Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МУ ТМ_2015 / Статика Тема6 (Михайленко, Живаго)

.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
374.06 Кб
Скачать

 

 

 

Институт машиностроения

 

 

 

и транспорта

 

 

 

Кафедра теоретической механики

 

 

СТАТИКА

 

 

 

 

Практикум

 

 

Тема 6. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

y

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С3

 

xC4

 

3

 

 

B

 

h

 

xС

С4

 

 

 

 

 

 

 

b4

C4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

C

 

 

 

 

 

 

С

C2

 

y

 

 

x

 

 

 

С2

2

 

 

 

b

 

 

 

 

 

1

 

 

С1

 

 

b

 

 

 

 

 

 

yC2

 

 

 

 

 

 

а = h2

 

 

 

 

Новокузнецк

 

 

 

 

2012

 

 

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Сибирский государственный индустриальный университет”

Кафедра теоретической механики

СТАТИКА

Тема 6. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Практикум для выполнения самостоятельной работы

по дисциплине “Теоретическая механика”

Новокузнецк, 2012

УДК 531 (075) С 78

Рецензент:

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и строительной механики СибГИУ А.Г. Никитин

С 78 Статика: Практикум. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост: Н.И. Михайленко, Э.Я. Живаго. – Новокузнецк, Изд. центр СибГИУ, 2012. – 40 с.

Изложены методические указания для выполнения расчетнографических работ по дисциплине “Теоретическая механика”, раздел “Статика”, излагается краткая теория, приведены варианты заданий и ответы к ним.

Тема 6. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону, называется центром параллельных сил.

Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с размерами Земли, силы тяжести, действующие на частицы тела, можно считать параллельными и постоянными для каждой частицы при любых поворотах тела.

Равнодействующая этих сил

n

G = ∑G k

k =1

Модуль этой силы называется весом и определяется равенством

n

G = ∑Gk

k =1

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются равенствами:

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

=

 

 

 

 

G

x

 

,

 

y

 

=

 

 

G

 

y

 

 

,

z

 

=

 

 

 

G

 

z

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

G k =1 k

 

 

k

 

 

 

С

 

 

G k =1

 

k

 

k

 

 

 

С

 

 

G k =1

k

 

k

 

 

 

 

 

 

где xk , yk , zk координаты точек приложения сил тяжести

 

 

 

Gk .

 

Для однородных тел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

х

С

=

 

 

 

w

k

x

k

,

 

y

С

=

 

 

w

k

y

k

, z

С

=

 

 

 

w

k

z

k

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

W k=1

 

 

 

 

 

 

W k=1

 

 

 

 

где W объем

(V ), площадь поверхности (S) или длина

(L) всего

тела, w k объем (vk ), площадь, ( sk ), длина ( lk ) каждой частицы.

Контрольные задания

Определить положение центра тяжести плоской однородной фигуры и плоского сечения, составленного из стандартных прокатных профилей (уголки, швеллеры, двутавры).

Характеристики стандартных профилей приведены в справочных таблицах на страницах 36…39 после рассматриваемых примеров.

Примечание – Номер варианта выбирается студентом по сумме двух последних цифр шифра.

Методические указания

При решении задач на определение положения центра тяжести целесообразно придерживаться следующей последовательности:

1.Выполнить в масштабе чертеж фигуры, положение центра тяжести которой требуется определить.

2.Применяя метод разбиения разделить фигуру на простейшие составные части, положения центров тяжести которых легко определяются.

3.Вычислить площади составных частей и определить координаты их центров тяжести. Если фигура имеет вырезы или пустоты, то применяя метод дополнений в формулах, определяющих координаты центра тяжести, площади вырезанных частей подставлять со знаком «минус». Результаты занести в таблицу.

4.Вычислить координаты центра тяжести фигуры по формулам:

 

n

 

 

n

 

 

Sk xk

 

 

Sk yk

 

xC =

k =1

,

yC =

k =1

,

S

S

 

 

 

 

где п – число составных частей, на которые разбили фигуру; S – площадь всей фигуры.

5. По найденным координатам построить на рисунке положение центра тяжести плоской фигуры.

Примеры выполнения и оформления задач

Задача 1. Определить положение центра тяжести плоской однородной фигуры, если l = 80 см, R = 40 см, r = 0,45R.

РЕ Ш Е Н И Е

1.Выполняем чертеж в определенном масштабе.

2.Применяем метод дополнений, так как фигура имеет вырезы.

3.Разделяем фигуру на простейшие составные части, центры тяжести которых легко определяются:

квадрат (центр тяжести С1);

 

треугольник (центр тяжести С2);

 

сектор (центр тяжести С3);

 

круг (центр тяжести С4).

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

О1

 

 

 

 

R

α

 

 

 

 

 

С3

 

 

 

 

С

 

l

 

 

 

С1

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

r

 

 

0, 5

 

 

 

С

 

С2

С4

 

у

 

 

 

 

 

 

0,25l

 

 

 

О

 

х

 

 

 

хс

0,25l

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5l

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

Рисунок 1 – Расчетная схема задачи

Площади треугольника, сектора и круга подставляем в расчетную формулу со знаком «минус».

4. Вычисляем площади составных фигур и определяем коорди-наты их центров тяжести:

Квадрат: S1 = l2 = 802 = 6400 см2, x1 = 0,5l = 40 см,

у1 = 0,5l = 40 см.

Треугольник:

S2 =

 

 

l2

=

802

 

= 800 см2,

222

8

 

 

 

 

l

 

 

1

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

1 40 =13,3 см.

 

x2 =

 

 

=

40 =13,3

см, y2

=

 

 

=

 

2

 

3

3

2

3

 

 

 

πR2

 

 

 

 

3,14 402

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

S3 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Сектор:

 

=

 

 

 

 

 

=1256 см ,

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 = l O1C3 cos 45°,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

sinα

 

 

 

 

y

3

= l O C

3

cos 45°, O C

3

=

R

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

α – половинный угол сектора в радианах α =

π

, и α = 45°,

 

следовательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

sinα

 

 

2

 

 

 

 

sin 45° 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O C

3

=

R

=

 

40

 

 

= 23,8 см, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

α

3

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 = 80 23,8 0,7 = 63,34см,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3 = 80 23,8 0,7 = 63,34 см.

 

 

 

 

 

Круг:

S4 = π r2 = 3,14 182 = 1017 см2,

 

 

 

 

 

 

 

x4

= l

l

= 80 20 = 60 см, y4

=

l

=

80 = 20см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

Результаты расчета сводим в таблицу 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фиг.

х , см

 

у

, см

 

 

 

S , см2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

k

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

Sk xk, см

 

 

 

Sk yk, см

 

 

1

40

 

 

40

 

 

 

6400

 

 

 

 

256000

 

 

 

256000

 

 

2

13,3

 

 

13,3

 

 

 

 

– 800

 

 

 

– 10667

 

 

 

– 10667

 

3

63,34

 

 

63,34

 

 

 

– 1256

 

 

 

– 79157

 

 

 

– 79157

 

4

60

 

 

20

 

 

 

 

 

– 1017

 

 

 

– 61042

 

 

 

– 20347

 

 

Σ

 

 

 

 

 

 

 

 

3326

 

 

 

105134

 

 

 

145829

 

 

 

4. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

105134

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xC

 

=

k =1 k

 

 

k

=

 

= 31,6 см,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3326

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

у

 

 

 

 

 

 

S

k =

145829 = 43,84 см.

 

y

C

= k =1

k

 

 

 

 

S

 

 

3326

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Указываем положение центра тяжести на фигуре (рисунок

1).

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. хС = 31,6 см, уС = 43,84 см.

 

 

Задача 2. Определить положение центра тяжести плоского

сечения, составленного из стандартных прокатных профилей –

стальной пластины с размерами а = 24 см, b = 4 см, швеллера № 24,

двутавровой балки № 20 и уголка неравнополочного № 20/12,5.

y

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С3

 

 

 

xC4

 

3

 

 

 

 

B

 

h

 

 

 

xС

С4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b4

C4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

C2

 

y

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

С2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

С1

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yC2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а = h2

 

 

Рисунок 2 – Расчетная схема плоского сечения

РЕ Ш Е Н И Е

1.Вычерчиваем рисунок в масштабе.

2.Применяем метод разбиений. Рассматриваем каждый профиль в отдельности и определяем расстояния до центра тяжести каждого относительно выбранных координатных осей:

Пластина (центр тяжести С1): а = 24 см, b1 = 4 см.

S1 = a b1 = 24 4 = 96 см2, х1 = а/2 = 12 см, у1 = – (b2 + b1 /2) = – 11 см.

Швеллер (центр тяжести С2): Расчетные данные выбираются из таблицы 2 Приложения Б для заданного профиля: S2

= 30,6 см2, h2 = 24 см, b2 = 9 см. В данной задаче х2 = уС2 = 12 см,

у2 = хС2 = – 2,42 см.

Балка двутавровая (центр тяжести С3): Расчетные данные

выбираются из таблицы 1 Приложения Б для заданного профиля:

S3 = 26,8 см2, h3 = 20 см, b3 = 10 см, х3 = b3 /2 = 5 см,

у3 = h3 /2 = 10 см.

Уголок неравнополочный (центр тяжести С4): Расчетные данные выбираются из таблицы 4 Приложения Б. В данной задаче:

S4 = 43,87 см2, B = 20 см, b4 = 12,5 см. х4 = а - хС4 = 21,9 см, у4 = уС4 = 6,62 см.

Результаты расчета сводим в таблицу 2.

Таблица 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Фиг.

х , см

у

, см

S , см2

 

3

 

3

 

 

k

k

 

k

Sk xk, см

 

Sk yk, см

 

 

1

12

– 11

96

1152

 

– 1056

 

 

2

12

– 2,42

30,6

367

 

– 74

 

 

3

5

10

26,8

134

 

268

 

 

4

21,1

6,62

43,87

926

 

290

 

 

 

Σ

 

 

197,27

2579

 

572

 

 

5. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры

 

 

n

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

2579

 

 

xC =

k =1

k

 

k

=

 

=13,07 см,

 

S

 

 

 

197,27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sk

уk

 

 

 

572

 

yC =

k =1

 

 

 

 

=

 

 

 

 

= −2,90 см.

 

S

 

 

 

197,27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Указываем положение центра тяжести на фигуре (рисунок

2).

Ответ. хС = 13,07 см, уС = 2,90 см.

ВАРИАНТ 0

Линейные размеры и номер профиля выбираются студентом из таблицы, где номер строки соответствует последней цифре

шифра.

Задача № 1

 

Задача № 2

y

 

y

 

 

 

 

 

b

30º

 

 

x

 

 

 

l

 

 

 

а

№ профиля

r

x

 

 

l

 

 

Исходные данные

Исходные данные

 

Номер

к задаче № 1

 

к задаче № 2

 

строки

l,

r,

 

a,

 

b,

 

см

см

профиля

 

см

 

см

 

 

 

 

 

 

 

 

0

48

20

5

 

7

 

0,8

1

36

20

8

 

10

 

1,4

2

54

25

10

 

12

 

0,6

3

60

30

12

 

14

 

1,2

4

18

10

14

 

16

 

0,8

5

24

12

16

 

18

 

1,0

6

12

10

18

 

20

 

1,0

7

30

12

20

 

22

 

1,2

8

24

10

22

 

24

 

1,4

9

42

20

24

 

26

 

1,4