Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МУ ТМ_2015 / Сборник заданий по теор. мех. Статика (Дрожжин, Баранова, Дадочкина и др

.).pdf
Скачиваний:
1087
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
3.97 Mб
Скачать

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Сборник заданий по теоретической

механике

Статика

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия

для студентов высших технических учебных заведений, обучающихся по направлениям 13000, 150000,

270000

Новокузнецк 2006

УДК 531 (075)

С 232

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики Сибирского государственного университета путей сообщения

А.М.Попов; Доктор технических наук, профессор кафедры теоретической

механики и теории механизмов и машин Ижевского государственного технического университета

А.Э.Пушкарев

Дрожжин В.В., Баранова Г.Т., Дадочкина Т.Н., ЖивагоЭ.Я., Крестьянова Н.И., Михайленко Н.И., Черников В.А.

С 232 Сборник заданий по теоретической механике. Статика: учебное пособие для студентов технических вузов / под редакцией В.В. Дрожжина. – Новокузнецк, 2006. – 184 с.

ISBN 5-7806-0241-7

Сборник заданий включает шесть основных тем статики. По каждой теме предлагается краткая теоретическая часть, примеры решения задач, рекомендации по решению, 25 вариантов индивидуальных комплексных заданий по 3 – 6 задач в каждом варианте, расположенных по возрастающей сложности, в которых представлены основные типы связей и все виды нагрузок.

Рекомендуется для студентов высших технических учебных заведений.

УДК 531 (075)

ISBN 5-7806-0241-7 Дрожжин В.В. и др., 2006

Сибирский государственный индустриальный университет, 2006

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теоретическая механика как одна из естественных физикоматематических дисциплин занимает важное место в подготовке инженеров любой специальности. Для хорошего усвоения курса необходимо приобрести твердые навыки в решении конкретных задач, поэтому в учебных планах вузов выделяется достаточно большое количество часов на самостоятельную работу. Эти часы должны использоваться с максимальной эффективностью как во время аудиторных занятий, так и вне их.

Кафедра теоретической механики Сибирского государственного индустриального университета (ранее Сибирский металлургический институт, г. Новокузнецк) более 20 лет как отступила от «классической» формы проведения практических занятий. Каждое занятие начинается с письменного опроса по разработанным кафедрой тестовым заданиям с целью оценки подготовленности студентов по теме занятия (6 – 8 минут). Затем преподаватель решает ряд типовых задач, после чего студенты работают самостоятельно, выполняя индивидуальные задания в учебные часы, или во внеурочное время. Такой метод работы потребовал разработки индивидуальных многовариантных заданий по каждой теме. Со временем задания видоизменялись, перерабатывались, дополнялись, и было принято решение о целесообразности объединить задания по темам в единый сборник индивидуальных заданий.

В сборник включены задания по основным темам статики твѐрдого тела. В каждой теме даѐтся краткая теоретическая часть, рекомендации по решению задач, примеры и варианты заданий. Задания и задачи в каждом разделе сборника имеют свой числовой шифр. Первая цифра шифра соответствует порядковому номеру подраздела (темы) в каждом разделе, второе число

– номер варианта задания, третья цифра – номер задачи в задании.

Задачи подобраны частью из существующих учебных пособий без изменения или с частичными изменениями, частью предложены авторами сборника.

Сборник заданий подготовлен коллективом преподавателей кафедры теоретической механики СибГИУ. Авторы выражают признательность бывшим сотрудникам кафедры: Ш.Г. Володарской, К.С. Горбунову, Л.С. Молокову, М.А. Шинкареву, которые в свое время принимали участие в подготовке заданий по некоторым темам.

Авторы выражают надежду, что предлагаемый сборник заданий будет полезен при организации самостоятельной работы студентов технических вузов, готовящих специалистов различных направлений, как дополнение к существующим учебным пособиям.

3

Некоторые основные понятия и определения статики

Статика – это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы эквивалентных преобразований различных систем сил и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Системой сил называют совокупность нескольких сил, приложенных к точке, телу или системе тел.

Встатике рассматриваются абсолютно твѐрдые тела, т.е. тела, которые не деформируются под действием приложенных к ним сил.

Втеоретической механике изучаются свободные (условно) тела.

Вреальных задачах тела несвободные, т.е. их движение ограничивается другими телами. Тела, накладывающие ограничения на движение изучаемого тела в пространстве, называют связями этого тела.

Силу, с которой связь действует на тело, называют реакцией связи. На основании принципа освобождаемости от связей, несвободное

тело (конструкция) рассматривается как свободное, если мысленно освободить его от наложенных связей и приложить к нему (к системе) реакции связей.

Реакция связи направлена в сторону противоположную направлению, в котором связь препятствует перемещению рассматриваемого тела. Направление реакции зависит от конструктивных особенностей связи. Все связи можно условно разделить на три группы.

Кпервой группе относят связи, конструкция которых позволяет однозначно определить направление реакции (связи 1- 4 см. ниже).

Ко второй группе относят связи, конструкция которых позволяет однозначно определить только линию действия реакции (связь 5, см. ниже).

Ктретьей группе относятся связи, конструкция которых не позволяет определить ни линию действия, ни направление реакции (связи 6 - 8, см. ниже). Для таких связей реакция представляется еѐ составляющими, равными алгебраическому значению проекций на произвольно выбранные координатные оси.

Типы связей и их реакции

1. Гладкая поверхность

 

 

N A

N B

А

В

А

В

 

 

 

 

В

4

Линия действия реакции гладкой поверхности направлена по нормали к общей касательной соприкасающихся поверхностей тел независимо от

сил, приложенных к рассматриваемому телу. N A и N B направлены от опорной поверхности к телу.

2.Точечная связь или опора на ребро (уступ)

 

 

N A

А

 

N B

 

В

А

 

 

 

 

В

Реакции N A и N B перпендикулярны поверхности опирающегося тела и направлены от опор к телу.

3.Гибкие связи (нити, цепи, канаты, тросы)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RA

R

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

В

 

А

В

Реакции RA и RB направляются по нитям от тела. (Гибкие связи работают только на растяжение).

4. Подвижная шарнирная связь (опора на катках)

а)

 

b)

 

А

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RB

а) RA

 

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Реакции RA и RB перпендикулярны к опорным поверхностям и направлены от опор к телу.

5. Невесомые стержни (с шарнирами на концах)

 

RB

RC

В С

 

А

RA

Реакции RB и RC направлены по осям стержней в произвольном направлении. (Стержни могут работать и на сжатие и на растяжение).В слу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чае изогнутых стержней линия действия реакции RA

проходит через оси

шарниров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Цилиндрический шарнир

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ось шарнира А

 

 

 

 

YA

 

 

 

А

 

 

 

 

 

перпендикулярна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости рисунка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

X A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ось шарнира В

 

 

 

Z B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

совпадает с осью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реакции шарниров (А или В) RA и RB изображаются их составляю-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щими X A , YA или X B , Z B

параллельными выбранным координатным осям.

6

7.

Сферический шарнир (А) и подпятник (В)

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

z

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

Z A

 

 

Z B

 

 

 

 

 

X A

А

у

X B

В

у

YA

YB

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

Реакции RA и RB изображаются их составляющими ( X A , YA , Z A и X B , YB , Z B ) параллельными осям координат.

8. Жесткая заделка (при плоской системе сил)

у

YA

А

M A

x

А X A

Реакция заделки представляется двумя составляющими X A , YA ,

параллельными координатным осям, и реактивной парой с моментом МА. Для связей (5 – 8), реакции которых представляются составляющими,

полная реакция определяется их векторной суммой, а направление определяется направляющими косинусами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

.

R

 

X

 

Y

 

 

,

R

 

 

X

Y

,

cos( R

 

; Ox )

A

A

A

A

 

A

A

A

RA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении задач направления составляющих ( X A , YA ) выбира-

ются произвольно. Если при вычислении значение составляющей реакции окажется отрицательной, это означает, что еѐ реальное направление будет противоположным направлению принятому первоначально.

7

1 РАВНОВЕСИЕ СХОДЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ СИЛ

Систему сил называют сходящейся, если линии действия всех приложенных сил пересекаются в одной точке. Если линии действия сил расположены в одной плоскости, то систему называют плоской сходящейся. В противном случае система будет пространственной сходящейся.

Сходящаяся система сил эквивалентна одной силе, которую называют равнодействующей. Равнодействующая равна векторной сумме сил системы и линия еѐ действия проходит через точку пересечения линий действия всех сил системы:

 

n

 

 

 

R

Fk .

(1.1)

 

k 1

 

Данное уравнение соответствует графическому способу нахождения равнодействующей построением векторного (силового) многоугольника. Этот способ вытекает из сложения векторов по правилу параллелограмма.

На рисунке 1.1 изображена сходящаяся система из 4 сил. На основании следствия из аксиомы ( о переносе точки приложения силы по линии еѐ действия), силы системы можно перенести в точку схода сил, т.е. в точку О (рисунок 1.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

F2

 

 

 

 

 

 

F3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F2

 

 

 

 

 

F1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

F4

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F4

 

F3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.1

 

 

 

Рисунок 1.2

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.3

 

 

 

 

Из точки О (рисунок 1.3) в выбранном масштабе строится вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы F1 . Из конца вектора

F1 строится вектор силы F2

 

и т.д. Вектор R ,

соединяющий точку О с концом последнего вектора складываемых сил, и будет равнодействующей данной системы сил.

Геометрическая фигура Оаbcd называется векторным (силовым) многоугольником. Силы в силовом многоугольнике можно строить в любой последовательности, при этом будет меняться его форма, но равнодействующая остается неизменной. Силовой многоугольник может быть плоской фигурой, если система сил плоская, или пространственной – при пространственной системе сил.

8

Если силовой многоугольник строить строго в масштабе, соблюдая параллельность линий действия сил, то величину равнодействующей можно

определить непосредственным измерением длины вектора R .

Величину и направление равнодействующей можно определить аналитическим способом. Для этого следует выбрать систему прямоугольных осей координат и спроецировать векторное равенство (1.1) на выбранные оси, учитывая, что проекция вектора суммы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Проекция равнодействующей на координатную ось равна алгебраической сумме проекций сил системы на ту же ось, т.е. векторное равенство (1.1) проецируется на выбранные координатные оси:

 

 

 

 

 

 

Rx

 

n

Fkx , Ry

n Fky ,

 

Rz

 

 

n

Fkz ,

 

 

(1.2)

 

 

 

 

 

 

 

k

1

 

 

 

 

 

 

 

k

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

Rx i

Ry j Rz k .

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.3)

Модуль равнодействующей определяется известным образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

R2

R2 .

 

 

 

 

 

 

(1.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Направление вектора равнодействующей относительно координат-

ных осей определяется направляющими косинусами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ry

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rz

 

(1.5)

cos R ; i

,

cos

R ; j

 

 

,

 

cos

R ; k

.

R

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно,

чтобы ее равнодействующая была равна нулю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

Fk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из равенств (1.4) и (1.6) вытекают аналитические условия равнове-

сия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

R2

R2

0 , т.е. R 0, R

 

 

 

 

0, R 0 .

 

 

 

 

R

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

На основании уравнений (1.2):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n Fkx

0,

 

 

n Fky

0,

 

n Fkz

0 .

 

 

(1.7)

 

 

 

 

 

 

 

k

1

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.е. для равновесия системы сходящихся сил, действующих на

твѐрдое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил системы на выбранные прямоугольные координатные оси одновременно равнялись нулю.

В случае плоской системы сходящихся сил для еѐ равновесия необ-

ходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из

9

двух прямоугольных координатных осей, лежащих в плоскости сил, одновременно равнялись нулю.

Решение задач на равновесие несвободного твердого тела (или точки), к которому приложена система сходящихся сил, рекомендуется выполнять в следующем порядке.

1.Уяснить физическую сущность задачи, выписать исходные данные и искомые величины.

2.Выполнить расчѐтную схему, учитывая заданные параметры:

выделить твердое тело (точку), равновесие которого следует рассматривать для определения неизвестных величин;

показать на рисунке заданные (активные) силы; определив тип наложенных на выделенное тело (точку) связей, показать

их реакции; выбрать систему координат, располагая оси (или одну из осей) парал-

лельно линиям действия реакций связей.

3.Записать условия равновесия полученной системы сил и составить соответствующие уравнения равновесия.

4.Решить в общем виде систему составленных уравнений равновесия относительно величин, подлежащих определению. Если в результате решения величина какой-либо из определяемых сил окажется отрицательной, то это означает, что направление силы противоположно предварительно принятому направлению.

Пример 1. На кронштейне, состоящем из стержней АВ и ВС, скрепленных друг с другом и со стеной шарнирами, укреплен в точке В блок (рисунок 1.4). Через блок перекинута нить, один конец которой привязан к стене в точке К, а на другом подвешен груз G. Определить реакции стержней, пренебрегая их силами тяжести и размерами блока, если cила тяжести груза

G = 20 кН, α = 30° и = 15°.

Решение.

1.Рассмотрим равновесие узла В, принимая его за материальную точку.

2.Изображаем активные (заданные) силы. Нагружающие силы, дейст-

вующие на узел В, это сила натяжения нити BL равная G , и сила T натяжения нити ВК, равная по величине силе тяжести груза (Т = G). Эти силы направлены от блока (рисунок 1.5).

3.Связями для блока являются стержни АВ и ВС. Реакции стержней RAB

иRBC , направленные вдоль стержней произвольным образом, подлежат

10