Численные методы / Лекции / Тема 2. Примеры

Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Пример 2.1. Округляя число а=3,1415 до трех значащих цифр,

определить абсолютную	и относительную δ погрешности полученного
приближенного числа.

Согласно определению значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева, тогда а*=3,14.

Найдем абсолютную погрешность приближенного числа а*

Δ=|а – а*|=3,1415 – 3,14=0,0015.

Относительная погрешность

		| a a* |			0,0015	=0,000478.
		| a |			3,1415

Пример 2.2. Определить абсолютную погрешность числа а*=0,896 по его относительной погрешности δ = 10 %.

Так как точное значение числа неизвестно, то за основу примем несколько иную, чем в Примере 1.1, формулу

				,
		| a* |

тогда Δ=δ∙| а*|.

Относительная погрешность дана в процентах, поэтому перейдем к относительным единицам δ = 10 %=0,1 [отн. ед.].

Δ=0,1∙0,896=0,0896.

Пример 2.3. Определить количество верных значащих цифр в числе х, если известна его абсолютная или относительная погрешность:

а) х*=12,396, Δ=0,03.

Младший разряд числа 10–3,										имеем >			1	∙10–3; для следующего разряда
										2
имеем >	1	∙10–2 и наконец			<			1	∙10–1. Значит, у х* верные знаки 1, 2, 3, а 9 и 6 –
2								2
сомнительные.
б) х*=12,396, δ=2 %.
Найдем абсолютную погрешность Δ=δ∙| а*|=0,02∙12,396=0,24792≈0,25.
Далее имеем >			1	∙10–3;	>	1		∙10–2;		>	1	∙10–1;		<	1	∙100. Значит, у х* верные
2					2					2				2

знаки 1 и 2, а 3, 9, 6 – сомнительные.

Пример 2.4. Сложить приближенные числа: 2,374; 2,8232; 0,52181; 0,014253. Сложение следует проводить по следующему правилу:

1)выбирается число наименьшим количеством знаков после запятой 2,374;

2)другие числа округляются до него с сохранением двух запасных знаков:

2,8232; 0,52181; 0,01425;

3)рассчитывается сумма: S=2,374+2,8232+0,52181+0,01525=5,733263;

4)сумма S округляется на один знак: S=5,73326.

Пример 2.5. Найти произведение двух чисел х=х1–х2, х1=2,25, х2=1,0113, в этих числах все знаки верные. Вычисления произведем по следующему правилу:

1)выберем число с меньшим числом знаков после запятой: 2,25;

2)второе число округлим до выбранного числа, сохраняя один запасной знак 1,011;

3)вычисляем: 2,25∙1,011=2,27475;

4)округляем результат: 2,27.

Если все сомножители имеют т верных значащих цифр и число сомножителей не более десяти, то число верных значащих цифр произведения не более чем на две единицы меньше т.

	Пример 2.6. Найти частное двух чисел x	x1	, х1, х2>0.
		x2
	Абсолютная погрешность частного x1 x2 x2 x1			, а относительная
			x22

погрешность δ=δ х1+δ х2.

Практические рекомендации те же, что и при умножении приближенных чисел. Пример 2.7. Найти разность двух чисел х=х1–х2, где х1=1,27569,

х2=1,27531. Известно, что у этих чисел четыре знака верные.

Разность х=х1–х2=0,00038 не имеет ни одного верного знака, оба сомнительные, в то время как у суммы этих же чисел может быть четыре верных знака.