МУ ТМ_2015 / Сб. заданий по теоретич. механике Кинематика (Дрожжин, Баранова, Дадочкина и др)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Сборник заданий по теоретической механике

Кинематика

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки и специальностям в области техники и технологии

Новокузнецк 2008

УДК 531 (075) С 232

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики Сибирского государственного университета путей сообщения

А.М.Попов; Доктор технических наук, профессор кафедры теоретической

механики и теории механизмов и машин Ижевского государственного технического университета

А.Э.Пушкарев

Дрожжин В.В., Баранова Г.Т., Дадочкина Т.Н., ЖивагоЭ.Я., Крестьянова Н.И., Михайленко Н.И., Черников В.А.

С 232 Сборник заданий по теоретической механике. Кинематика: учебное пособие для студентов технических вузов / под редакцией В.В. Дрожжина. – Новокузнецк, 2008. – 144 с.

ISBN 5-7806-0241-7

Сборник заданий включает четыре основные темы кинематики. По каждой теме предлагается краткая теоретическая часть, примеры решения задач, рекомендации по решению, 25 вариантов индивидуальных комплексных заданий по 5 – 7 задач в каждом варианте, расположенных по возрастающей сложности.

Рекомендуется для студентов высших технических учебных заведений.

УДК 531 (075)

ISBN 5-7806-0241-7 Дрожжин В.В. и др., 2008

Сибирский государственный индустриальный университет, 2008

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теоретическая механика как одна из естественных физикоматематических дисциплин занимает важное место в подготовке инженеров любой специальности. Для хорошего усвоения курса необходимо приобрести твердые навыки в решении конкретных задач, поэтому в учебных планах вузов выделяется достаточно большое количество часов на самостоятельную работу. Эти часы должны использоваться с максимальной эффективностью как во время аудиторных занятий, так и вне их.

Кафедра теоретической механики Сибирского государственного индустриального университета (ранее Сибирский металлургический институт, г. Новокузнецк) более 20 лет как отступила от «классической» формы проведения практических занятий. Каждое занятие начинается с письменного опроса по разработанным кафедрой тестовым заданиям с целью оценки подготовленности студентов по теме занятия (6 – 8 минут). Затем преподаватель решает ряд типовых задач, после чего студенты работают самостоятельно, выполняя индивидуальные задания в учебные часы или во внеурочное время. Такой метод работы потребовал разработки индивидуальных многовариантных заданий по каждой теме. Со временем задания видоизменялись, перерабатывались, дополнялись, и было принято решение о целесообразности объединить задания по темам в единый сборник индивидуальных заданий.

В сборник включены задания по основным темам кинематики. В каждой теме даѐтся краткая теоретическая часть, рекомендации по решению задач, примеры и варианты заданий. Задания и задачи в каждом разделе сборника имеют свой числовой шифр. Первая цифра шифра соответствует порядковому номеру подраздела (темы) в каждом разделе, второе число – номер варианта задания, третья цифра – номер задачи в задании.

Часть задач подобрана из существующих учебных пособий без изменения или с частичными изменениями, часть составлена авторами сборника.

Сборник заданий подготовлен коллективом преподавателей кафедры теоретической механики СибГИУ. Авторы выражают признательность бывшим сотрудникам кафедры: Ш.Г. Володарской, К.С. Горбунову, Е.П. Лаптевой, В.В. Соину, Я.Ф. Чудаеву, М.А. Шинкареву, которые в свое время принимали участие в подготовке заданий по некоторым темам.

Авторы выражают надежду, что предлагаемый сборник заданий будет полезен при организации самостоятельной работы студентов технических вузов, готовящих специалистов различных направлений, как дополнение к существующим учебным пособиям.

3

1 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных объектов с геометрической точки зрения, т.е. без учета их массы и действующих на них сил.

При изучении раздела выделяются кинематика точки и кинематика твердого тела.

Изучение движения точки заключается в определении характеристик еѐ движения: положения точки в заданный момент времени в выбранной системе координат, траектории движения, скорости и ускорения.

Траекторией точки называется геометрическое место последовательных (с течением времени) положений еѐ в пространстве, определяемое в той или иной системе отсчѐта.

Кинематически задать движение (закон движения) точки – значит задать ее положение относительно выбранной системы координат в любой момент времени. Математические выражения, определяющие положение точки в любой момент времени в выбранной системе координат, называются уравнениями движения (законом движения) точки. Зная закон движения, можно определить основные кинематические характеристики движения.

Существует три основных способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

z

При

векторном

способе за-

дания движения положение точки

задается

еѐ радиус-вектором

,

zM

r

как функцией времени, проведен-

O1 (+)

S

М(х,у,z)

ным из какого-то неподвижного

(−)

центра. Уравнение движения за-

писывается в виде

r

r r( t ) .

k

j

При

координатном

способе

O

у

уМ

i

задания

движения

положение

xМ

точки определяется еѐ координа-

тами в

прямоугольной декарто-

х

Рисунок 1.1

вой

системе координат (рисунок

1.1). Координаты являются функ-

циями времени, и уравнения движения точки записываются в виде:

x

x( t ), у у( t ), z

z( t ) .

Очевидна связь между векторным и координатным способами зада-

ния движения:

( t ),

x i у j z k .

r

r

r

При естественном способе задания движения положение точки на

заданной траектории определяется еѐ дуговой координатой S

S t

(рису-

нок 1.1).

4

Задается начало отсчета (точка О1), положительное и отрицательное направления отсчѐта дуговой координаты.

Основными кинематическими характеристиками движения точки являются еѐ скорость и ускорение. Это векторные величины имеющие размерности, соответственно, м/с и м/с2.

Скоростью точки называется вектор V , определяющий в каждый момент времени быстроту и направление движения точки в выбранной системе отсчѐта.

Вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории (рисунок 1.2). При прямолинейном движении вектор скорости совпадает с траекторией и направлен в сторону движения.

При векторном способе задания движения скорость точки определяется как первая производная по времени от радиус-вектора:

			dr			r .
V
			dt

При координатном способе задания движения скорость определяется через проекции вектора скорости на выбранные координатные оси:

dx

x , Vу

dу

у , Vz

dz

z .

V Vx

i V у j Vz

k , Vx

dt

dt

dt

Проекция вектора скорости на координатную ось равна алгебраическому значению первой производной по времени от соответствующей координаты точки.

Численное значение скорости определяется известным образом:

V =			V 2	V 2	V 2 .
	V
			x	у	z

При естественном способе задания движения числовое (или алгебраическое) значение скорости точки определяется как первая производная по времени от дуговой координаты:

dS

V

dt

S .

Ускорение точки

характеризует бы-

a

a

строту

изменения вектора скорости по величине

V

и направлению.

М

Установлено, что вектор ускорения точки

находится в соприкасающейся плоскости траек-

тории точки, т.е. в плоскости М n (рисунок 1.2), и

n

a

направлен в сторону вогнутости траектории. При

n

прямолинейном движении вектор ускорения сов-

a

падает с траекторией движения точки.

n

При векторном способе задания движе-

Рисунок 1.2

ния ускорение точки равно или первой производ-

ной по времени от вектора скорости точки, или второй производной по времени от радиус-вектора точки:

5

		dV
a		dt			V		r .

При координатном способе задания движения ускорение точки определяется через проекции вектора ускорения на выбранные координатные оси:

a

ах· i + ау· j + аz· k ,

ах = Vx

x

, ау = V

у

у

, аz =Vz

z , а =

a

ax

a у

az .

2

2

2

При естественном способе задания движения ускорение точки проецируется на оси естественного трехгранника – на касательную ось Ми на главную нормаль Мn (рисунок 1.2):

a a an n или a a an ,

где и n − единичные векторы касательной и главной нормальной осей естественного трѐхгранника.

Проекция ускорения точки на касательную ось a (касательное уско-

рение) равна первой производной по времени от числового значения скорости точки или второй производной по времени от дуговой координаты точки

и характеризует изменение скорости по величине: a	V	S .

Проекция ускорения на главную нормальную ось a n (нормальное

ускорение) характеризует изменение вектора скорости по направлению и определяется выражением:

	V 2
a n		,

где - радиус кривизны траектории в данной точке.

							a2 an2 .
Так как	a			a	n , то а =
Если V S			и		a =V	S	имеют одинаковые знаки, то векторы V	и

a направлены в одну сторону, и движение точки будет ускоренным. В противном случае - движение точки замедленное.

Пример 1. Точка движется по окружности по закону S = 5 + 2t3 (S – см, t – c). Определить ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость равна 24 см/с, нормальное ускорение 24 см/с2. Чему равен радиус окружности

(рисунок 1.3)? Определить характер движения точки.

М

Решение.

a n

Определяется скорость и касатель-

R

a

ное ускорение точки:

О

V S

6t 2 , a

= V

12t .

V

a

V = 24 = 6t2, t = 2 c, a = 24 cм/с2.

Рисунок 1.3

6

Нормальное ускорение определяется по выражению:

a

=

V 2

,

a

= 24 см/с2, R

V 2

=

242

24 см.

n

n

R

an

24

Ускорение точки a

a

an ,

a = a2

an2

242 242

24 2 см/с2.

Движение точки криволинейное ускоренное.

Пример 2. По заданным уравнениям движения точки М установить вид еѐ траектории и для момента времени t1 найти положение точки на траектории, скорость, ускорение, его касательную и нормальную составляющие, а так же радиус кривизны траектории в данной точке.

Дано: x

2sin

t

см,

y 2 2 cos

t

см, t1 = 1c.

6

3

Найти: у = f(x), xМ, уМ, Vx, Vу, V, ax, aу, a, a , an, .

Решение.

1) Определяем уравнение тра-

ектории точки, и еѐ положение в

y

данный момент

времени. Решая

совместно уравнения движения и

преобразуя второе уравнение, по-

лучаем:

4

2 t

t

V

y

2

2 (1 2sin

)

4 sin

2

,

Vy

a

6

6

a y

т.е. у = х2.

Траекторией

точки

является

часть параболы у = х2, ограничен-

an

a

ная неравенствами − 2

х

2 ,

0

у

4 (рисунок 1.4).

1

Vx

a x

M

При t = 1 c хМ = 2 sin

= 1 см,

x

6

-2

-1

O

1

2

Рисунок 1.4

уМ = 2 – 2 cos

= 1 см.

3

2)

Скорость

точки.

Вектор

скорости V

Vx

i Vy

j .

Проекции вектора скорости на выбранные оси:

V

dx

x

cos

t

, V

dy

y

2

sin

t

.

y

x

3

6

dt

3

3

dt

При t = 1c Vx

3

≈ 0,96 см/с, Vy

3

≈ 1,813 см/с.

6

3

7

	Модуль скорости:
					15			2,027см/с.
	V	V 2	V 2
		x	y	6

Вектор скорости строится по еѐ составляющим, параллельным координатным осям, в выбранном масштабе (рисунок 1.4).

3. Ускорение точки.

Вектор ускорения a

ах· i + ау· j .

Проекции вектора ускорения на оси:

ах = Vx

x

2

sin

t

, ау = Vy

y

2 2

cos

t

.

9

3

18

6

2

2

При t = 1 c ах =

≈ – 0,274 см/с2, ау =

≈ 1,096 см/с2.

36

9

Модуль ускорения:

a

ax2 ay2

0,075 1,201 ≈ 1,129 см/с2.

Строим вектор ускорения по его составляющим, параллельным координатным осям, в масштабе (рисунок 1.4).

4) Касательное и нормальное ускорения.

Величину касательного ускорения находим по выражению:

a

dV

V

x

a

x

V

y

a

y

0,96 ( 0,274) 1,813 1,096

0,857

см/с2.

dt

V

2,027

Знак плюс показывает, что касательное ускорение совпадает по направлению с вектором скорости.

Величину нормального ускорения находим из выражения:

a	a2 a2		1,275 0,734 ≈ 0,735 см/с2.
n

5) Радиус кривизны траектории:

V 2	2,0272		≈ 5,59 см.
an		0,735

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

По данной теме предлагается 25 вариантов заданий по шесть задач в каждом. Первые три задачи, как правило, нестандартные, хотя и не сложные. Задачи 4 и 5 типовые, а задача шестая − комплексная, охватывающая весь материал кинематики точки. Рисунки к шестой задаче помещены на страницах 30 − 32.

Для каждой задачи требуется выполнить рисунок, на котором изобразить траекторию движения точки (или часть траектории), установить положение точки на траектории в заданный момент времени и построить векторы определяемых и заданных скоростей и ускорений точки.

8

УСЛОВИЯ ЗАДАНИЙ

Задание 1.01

1.01.1.Найти скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки, движущейся по криволинейной траектории по закону S = 2t3 (S − м, t – с), в момент времени, когда угол между векторами скорости и ускорения равен 45°. Радиус кривизны траектории в данной точке равен 24 м.

1.01.2.Точка движется равноускоренно из состояния покоя по окружно-

сти радиусом 5 м. По истечении двух секунд еѐ полное ускорение достигло значения 7,8 м/с2. Найти путь, пройденный точкой за четыре секунды с момента начала движения.

1.01.3.Точка равномерно движется по плоской траектории, радиус кривизны которой ρ = t 2 – 2t + 2 (ρ – м, t – с). В какой момент времени ускорение точки максимально?

1.01.4.Точка движется согласно уравнениям х = 3 – 4sin2πt, у = 2cos2πt

(х, у м, t с). Определить уравнение траектории точки. Вычислить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Ох.

1.01.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 2t, у = 4t2 – 8t (х, у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

	1.01.6. Звено ОС механизма движется по закону φ =	t	( − рад, t – с).
		6

Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 c и

t2 = 3 c. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 с, если МВ = АС = ВС = ОС = 0,2 м.

Задание 1.02

1.02.1. Точка движется по окружности радиусом 7 м согласно уравнению S = 0,7t 2 (S − м, t – с). Определить дуговую координату точки, когда еѐ нормальное ускорение станет равным 3 м/с2.

9

r ( 1 t )i ( t 1 ) j

1.02.2. Спускаясь по склону горы, длина которого равна 128 м, лыжник движется с постоянным ускорением и за первые 5 секунд преодолевает расстояние в 50 м. Считая, что начальная скорость равна нулю, найти время спуска лыжника и его скорость в конце спуска.

1.02.3. Движение точки задано векторным уравнением

(r − м, t – с). Определить закон движения точки, отсчитывая координату S от еѐ начального положения.

	1.02.4.			Точка	движется согласно уравнениям х = 5 + 2sin	t	,
						3
	у = 3cos	t		(х, у м, t	с). Найти уравнение траектории, по которой движет-
		3

ся точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Ох.

1.02.5. Найти	уравнение траектории точки, движущейся по закону
х = 4t2 – 1, у = 2t (х, у	м, t с). Определить положение, скорость, ускорение

точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0,5 c.

	1.02.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,6sinπt (S − м,			t –
с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 =					1
				6
с, t2	=	1	с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в коорди-
	2

натной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 16 с, если АВ = 0,6 м, АМ = 0,45 м.

Задание 1.03

1.03.1.Точка движется по закону S = 5t2 (S − м, t – с). Определить уско-

рение точки при t = 1 с и радиус кривизны еѐ траектории, если нормальное ускорение в этот момент времени равно 5 м/с2.

1.03.2.Точка, получив некоторую начальную скорость, начала двигаться равнозамедленно по окружности радиусом 10 м. За десять полных обходов по окружности скорость точки уменьшилась вдвое. Какой путь пройдет точка до остановки?

10