МУ ТМ_2015 / Статика 2

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Сибирский государственный индустриальный университет”

Кафедра технической механики и графики

СТАТИКА

Тема 2. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Практикум для выполнения самостоятельной работы

по дисциплине “Теоретическая механика”

Новокузнецк, 2015

УДК 531 (075) С 78

Рецензент:

Доктор технических наук, доцент, директор института машиностроения и транспорта СибГИУ

А.Г. Никитин

С 78 Статика: Практикум. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост: М.В. Ермаченко, Э.Я. Живаго. – Новокузнецк, Изд. центр СибГИУ, 2015. – 26 с.

Изложены методические указания для выполнения расчетно-графических работ по дисциплине “Теоретическая механика”, раздел “Статика”, излагается краткая теория, приведены варианты заданий и ответы к ним.

Тема 2. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Систему сил называют плоской произвольной, если линии действия всех сил системы расположены произвольно в одной плоскости, т.е. не параллельны и не пересекаются в одной точке. Такие системы не всегда эквивалентны равнодействующей.

Для эквивалентного преобразования плоской произвольной системы сил используются понятия о моменте силы относительно центра, о паре сил, о параллельном переносе силы.

Алгебраическим моментом силы относительно произвольно выбранного центра (точки) О, называют взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо (рисунок 1)

			MO F mO F F h .
		Плечом				тО(F)
	hсилы F относи-
	тельновыбранно-			A		h
	го центра О на-				r
	зывают длину пер-			F		O
	пендикуляра, опу-
	щенного из центра
	О	на	линию	Рисунок 1 – Момент силы
	действия силы.
		Момент силы считается положительным, если сила
	стремится поворачивать тело вокруг выбранного центра
	против хода часовой стрелки (cо стороны наблюдателя).
		В инженерных расчётах встречаются нагрузки,
	распределённые по тому или иному закону на какой-либо
	поверхности, в частности, равномерно распределённые вдоль
	отрезка		прямой. В	плоской системе	сил	распределённая

нагрузка характеризуется её интенсивностью q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины (рисунок 2). Эту равномерно распределённую нагрузку можно заменить сосредоточенной силой, которая равна Q = q a и приложена в середине отрезка АВ.

Парой сил называют систему двух равных по модулю противоположно направленных сил с параллельными линиями действия (рисунок 3).

Пару сил нельзя упростить, т.е. заменить одной силой

– равнодействующей. Пару сил обозначают ( F1 ;F2 ) ,

( P1 ; P2 ) и т.д.

Пара сил характеризуется плоскостью действия, направлением действия и моментом пары.

q

А

В

F2

М2

а

А

М1

F1

d

В

A

Q

М3

В

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Алгебраический момент пары равен взятому со знаком плюс или минус произведению одной из сил пары на плечо пары. Плечом dпары называют кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары (рисунок 3)

M F1 ,F2 m F1 ,F2 F1 d F2 d .

Момент пары сил считается положительным, если пара стремится вращать тело против хода часовой стрелки. На расчетных схемах пару сил принято обозначать, как показано на рисунке 4.

Эквивалентное преобразование плоской произвольной системы сил сводится к её приведению к произвольно выбранному центру. Согласно теореме Пуансопроизвольная плоская система сил, приложенная к твердому телу,

эквивалентна одной силе (главному вектору), приложенной в центре приведения, и одной паре сил (результирующая пара), момент которой называют главным алгебраическим моментом.

Главный вектор RO*

всех сил системы

RO*

системы равен векторной сумме

n

Fk .

k 1

Главный алгебраический момент равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения

	n				.
M * m		O		F
O	k 1			k

Для равновесия плоской произвольной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю

RO* 0 ,

n

Fk 0 ,

k 1

M*O 0 , т.е.

n				0 .
mO		Fk
k 1

Модуль векторной суммы определяется через суммы проекций сил на выбранные оси координат

R*	n	n		, R*	n	n
	F	Х	k		F	Y	,
x	k х	k 1		y	ky	k
	k 1				k 1	k 1

		R	*		( X	k	)2	(Y )2 .
		O							k
Аналитические					условия				равновесияплоской

произвольной системы сил можно записать в трёх формах. Основная:

n	n	n				0 .
Х k 0,	Yk 0,	mO		Fk
k 1	k 1	k 1

Для равновесия плоской произвольной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две, произвольно выбранные координатные оси, и алгебраическая сумма моментов всех сил, относительно произвольно выбранной точки, равнялись нулю.

Кроме этой формы записи условий равновесия можно использовать еще две равнозначные формы. Вторая форма:

n	n				0,	n				0 .
Х k 0,	mA		Fk			mB		Fk
k 1	k 1					k 1

Прямая АВ не должна быть перпендикулярна выбранной оси.

Третья форма записи уравнений равновесия:

n

0,

n

0,

n

0 .

mA

Fk

mB

Fk

mC

Fk

k 1

k 1

k 1

Моментные точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.

В частном случае для плоской системы параллельных сил достаточно двух условий равновесия:

n	n
	Х k 0 , mO ( Fk ) 0 .
k 1	k 1

Ось х направлена параллельно силам.

Существует и вторая форма условий равновесия системы параллельных сил:

n				0,	n				0 .
mA		Fk			mB		Fk
k 1					k 1

Прямая АВне должна быть параллельна силам.

При решении конкретных задач бывает сложно вычислить длину плеча какой-то силы. В таких случаях удобно силу разложить на составляющие, параллельные осями воспользоваться теоремой Вариньона о моменте равнодействующей.

Момент равнодействующей системы сил относительно произвольной точки равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно той же точки)

			n
MO		R	mO		Fk		.
			k 1

Методические указания к решению задач

Для решения задачи необходимо изучить следующие вопросы:

1.Проекции вектора силы на оси координат;

2.Алгебраический момент силы относительно произвольного центра.

3.Пара сил. Алгебраический момент пары сил.

4.Основные виды связей, их реакции. Условные обозначения на рисунках. Принцип освобождаемости от связей.

5.Условия равновесия плоской произвольной системы сил.

При решении задач на равновесие плоской произвольной системы сил целесообразно придерживаться следующей последовательности:

Выделить балку, равновесие которой требуется рассмотреть, Изобразить её на рисунке в масштабе. Определить, в каких точках, и какими связями удерживается балка в равновесии. Показать на рисунке реакции связей или их составляющие, предварительно выбрав оси координат. Одну из осей координат можно совместить с балкой или ее частью, если балка изогнута. Направления составляющих реакций выбираются произвольно, параллельно осям координат.

Показать на рисунке активные нагрузки, действующие на балку.

Определить систему сил, приложенных к балке. Выяснить статическую определимость задачи.

Записать условия равновесия для действующей системы сил и составить уравнения равновесия.

Вычислить значения реакций связей и их составляющие.

Написать ответ, указав, верно или неверно выбраны первоначальные направления реакций или их составляющих.

Примеры выполнения и оформления задач

Задача 1. Определить реакции	связей балки АВ
(рисунок 5). Исходные данные: G = 6	кН, М = 6 кН м,
q = 2 кН/м, a = 1,5м, =30º, β = 60º.

Р Е Ш Е Н И Е Рассмотрим равновесие балки АВ. Изобразим её на

рисунке 6, заменив связи их реакциями. Балка в точке А закреплена неподвижным цилиндрическим шарниром, реакцию которого представим её составляющими в

произвольном направлении, параллельно осям координат Х А

и YА . В точке В балка удерживается стержнем, реакцию RB

которого направим вдоль стержня в произвольном направлении.

а

х

RB

2а

B

а

Q

B

q

Е

30

a

D

2a

M

F

2a

C

M

C

у

G

YA

60

β

А

А

X A

Рисунок 5 – Схема задачи

Рисунок 6 – Схема сил

Балка нагружена парой сил с моментом М, распределенной нагрузкой на участке СВ интенсивностью q, которую заменяем равнодействующей Q, приложенной в середине пролёта балки СВ, т.е. в точке Е и равной по величине

Q = q CB = 2·2а=6кН.

Сила тяжести груза G передаётся по канату на балку в точке С. Заменяем её силой F, которая по величине равна F = G и направлена вдоль каната от балки, так как канат работает на растяжение.

Балка находится в равновесии под действием плоской произвольной системы сил, для решения которой достаточно

трёх условий равновесия. Искомых сил также три Х А ,YА и RB , следовательно, задача статически определённая.

Напишем условия равновесия плоской произвольной системы сил и составляем уравнения равновесия.

n

Fkx 0, RBcos60 Fcos30 X A 0, (1)

k 1

n

Fky 0, YA F sin30 RB sin60 Q 0, (2)

k 1

n
M A (		Fk ) 0,			(3)
k 1
M F AC sin30 RB ABsin60 Q AE 0.
	Из уравнения (3) определяем RB
R	M F AC sin30 Q AE			5,77	кН.
B			ABsin60

Из уравнения (2) определяем YА

YA F sin30 RB sin60 Q 4 кН.

Из уравнения (1) определяем ХА

X A RB cos60 F cos30 2,3 кН.