирование.

26. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

27. Производные высших порядков.

28. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

29. Дифференциалы элементарных функций и правила нахождения дифференциалов.

30. Формула Тейлора для произвольной дифференцируемой функции.

31. Теорема Ферма.

32. Теорема Ролля.

33. Теорема Лагранжа.

34. Теорема Коши.

35. Правило Лопиталя.

36. Критерий постоянства дифференцируемой функции.

37. Критерий монотонности дифференцируемой функции.

38. Исследование функции на экстремумы.

39. Асимптоты графика функции.

40. Выпуклость функции. Точки перегиба.

41. Схема исследования функции с помощью производной.

42. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Вопросы к экзамену за 2 семестр

1. Первообразная и ее простейшие свойства.

2. Неопределенный интеграл: определение и основные свойства.

3. Табличное интегрирование.

4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

5. Метод интегрирования по частям.

6. Простейшие дроби первого и второго типа и их интегрирование.

7. Простейшие дроби третьего типа и их интегрирование.

8. Интегрирование правильных рациональных дробей.

9. Интегрирование иррациональных выражений.

10. Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная подстановка.

11. Определение определенного интеграла.

12. Свойства определенного интеграла.

13. Определенный интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и дифференцируемость. Лемма Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.

14. Метод замены переменной и интегрирование по частям для определенного интеграла.

15. Понятие несобственных интегралов 1-го и 2-го рода.

16. Сходящийся числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости.

17. Геометрический ряд, определение и условие сходимости.

18. Первый признак сравнения. Второй признак сравнения.

19. Признак Даламбера.

20. Интегральный признак сходимости. Гармонический ряд и ряд Дирихле.

21. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимости ряда. Признак Лейбница.

22. Функциональный ряд и его сумма. Степенной ряд.

23. Область сходимости степенного ряда.

24. Разложение функции в степенной ряд.

25. Понятие функции двух переменных: определение, способы задания, график.

26. Частные производные: определение, геометрический смысл, правила нахождения.

27. Частные дифференциалы: определение, геометрический смысл, правила нахождения.

28. Полный дифференциал: определение, геометрический смысл, способ нахождения с помощью частных производных.

29. Производные и дифференциалы высших порядков.

30. Производная по направлению. Градиент.

31. Локальный экстремум функции двух переменных: определение, необходимое, достаточные условия.

32. Условный экстремум: определение, нахождение методом подстановки.

33. Глобальный экстремум функции двух переменных: определение, способ нахождения.

34. Определение двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.

5.4.1. Основная литература

1. Виленкин И.В. высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: учеб. пособие / И.В.Виленкин, В.М.Гробер.-5-е изд. – Ростов н/Д: Феникс, 2009.-415с.

2. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики: учебное пособие для студ. вузов, обуч. по тех. спец. / И. П. Натансон. - 10-е изд., стереотип. - СПб. [и др.] : Лань, 2009. - 736 с.

3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс: курс лекций / Д. Т. Письменный. - 9-е изд. - М. : АЙРИС ПРЕСС, 2009. - 602 с.

4. Справочное пособие по высшей математике : учебное пособие. Т. 1. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. Ч. 1. Введение в анализ: 280 задач с решениями / И. И. Ляшко [и др.]. - 7-е изд. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2010. - 240 с.

http://knigafund.ru/

5. Высшая математика для экономистов: учебник/ Издательство «ЮНИТИ-ДАНА», 2012. – 481с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/149228 (дата обращения 09.05.2013)

6. Геворкян П.С. Высшая математика. Основы математического анализа: учебник для вузов/ Геворкян П.С.; Издательство «ФИЗМАТЛИТ», 2011. - 240с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа:http://www.knigafund.ru/books/112591 (дата обращения 09.05.2013)

7. Ильин В.А., Позняк Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I: учебник для вузов/ Ильин В.А., Позняк Э.Г.; Издательство «ФИЗМАТЛИТ», 2009. – 646с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/106300 (дата обращения 09.05.2013)

8. Никольский С.М. Курс математического анализа: учебник для вузов/ Никольский С.М.; Издательство «ФИЗМАТЛИТ», 2011. - 592с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/116081 (дата обращения 09.05.2013)

5.4.2. Дополнительная литература

1. Архипов Г. И. Лекции по математическому анализу: учеб. для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям . физ.-мат. профиля. - М.: Изд-во Моск. ун-та: Дрофа, 2004. - 638 с.

2. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: решение типичных и трудных задач: учеб. пособие / Г.Н. Берман. - СПб.:Лань, 2005. - 604 с.

3. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов. - 12-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. - 735 с.

4. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – СПб.: Лань, 2006. - 736с.

5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Под ред. Б.П. Демидовича. – Москва: АСТ, 2007. - 495с.

6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПб.: Лань, 2005. - 727 с.

5.4.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы

1. Богатова С.В. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие / Рязан. гос. радиотехн. акад. - Рязань, 2006. - 112 c. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/184/75184 (дата обращения 15.04.2013)

2. Выск Н.Д. Математический анализ. Часть 1. Дифференциальное исчисление: учебное пособие. - М.: МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2011. - 172 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/890/76890 (дата обращения 15.04.2013)

3. Густомесов В.А. Функции нескольких переменных: Учебное пособие. - Екатеринбург, Урал. гос. пед. ун-т, 2005. - 118 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/558/67558 (дата обращения 15.04.2013)

4. Ковальчук В.Е., Чалов П.А. Лекции по математическому анализу: Интегральное исчисление. Определенный интеграл. - Ростов-на-Дону, Южный федеральный ун-т, 2007. - 103 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/182/57182 (дата обращения 15.04.2013)

5. Никитина О.Г. Ряды: Учебное пособие. - Пенза: ПГПУ, 2012. - 84 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/088/78088 (дата обращения 15.04.2013)

6. Никитина О.Г. Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление: Учебное пособие. - Пенза: ПГПУ, 2011. - 84 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/101/78101 (дата обращения 15.04.2013)

7. Ципоркова К.А. Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие / К.А. Ципоркова; Рязан. гос. радиотехн. акад. - Рязань, 2006. - 112 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/233/75233 (дата обращения 15.04.2013)

8. Шадур И.М. Производная и исследование функций: Учебное пособие / "МАТИ"- Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского. - М.: 2008. - 31 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/884/76884 (дата обращения 15.04.2013)

9. Яковлев Г.Н. Дифференциальное исчисление функций одной переменной (задачи и упражнения): Учебно-методическое пособие. - М.: МФТИ, 2002. - 30 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/117/39117 (дата обращения 15.04.2013)

10. Яремко Н.Н. Интегральное исчисление функции одного переменного: Учебно-методическое пособие. - Пенза, 2012. - 77 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/112/78112 (дата обращения 15.04.2013)