МУ ТМ_2015 / Статика Тема4 (Михайленко, Живаго)

Институт машиностроения и транспорта

Кафедра теоретической механики

СТАТИКА

Практикум

Тема 4. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ

2,5R
2R	a	b
	O	F
	R	В
	A

G

Q

Q

α

Новокузнецк

2012

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Сибирский государственный индустриальный университет”

Кафедра теоретической механики

СТАТИКА

Тема 4. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ

Практикум для выполнения самостоятельной работы

по дисциплине “Теоретическая механика”

Новокузнецк, 2012

УДК 531 (075) С 78

Рецензент:

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и строительной механики СибГИУ А.Г. Никитин

С 78 Статика: Практикум. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост: Н.И. Михайленко, Э.Я. Живаго. – Новокузнецк, Изд. центр СибГИУ, 2012. – 34 с.

Изложены методические указания для выполнения расчетнографических работ по дисциплине “Теоретическая механика”, раздел “Статика”, излагается краткая теория, приведены варианты заданий и ответы к ним.

Тема 4. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ

Реакция идеальной поверхности (гладкой без трения) связи направлена по нормали к общей касательной соприкасающихся поверхностей тел.

Реакция реальной поверхности (шероховатой) связи слагается из двух составляющих: из нормальной реакции N и перпендикулярной ей силы трения Fтр . Следовательно, полная

реакция R = N + Fтр , будет отклонена от нормали к поверхности на угол ϕ (рисунок 1).

R N

ϕ

Fтр. max

Рисунок 1 – Реакция негладкой поверхности

Наибольший угол ϕ между N и R, который достигается в состоянии предельного равновесия тела, называется углом трения.

tgϕ = f .

Изучение равновесия тел с учетом трения скольжения можно свести к рассмотрению предельного равновесия, которое имеет место тогда, когда сила трения равна Fтр. max .

При аналитическом решении реакцию шероховатой связи изображают двумя её составляющими N и Fтр .

Затем составляют обычные уравнения равновесия и присоединяют к ним равенство

Fтр. max = N f

Из полученной таким путем системы уравнений определяют искомые величины.

Контрольные задания

К тормозному барабану подъемной машины рычагом или стержнем прижимается тормозная колодка для удержания в равновесии поднимаемого груза. Коэффициент трения между поверхностями задан. Определить значение силы F и реакции опор механической системы в указанных точках при её равновесии. Трением в шарнирных связях и блоках, массой блоков, колодок и канатов пренебречь. Необходимые для расчета данные приведены в таблицах.

Примечание – номер варианта выбирается по сумме двух последних

цифр шифра.

Методические указания

Для решения задачи необходимо изучить следующие вопросы:

1.Понятие трения скольжения.

2.Условия равновесия системы тел.

3.Способы решения задач на равновесие системы тел с учетом сил трения.

При решении задач на равновесие системы тел целесообразно придерживаться следующей последовательности:

•Изобразить систему тел на рисунке. Определить в каких точках, и какими внешними связями закреплена система тел. Показать на рисунке внешние реакции или их составляющие. Определить внутреннюю связь и ее реакции.

•Установить нагрузки, действующие на систему тел, показать их на рисунке.

•Выяснить, является ли задача статически определенной.

•Cделать рисунки для каждого из тел системы. Показать на каждом из рисунков все действующие силы, как активные, так и реакции связей.

•Написать условия равновесия для действующих на каждое из тел системы сил и составить уравнения равновесия, добавив при

этом равенство Fтр = f N.

• Вычислить значения реакций.

• Написать ответ, указав, правильно или неправильно выбраны первоначальные направления реакций или их составляющих.

Пример выполнения и оформления задачи

Задача. Определить значение силы прижатия F и реакции опор механической системы в точках A, B и O, если G = 5 кН, Q =

10 кН, a = 0,4 м, b = 0,5 м, α = 30º, f = 0,5.

2,5R
2R	a	b
	O	F
	R	В
	A

G

Q

Q

α

Рисунок 2 – Схема задачи

Р Е Ш Е Н И Е

Имеем систему из 4 тел: барабана, тормозного устройства, тележки и груза.

На систему действуют активные силы тяжести: барабана, груза и тележки, а также прижимающая сила F .

Разобьем систему на 3 части:

•барабан с грузом;

•тормозное устройство;

•тележка.

1.Рассмотрим равновесие барабана (рисунок 3).

Изобразим активные силы: силу тяжести барабана G и Т = Q. Отбросим связи и заменим их действие реакциями:

В точке О внешняя связь – неподвижный цилиндрический шарнир, реакцию которого представим двумя составляющими XО и YО, параллельными осям координат. Внутренние связи: канат (реакция t ), а между барабаном и колодкой шероховатая поверхность, реакцию которой представим двумя составляющими: нормальной реакцией поверхности N и силой трения, направленной в сторону противоположную возможному движению Fтр. Так как силы тяжести грузов стремятся повернуть барабан

против хода часовой стрелки, то направим силу трения таким образом, чтобы под действием этой силы барабан мог бы вращаться по ходу часовой стрелки.

у

2,5R	YO
2R	XO
		N	х
	R O	Fтр

G

T

tα

Рисунок 3 – Равновесие барабана

Под действием всех сил барабан находится в равновесии. Для плоской произвольной системы сил можно составить три уравнения равновесия:

n		(1)
∑Fkx = 0,	ХO + t cos α − N = 0,
k =1
n		(2)
∑ Fky = 0,	YO −T − t sinα −G − Fтр = 0,
k =1

n

∑MO (Fk ) = 0, T 2,5R + t 2R − Fтр R = 0, (3)

k =1

Учтем, что

Fтр = f N .

(4)

2. Рассмотрим равновесие тормозного устройства (рисунок 4). На него действуют: активная сила прижатия F .

Отбросим связи и заменим их действие реакциями:

В точках А и В внешние (неподвижные цилиндрические шарниры), реакции которых RA и RB лежат в плоскости рисунка и параллельно оси Ау.

Реакции внутренней связи (шероховатой поверхности) изображаем по принципу равенства действия и противодействия

							′
N’ = N и F’тр = Fтр, N'= −N и
					Fтр = −Fтр .

		у
	F '	a	b	R	B
	тр
N'	D				F	х
		A	RA	В

Рисунок 4 – Равновесие штока

Система сил плоская произвольная, для которой можно составим три уравнения равновесия:

n

∑Fkx = 0, N ′− F = 0, (5)

k =1

n

∑M В (Fk ) = 0, RA b − Fтр′ (a + b) = 0, (6)

k=1

n
∑M A (	Fk ) = 0,		RB b − Fmp a = 0.	(7)
k =1

3. Рассмотрим равновесие тележки (рисунок 5) .

tN

α

х

Q

Рисунок 5 – Равновесие тележки

На тележку действует система сходящихся сил: сила тяжести Q, реакция поверхности N и натяжения каната t. Неизвестных в задаче восемь ( F , X O ,YО , Fmp , N , RA , RB , t ), для определения

которых достаточно восемь уравнений равновесия, поэтому для тележки запишем одно уравнение проекций:

n	Q sinα − t′ = 0.	(8)
∑Fkx = 0,
k =1

Таким образом, число уравнений равно числу неизвестных, следовательно, задача является статически определенной.

Решим систему уравнений в следующей последовательности: Из уравнения (8) определим t, из (3) – Fmp, из (4) – N, из (1) –

XO, из (2) – YO, из (5) – Р, (6) – RА, из (7) – RВ.

	t = Q sinα = 5 кН,
F	=	T 2,5R +t 2R								= 35 кН,
тр					R
		N =				Fтр	= 70 кН,
						f
	XO = N −t cosα = 67,5 кН,
YO =T + t cosα +G + Fтр = 52,5 ,
		F = N = 70 кН,
	RA =			Fтр(a + b)					= 63 кН,
						b
		R	=		Fтр a			= 28 кН.
		B				b
Ответ: RA = 63 кН,				RB = 28 кН, F = 70 кН, XO = 67,5 кН,

YO = 52,5 кН.

ВАРИАНТ 0

Исходные данные выбираются из таблицы, в которой номер строки соответствует последней цифре шифра.

1,6R			α
O	R	e	A

Q

a

Q G

b

F

В

Определить реакции шарниров в точках А и О.

	Номер	G,	Q,	a,	b,	е,	α,	f
	строки	кH	кH	м	м	м	град
	0	1,0	10	0,20	0,10	0,04	30	0,10
	1	1,3	14	0,45	0,40	0,05	45	0,20
	2	1,5	16	0,20	0,30	0,04	45	0,30
	3	2,0	20	0,20	0,50	0,05	30	0,40
	4	1,7	24	0,10	0,25	0,04	60	0,15
	5	1,2	15	0,20	0,45	0,04	45	0,25
	6	1,4	14	0,20	0,30	0,05	60	0,35
	7	1,6	10	0,80	1,50	0,06	60	0,65
	8	3,0	8	0,40	0,80	0,10	45	0,30
	9	4,0	20	0,60	1,00	0,10	45	0,35