1)Понятие степени. Свойства степеней. Примеры.

Степенью называется выражение вида: , где:

•  — основание степени;

•  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

• По определению: .

• Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: 

• Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себяраз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случаеn ≤ 0. Если n > 0, то 

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

• a > 0;

• n — натуральное число;

• m — целое число;

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения:x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функциии увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен,a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Корень из квадрата

Например, . А решения уравнениясоответственнои

Кубический корень

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен. Кубический корень определен для всех. Его можно извлечь из любого числа:.

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа— это число,-я степень которого равна.

Если — чётно.

• Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.

• Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнемn-ой степени из aи обозначается 

Если — нечётно.

• Тогда уравнение имеет единственный корень при любом.

Пример 4.

2) Понятие арксинуса и арккосинуса числа. Примеры. И 3 вопрос Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – основные сведения.

Задача, обратная нахождению значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла, подразумевает нахождение угла по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение обговорим некоторые тонкости, касающиеся этой темы, и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.

Навигация по странице.

• Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

• Обозначения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

• Примеры.

• Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа или угла?

• Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс на единичной окружности.

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа

Дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Определение.

Арксинус числа a из интервала от −1 до 1 включительно – это такой угол, лежащий в пределах от −π/2 до π/2 (от −90 до 90 градусов) включительно, синус которого равен a.

Определение.

Арккосинусом числа a, −1≤a≤1, называется такой угол из отрезка [0, π] (от нуля до180 градусов включительно), косинус которого равен a.

Определение.

Арктангенсом числа a, a – любое действительное число, называется угол из интервала(−π/2, π/2) (от −90 до 90 градусов не включительно), тангенс которого равен a.

Определение.

Арккотангенс числа a, a – любое действительное число, - это такой угол из интервала(0, π) (от нуля до 90 градусов не включительно), котангенс которого равен a.

Из приведенных определений видно, что арксинус и арккосинус числа определены для чисел, лежащих в интервале [−1, 1], для остальных чисел арксинус и арккосинус не определяются. Например, не определены arcsin 2, арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 2, 5, не лежат в интервале от−1 до 1.

В свою очередь определения арктангенса и арккотангенса даются для любых действительных чисел a. То есть, имеют смысл и арктангенс нуля, и арктангенс −500,2, и арккотангенс миллиарда, и арккотангенс −π/3, как и арктангенс, и арккотангенс любого другого действительного числа.

Также стоит отметить, что при условиях, указанных для числа a в определениях, арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс существуют, причем они определены однозначно, то есть, для данного числа a имеют единственное значение.

К началу страницы

Обозначения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующиеобозначения: arcsin, arccos, arctg и arcctg. То есть, арксинус числа a можно записать какarcsin a, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a,arctg a и arcctg a.

Также можно встретить обозначения arctan и arccot, они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, принятой в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как arctg и arcctg.

В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа запишутся как:

• arcsin a, где −1≤a≤1, есть угол α, если sinα=a и −π/2≤α≤π/2;

• arccos a, где −1≤a≤1, есть угол α, если cosα=a и 0≤α≤π;

• arctg a, где a – любое действительное число, есть угол α, если tgα=a и −π/2≤α≤π/2;

• arcctg a, где a – любое действительное число, есть угол α, если ctgα=a и 0≤α≤π.

К началу страницы

Примеры

Самое время привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Начнем с примеров арксинуса. Угол π/3 является арксинусом числа , это действительно так, так как числопринадлежит интервалу от−1 до 1, угол π/3 лежит в пределах от −π/2до π/2 и . Приведем еще несколько примеров арксинуса числа:arcsin(−1)=−π/2,arcsin(0,5)=π/6, .

А вот π/10 не является арксинусом 1/2, так как sin(π/10)≠1/2. Еще пример: не смотря на то, что синус 270 градусов равен −1, угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.

Для полноты картины осталось привести примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радиан является арккосинусом единицы (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 лежит в отрезке от −1 до 1, угол нуль радиан лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1), угол π/2 есть арккосинус нуля. По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 и арктангенс корня из трех равен 60 градусам (π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, чтоarcctg0=π/2, так как π/2 лежит в открытом интервале от 0 до пи и ctg(π/2)=0.

К началу страницы

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа или угла?

В первом пункте данной статьи мы дали определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Таким образом, мы говорим именно об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе и арккотангенсе числа, а не угла.

Для себя нужно четко разграничить, что существует синус, косинус, тангенс и котангенс УГЛА, их значениями являются числа, и обратно: существует арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс ЧИСЛА, их значениями являются углы.

К началу страницы

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс на единичной окружности

Чтобы получить наглядное представление об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе и арккотангенсе числа a, взглянем на них с позиций геометрии. Это несложно сделать, если знать про линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

arcsin a, arccos a, arctg a и arcctg a можно связать с дугами единичной окружности, стягивающими углы, соответствующие значениям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a.

Для примера получим дугу, соответствующую арксинусу числа a. Для этого на линии синусов отметим точку, отвечающую числу a, после чего из нее проведем луч, параллельно и в положительном направлении оси абсцисс. Этот луч будет пересекать единичную окружность в некоторой точке. Дуга единичной окружности от этой точки до начальной точки с координатами(1, 0) и будет отвечать арксинусу числа a.

По схожим принципам можно получить дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a. На рисунке ниже синими линиями показаны дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a.

4) Показатели функции, ее свойства и график.

В практике часто используются функции y=2x,y=10x,y=(12)x,y=(0,1)x и т. д., т. е. функция вида y=ax, где a - заданное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени - заданное число.

 

Функция, заданная формулой y=ax(где a>0,a≠1), называется показательной функцией с основанием a.

  

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. Область определения - множество R действительных чисел.

2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел.

3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.

ax1<ax2, если x1<x2,(a>1),

ax1>ax2, если x1<x2,(0<a<1)

4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства  

axay=ax+yaxay=ax−y(ab)x=axbx(ab)x=axbx(ax)y=axy

  Графики показательных функций изображены на рисунках:

1) для случая a>1

 

 

2) для случая 0<a<1 

 

 

Логарифм и его свойства. Примеры

Логарифмом числа по основанию() называется такое число, что, то есть записииравносильны. Логарифм имеет смысл, если.

Если немного перефразировать - Логарифм числа по основаниюопределяется как показатель степени, в которую надо возвести число, чтобы получить число(Логарифм существует только у положительных чисел).

Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".

Специальные обозначения:

• Натуральный логарифм - логарифм по основанию, где-число Эйлера.

• Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10.

Свойства логарифмов:

1°    -основное логарифмическое тождество.

2°    

3°    

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4°    -логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5°    -логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6°    -логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°    

8°    

9°    - переход к новому основанию.

Вычислить , если

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

Ответ.