2034

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра сопротивления материалов и строительной механики

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ МНОГОПРОЛЕТНОЙ БАЛКИ

Методические рекомендации к выполнению расчетно-графической работы и дидактические материалы для самостоятельной работы по дисциплине «Строительная механика» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 270100.62 Архитектура и 270800.62 Строительство, очной формы обучения Методические рекомендации к выполнению контрольной работы по

дисциплине «Строительная механика» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 270800.62 Строительство, заочной формы обучения

Новокузнецк

2013

УДК 624.04(07) Р248

Рецензент кандидат технических наук,

зав. кафедрой инженерных конструкций СибГИУ Н.Н. Алешин

P248 Расчет статически определимой многопролетной балки : метод. рекомендации / Сиб. гос. индустр. ун-т ; сост. : А.А. Кулагин, Н.В. Соснова. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2013. – 18 с.

Излагаются методики выполнения расчетов многопролетных шарнирно-консольных балок при воздействии неподвижной и подвижной нагрузок. Приводятся необходимые теоретические данные и типовой пример расчета конструкции.

Представлены варианты заданий расчетно-графических работ и дидактические материалы для самостоятельной работы по теме «Многопролетные статически определимые балки и рамы» для студентов очной формы обучения.

Предназначены для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 270100.62 Архитектура и 270800.62 Строительство.

2

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Многопролетной шарнирно-консольной балкой называется совокупность простых балок, имеющих консоли, и связанных между собой промежуточными шарнирами. Для обеспечения геометрической неизменяемости и статической определимости такой балки число шарниров в ее пролетах должно быть на три меньше, чем число опорных стержней. Кроме того, в каждом пролете должно быть не более двух шарниров, при этом пролеты с двумя шарнирами должны чередоваться с пролетами без шарниров, а в случае совокупности только одношарнирных пролетов один из пролетов должен оставаться без шарнира или должна иметься жесткая заделка.

ПРИМЕР РАСЧЕТА

Для заданной балки (рисунок 1) требуется:

1.Построить аналитически эпюры изгибающих моментов M и поперечных сил Q;

2.Построить линии влияния опорных реакций, а также линии влияния M и Q для заданных сечений 1 и 2;

3.Определить по линиям влияния M, Q и Rc от заданной нагрузки.

Прежде всего необходимо убедиться в том, что заданная много-

пролетная балка с опорами A, B, C и двумя шарнирами D и Е является статически определимой и геометрически неизменяемой.

Находим число степеней свободы балки по формуле:

W = 3·Д – 2·Ш – Со,

где Д – число дисков в составе конструкции; Ш – число простых шарниров, соединяющих диски; Со – число опорных стержней.

Рисунок 1 – Заданная балка

Взаданной балке число дисков Д = 3 (FD, DE, EC), шарниров

Ш= 2 (D, E), опорных стержней Со = 1 + 1 + 3 = 5 (жесткое защемление эквивалентно трем опорным стержням). Соответственно получаем W = 3 3 – 2 2 – 5 = 0. Следовательно, заданная балка не имеет

лишних связей и является статически определимой. Она также представляет собой геометрически неизменяемую систему, так как отвечает указанным выше во введении конструктивным требованиям.

3

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР M И Q АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Строим поэтажную схему заданной многопролетной балки. Для этого разделяем ее по шарнирам D и Е на простые шарнирноконсольные балки и анализируем их взаимодействие между собой (рисунок 2).

Рисунок 2 – Поэтажная схема многопролетной балки

На поэтажной схеме заданной балки отчетливо различается ее основная часть ЕС, на которую опираются вышерасположенные второстепенные части DЕ и FD. Причем нижележащая балка DЕ служит опорой для вышележащей FD. Так как шарнир накладывает на балку две связи, то при построении поэтажной схемы шарниры заменяем двухстержневыми шарнирно-неподвижными опорами D и Е.

Нагрузка, действующая на основную часть балки, не передается на вышележащие второстепенные; нагрузка же, действующая на второстепенные части балки, передается на основную. Поэтому расчет многопролетной шарнирно-консольной балки ведется по частям, начиная от самых верхних балок, и последовательно переходя, к нижележащим. При расчете нижележащих балок следует учитывать не только непосредственно приложенную к ним нагрузку, но и опорные давления от вышележащих балок, равные опорным реакциям последних, но имеющие противоположное направление (рисунок 2).

Расчет многопролетной шарнирно-консольной балки сводится к определению значений и построению эпюр изгибающих моментов и поперечных сил, которые связаны между собой и действующей нагрузкой дифференциальными зависимостями, установленными Д.И. Журавским. При определении значений изгибающих моментов и поперечных сил необходимо применять правила знаков, принятые в курсе сопротивления материалов.

Необходимо помнить, что изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех сил, действующих по одну

4

сторону от рассматриваемого сечения. Моменты левых от сечения сил положительны, если вращают отсеченную часть балки по часовой стрелке, а правых – против часовой. В случае статического равновесия момент левых сил равен моменту правых от этого сечения сил, взятому с обратным знаком. Эпюра моментов строится на растянутых волокнах.

Поперечная сила в сечении горизонтальной балки при действии на нее вертикальной нагрузки определяется как алгебраическая сумма всех сил, действующих по одну сторону от сечения балки. При этом сумма левых сил всегда равна сумме правых, взятых с противоположным знаком. Поперечная сила считается положительной, если она вращает отсеченную часть балки по часовой стрелке.

Расчет начинаем с самой верхней балки FD (рисунок 3,а). Определяем опорные реакции:

	∑M A =0 ;	RD 4 −M −P 2 =0 ;	RD =		3 +4 2	= 2,75 кН ;
					4
	∑M D =0 ;	Р 2 −М − RA 4 =0 ;	RA =	−3 +4 2			=1,25 кН .
					4

Проверка:

∑Y = RА + RD − P =1,25 +2,75 −4 =0 .

Записываем выражения изгибающих моментов и поперечных сил на каждом участке балки FD:

1 участок:

M1 = M = 3 кН ; Q1 =0 .

2 участок:

	M 2	= М + RА x2			x2 =0		M 2		= 3кН м;
					x2	= 2м М2			= 3 +1,25 2 = 5,5 кН м;
	Q2 = RА =1,25 кН .
	3 участок:		x3 =0				M 3	=0;
	M3	= RD x3
			x3	= 2 м			М3	= 2,75 2 = 5,5 кН м;

Q3 = −RD = −2,75 кН .

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов М (рисунок 3,б) и эпюру поперечных сил Q (рисунок 3,в).

5

а)

б)

в)

Рисунок 3 – Расчет второстепенной балки FD

Переходим к расчету нижележащей балки DЕ, загрузив ее заданной нагрузкой и опорным давлением вышележащей балкиPD = 2,75 кН в точке D, направленным в сторону, противоположную

опорной реакции RD в балке FD (рисунок 4,а).

Определяем опорные реакции (предполагая, что они обе направлены вверх):

∑M E = 0 ; PD 7 +q 4 2 −RB 4 =0 ;

RB = 2,75 7 +1 4 2 =6,81кН ; 4

∑ M В =0 ; PD 3 −q 4 2 + RЕ 4 =0 ;

RЕ = −2,75 3 +1 4 2 = −0,06 кН . 4

Учитывая полученный знак минус, показываем истинное направление действия опорной реакции RЕ – вниз (рисунок 4,а).

Проверка:

∑Y = RВ −RЕ −PD −q 4 =6,81 −2,75 −0,06 −4 =0 .

Записываем выражения изгибающих моментов и поперечных сил на каждом участке балки:

	1 участок:		x1	=0	M1	=0;
	M1	= −PD x1
			x1	=3 м	М1	= −2,75 3 = −8,25 кН м;

Q1 = −PD = −2,75 кН . 2 участок:

6

					x2 =0			M 2 =0;
		q x2			x2 =1 м			М2 = −0,56 кН м;
	M 2 = −RЕ x2 −				x2 = 2 м			М2 = −2,12 кН м;
		2		2
					x2	=3 м		М2 = −4,69 кН м;
					x2 =4 м			М2 = −8,25 кН м;
			x2	=0		Q2	= RE =0,06 кН;
	Q2 = q x2 + RE		x2	=3 м		Q2	=3,06 кН;
			x2	=4 м Q2			=4,06 кН.

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов М (рисунок 4,б) и эпюру поперечных сил Q (рисунок 4,в).

Рисунок 4 – Расчет второстепенной балки DE

Переходим к расчету основной балки ЕС (рисунок 5,а). Балка загружена только опорным давлением вышележащей балкиPЕ =0,06 кН в точке Е. Балка ЕС имеет один участок:

M x = PE x		x =0	M E =0;
		x = 5м	МC =0,3кН м;

Qx = PE =0,06 кН .

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов М (рисунок 5,б) и эпюру поперечных сил Q (рисунок 5,в).

7

а)

б)

в)

Рисунок 5 – Расчет основной балки EC

Для построения окончательных эпюр в заданной многопролетной балке (рисунок 6,а) объединяем соответствующие эпюры, построенные в отдельности для каждой составляющей ее балки. В итоге получаем окончательную эпюру изгибающих моментов М (рисунок 6,б) и окончательную эпюру поперечных сил Q (рисунок 6,в).

а)

б)

в)

Рисунок 6 – Окончательные эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q в заданной многопролетной балке

8

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ

Для построения линий влияния (л.в.) в заданной многопролетной балке (рисунок 7,а) используем ее поэтажную схему без приложенной нагрузки (рисунок 7,б). Линии влияния строятся от действия единичного подвижного груза. Линии влияния необходимо строить в 2 этапа. На первом этапе строится линия влияния искомого усилия в пределах той отдельной балки, к которой относится исследуемая опора или сечение. На втором этапе линия влияния достраивается с учетом взаимодействия балок.

Рисунок 7 – Построение линий влияния

9

Для построения л.в. Rc, первоначально рассматриваем воздействие единичного подвижного груза на основную балку ЕС. Пока груз перемещается по ней, он полностью воспринимается только этой балкой и, в итоге, опорой С. Балки FD и DЕ не работают. Величина опорной реакции Rc в этом случае равна величине действующего на нее единичного груза. То есть на участке ЕС Rc = 1.

Когда груз перемещается по балке DЕ, она, являясь второстепенной, опирается на балку ЕС и давит на нее с силой PE , равной ре-

акции RE. Реакция RE = 1, когда груз P = 1 находится на опоре Е, и RE = 0, когда груз находится на опоре В. Таким образом, на участке от Е до В линия влияния реакции Rc меняется от единицы до нуля. Когда груз P = 1 перемещается по консоли DВ, меняется направление реакции RE, и линия влияния реакции Rc, будучи продолжением л.в. на участке ВЕ, становится отрицательной.

Когда груз P = 1 перемещается по балке FD, его воздействие через балку DE передается на балку EC, создавая реакцию в опоре С. Линия влияния реакции Rc на участке FD изменяется по линейному закону, проходя через ноль под опорой А (Когда груз находится на опоре, он весь воспринимается только этой опорой и не создает более нигде в конструкции никаких реактивных усилий. Так было и под опорой В.).

Рассуждая аналогичным образом, строим линии влияния опорных реакций RA, RB.

При построении линий влияния изгибающих моментов и поперечных сил необходимо различать два типа сечений: сечение в пролете между опор (сечение 2) и сечение на консоли (сечение 1).

Если сечение находится между опор, то линия влияния изгибающего момента для этого сечения всегда представляет собой треугольник с нулями на опорах и вершиной под сечением. Ордината этой вершины определяется по формуле

al b ,

где а – расстояние от сечения до левой опоры; b – расстояние от сечения до правой опоры; l – пролет данной балки.

Линия влияния поперечной силы для сечения, расположенного в пролете (сечение 2), всегда представляет собой две параллельные прямые. Смена знака линии влияния происходит под сечением. В опорных сечениях (в рассмотренном примере – А, В) ординаты линии влияния поперечной силы также всегда равны нулю.

10