Черник, О. В. Контрольная тетрадь по теории вероятностей и математической статистике

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики

О.В. Черник

Контрольная тетрадь по теории вероятностей и математической статистике

Учебное пособие

КИРОВ 2012

3

УДК 517.2 ББК 22.161.11

Черник О.В. Контрольная тетрадь по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов направления 080100 «Экономика» профилей «Аграрная экономика», «Маркетинг», «Бухгалтерский учет», «Налоги и налогообложение» – Киров: Вятская ГСХА, 2012. – 54с.

Рецензенты: доцент кафедры математики ВГСХА, кандидат физикоматематических наук Фарафонов В.Г.; доцент кафедры математического моделирования в

экономике ВГУ, кандидат физико-математических наук Ковязина Е.М.

Учебное пособие рассмотрено и утверждено методической комиссией инженерного факультета Вятской государственной сельскохозяйственной академии (протокол № 1 от 26.09.12).

Контрольная тетрадь содержит краткое изложение теоретического материала, задания контрольной работы по теории вероятностей и математической статистике, решение нулевого варианта, экзаменационную программу, список литературы. Учебное пособие предназначено для студентов направления 080100 «Экономика» профилей «Аграрная экономика», «Маркетинг», «Бухгалтерский учет», «Налоги и налогообложение» заочной формы обучения. Кроме того, данное пособие может быть использовано студентами очной формы обучения в процессе самостоятельной работы при подготовке к зачету по теории вероятностей.

©ФГБОУ ВПО Вятская ГСХА, 2012

©Черник Ольга Владимировна, 2012

4

Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» математического цикла (базовая часть) разработана в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 080100 Экономика (квалификация (степень) «бакалавр»), утвержденным Министерством образования и науки Российской Федерации от 21.02.2009 № 747 (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 25.02.2010 №16500) и примерным учебным планом; отрецензирована экспертами Учебно-методического объединения вузов России по образованию в области финансов, учета и мировой экономики; рассмотрена на заседаниях учебно-методических советов и секций УМО.

Цели и задачи освоения дисциплины

Получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности.

Развитие понятийной математической базы и формирование определенного уровня математической подготовки, необходимых для решения теоретических и прикладных задач экономики и их количественного

икачественного анализа.

Врезультате изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студенты должны:

-владеть основными понятиями дисциплины;

-иметь навыки работы со специальной математической литературой;

-уметь решать типовые задачи, уметь использовать теоретиковероятностный и статистический аппарат для решения теоретических и прикладных задач экономики;

-уметь содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты.

5

Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является базовой дисциплиной математического цикла федерального государственного образовательного стандарта профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению 080100.62 «Экономика» (квалификация – «бакалавр»).

Изучение дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» основывается на базе знаний, умений и компетенций, полученных студентами на первом курсе в ходе освоения дисциплин «Линейная алгебра» и «Математический анализ» того же блока.

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» изучается на втором году обучения, закладывает фундамент для понимания экономической статистики и является базовым теоретическим и практическим основанием для всех последующих математических и финансово-экономических дисциплин подготовки бакалавра экономики, использующих теоретико-вероятностные и статистические методы анализа.

Требования к результатам освоения дисциплины

В совокупности с другими дисциплинами базовой части ФГОС ВПО дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» направлена на формирование следующих общекультурных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций бакалавра экономики:

-владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения

(ОК1);

-способен собирать и анализировать исходные данные, необходимые для расчёта экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК1);

-способен на основе типовых методик и действующей нормативноправовой базы рассчитывать экономические и социально-экономические

6

показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов

(ПК2);

-способен выполнять расчёты, необходимые для составления экономических разделов планов. Обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами

(ПК3):

-способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК4);

-способен выбирать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчётов и обосновывать полученные выводы

(ПК5).

Врезультате освоения содержания дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студент должен:

-знать основы теории вероятностей и математической статистики, необходимые для решения финансовых и экономических задач;

-уметь применять теоретико-вероятностные и статистические методы для решения экономических задач;

-владеть навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач, методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций, соответствующих методам теории вероятностей и математической статистики).

Содержание разделов дисциплины

Часть I. Теория вероятностей Раздел 1. Вероятности событий

1.1. Основные понятия комбинаторики: комбинаторные правила умножения и сложения, перестановки, сочетания из n по k , размещения из n по k . Бином Ньютона и свойства биномиальных коэффициентов.

7

1.2.Случайные события, частота и вероятность. Классический метод подсчета вероятности события. Геометрическая вероятность. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Аксиомы вероятности и вероятностное пространство. Следствия из аксиом. Статистическое определение вероятности.

1.3.Основные теоремы теории вероятностей. Условные вероятности. Независимые события. Формула полной вероятности и формулы Байеса вероятностей гипотез.

1.4.Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли. приближенные формулы Лапласа. Функции Гаусса и Лапласа. Предельная теорема и приближенная формула Пуассона.

Раздел 2. Случайные величины

2.1.Случайная величина как функция на пространстве элементарных событий. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения. Независимость случайных величин. Функции от одной и нескольких случайных величин. Арифметические операции над случайными величинами.

2.2.Дискретная случайная величина (ДСВ) и ее закон распределения. Основные числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, ковариация и коэффициент корреляции. Математическое ожидание функции от ДСВ. Неравенство Иенсена.

2.3.Свойства математического ожидания, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции.

2.4.Примеры классических дискретных распределений (биномиальное, пуассоновское, геометрическое) и вычисление их числовых характеристик. Пуассоновость суммы независимых пуассоновых случайных величин. Производящие функции.

8

2.5.Непрерывные и абсолютно непрерывные случайные величины. Функция плотности и ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины. Математическое ожидание функции от абсолютно непрерывной случайной величины.

2.6.Равномерное распределение на отрезке, показательное (экспоненциальное) распределение, распределение Коши, нормальное и логнормальное распределения и их числовые характеристики. Нормальность суммы независимых нормальных случайных величин.

2.7.Начальные и центральные моменты случайной величины. Асимметрия и эксцесс. Мода, медиана и квантили непрерывного распределения.

Раздел 3. Предельные теоремы теории вероятностей

3.1.Неравенство Чебышева. Правило «трех сигм» в общем случае. Теоремы Чебышева и Бернулли. Последовательности случайных величин. Сходимость по вероятности и закон больших чисел.

3.2.Понятие характеристической функции. Центральная предельная теорема (ЦТП) в формулировке Ляпунова для одинаково распределенных слагаемых и в общем случае. Применение ЦТП.

Раздел 4. Случайные векторы

4.1.Совместное распределение случайных величин. Случайный вектор. Зависимые и независимые случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Одинаково распределенные случайные векторы. Связь функции распределения случайного вектора с функциями распределения его компонент.

4.2.Дискретные случайные векторы. Вероятность попадания дискретного случайного вектора в заданное множество. Закон распределения двумерного дискретного случайного вектора и его связь с распределениями компонент.

4.3.Абсолютно непрерывные случайные векторы. Вероятность

9

множество. Связь функции плотности распределения случайного вектора с функциями плотности его компонент. Функция плотности и независимость компонент случайного вектора. Равномерное распределение в ограниченной области в Rn .

4.4.Числовые характеристики дискретных и абсолютно непрерывных случайных векторов. Математическое ожидание функции от компонент случайного вектора. Ковариационная матрица случайного вектора. Неотрицательная определенность ковариационной матрицы.

4.5.Нормальное распределение в R2 . Плотность двумерного нормального распределения, приведение к каноническому виду. Нормальные случайные векторы и их свойства.

4.6.Условные распределения и условные плотности. Условное математическое ожидание и его свойства. Формула полного математического ожидания. Условная дисперсия. Формула полной дисперсии.

Раздел 5. Цепи Маркова

5.1.Определение и способы задания цепей Маркова. вероятности и матрицы переходов. Многошаговые вероятности переходов и теорема о матрице многошаговых переходов.

5.2. Предельные вероятности. Теорема Маркова о предельных вероятностях.

Часть II. Математическая статистика

Раздел 6.Эмпирические характеристики и выборки

6.1.Статистические методы обработки экспериментальных данных. Генеральная совокупность. Эмпирическая функция распределения и вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Мода и медиана.

6.2.Генеральные среднее, дисперсия, моменты высших порядков (асимметрия, эксцесс). Эмпирическая ковариация.

6.3.Повторные и бесповторные выборки. Математическое ожидание и дисперсия выборочного среднего для повторной и бесповторной выборки.

10

Раздел 7. Точечные и интервальные оценки

7.1.Статистические оценки параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность точечных оценок. Оценка неизвестной вероятности по частоте. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

7.2.Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.

7.3. Доверительные вероятности и интервалы. Приближенный доверительный интервал для оценки генеральной доли признака. Приближенный доверительный интервал для оценки генеральной средней.

Раздел 8. Статистическая проверка гипотез

8.1.Статистическая проверка гипотез. Ошибки I и II рода. Уровень значимости и мощность критерия. Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Простые и сложные гипотезы.

8.2.Критерий согласия χ2 (критерий Пирсона). Проверка гипотезы о

соответствии наблюдаемых значений предполагаемому распределению вероятностей.

8.3. Сравнение параметров двух нормальных распределений.

11

Общие методические указания к оформлению контрольной работы

Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике состоит из 6 заданий по 20 вариантов в каждом задании. Номер варианта (1–20) определяется двумя последними цифрами зачетной книжки студента, если эти цифры образуют число от 01 до 20. Если число больше 20, то из него следует вычесть число, кратное 20 (20,40,60 или 80) для попадания в отрезок 1–20.

При выполнении контрольной работы студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1)перед выполнением контрольной работы студент должен изучить основные определения и формулы, предложенный в пособии. Для более углубленного изучения теоретического материала следует воспользоваться рекомендованной учебной литературой;

2)контрольную работу следует выполнить в отдельной тетради в клетку, на внешней обложке которой должны быть разборчиво написаны фамилия и инициалы студента, номер зачетной книжки, номер контрольной работы, название дисциплины, дата отправки работы в академию, домашний адрес студента, фамилия и инициалы преподавателя, ведущего дисциплину;

3)контрольные задания следует располагать по порядку, начиная с первого. Перед решением каждой задачи необходимо полностью переписать ее условие;

4)решение задачи следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул и теорем;

5)при решении задач, связанных с построением графиков функций, чертежи должны быть выполнены аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Обозначения на чертежах должны соответствовать объяснениям в ходе решения задачи;

12